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南宁三中 2024~2025 学年度上学期 2026 届高二月考（一）
数学试题
命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知 是虚数单位，化简 为（ ）
A． B． C． D．
2．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．直线 和直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
5．在 中，点 是线段 的中点，点 是线段 上一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知圆 的圆心到直线 距离是 ，则圆M与圆
的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内含 D．内切
7．设点 P是椭圆 上一点, 分别为椭圆C的左、右焦点, 且 的重心为G，若
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学科网（北京）股份有限公司,则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点 及动点 ，若 （ 且
），则点 的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏
圆”）．在平面直角坐标系中，已知 ，直线 ，直线
，若 为 的交点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若直线 ： ， ： ， ： ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． ， 之间的距离为 D． ， 的交点坐标为
10．已知空间四点 ，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C． ∥ D．点 到平面 的距离为
11．已知直线 与圆O： 交于点M，N，若过点M和 的直线与y轴交于点C，
过点M和 的直线与x轴交于点D，则（ ）
A． 面积的最大值为2 B． 的最小值为4
C． D．若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知空间向量 ， ， ，则向量 与 的夹角为 ．
13．已知直线 经过点 ，且点 到直线 的距离相等，则直线 的方程为
.
14．已知 为圆 上的两个动点， ，若点 为直线 上一动点，
则 的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）分别求出适合下列条件的方程：
(1)已知 三个顶点的坐标分别是 .求 外接圆的方程.
(2)焦点坐标为 和 ，且经过点 的椭圆的标准方程.
16．（15分）已知 的顶点 所在直线方程为 ，角A平分线 所在直线
的方程为 .
(1)求点A的坐标；
(2)求直线 的方程.
17．（15分）如图， 绕边BC旋转得到 ，其中 ， 平面
ABC， ∥ ．
(1)证明： 平面ACD；
(2)若二面角 的平面角为 ，求锐二面角 平面角的正弦值．
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学科网（北京）股份有限公司18．（17分）甲、乙、丙、丁四只球队进行单循环小组赛（每两个队比赛一场），比赛分三轮，每轮
两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；
第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，
打平两队各记1分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名
前两位的队伍小组出线.假设四只球队水平相当，即每场比赛双方获胜、负、平的概率都为 .
（1）三轮比赛结束后甲的积分记为X，求 ；
（2）若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四个球队积分分别为3、3、0、6，求甲队能小组出线的
概率.
19．（17分）已知圆 与直线 交于 、 两点，点 为线段 的中点，
为坐标原点，直线 的斜率为 .
(1)求 的值；
(2)求 的面积；
(3)若圆 与 轴交于 两点，点 是圆 上异于 的任意一点，直线 、 分别交
于 两点.当点 变化时，以 为直径的圆是否过圆 内的一定点，若过定点，请求出定点；
若不过定点，请说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司南宁三中 2024~2025 学年度上学期 2026 届高二月考（一）
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B B B A C B A BCD AD ACD
1．C【详解】 ，故选C．
2．B【详解】直线 的斜率 ，则该直线的倾斜角为 .故选：B.
3．B【详解】由题设 ，解得 或 .故
， .所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：
B.
4.B【详解】令 ，得 ；令 ,得 ．故与坐标轴围成的三角形的面积为
，解得 .故选：B
5．A【详解】因为 ，所以 ，即 ，又 ，所以
，因为点 是线段 上一点，即 、 、 三点共线，所以 ，解得
.故选：A
6．C【详解】圆 即圆 的圆心半径分别为
，圆 的圆心和半径分别为 ，因为
，解得 或 （舍去），从而 ，所以 ，因为
，所以圆M与圆 的位置关系是内含.
7．B【详解】如图所示：由椭圆的定义知， ，而
，得 ，而 ，得
，在 中，由余弦定理得，
，所以
，得 ，根据三角形的重心性质，可知，
，故 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司，故选：B
8．A【详解】当 时， ，此时 ，交点为 .当 时，由
，斜率为 ，由 ，斜率为 ， ，综上， .又
， 直线 恒过 ， ， 直线 恒过 ， 若
为 的交点，则 ，设点 ，所以点 的轨迹是以 为直径的圆，除去 点， 则圆
心为 的中点 ，圆的半径为 ，故 的轨迹方程为 ，即
，则有 .又 ，易知O、Q在该圆内，又由题
意可知圆 上一点 满足 ，取 ，则 ，满足 .下面证明任意一点
都满足 ，即 ， ，
又 ， .所以
，又 ，
所以 ， 如图，当且仅当 三点共线，
且 位于 之间时，等号成立即 最小值为 .故选：A.
9．BCD【详解】由 及 得 ，解得 ，故选项A错误，B正确；则
： ， ： ，又 ： 即 ，所以 ， 之间的距离
为 .故选项C正确；由 得 ，所以 ， 的交点坐标为 .
10．AD【详解】对于选项A: 结合题意可得 ，因为 ，
所以 ，故选项A正确；对于选项B: 结合题意可得
，故选项B错误；对于选项C：结合题意可得 ， ,故选项C错误；对于选
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学科网（北京）股份有限公司项D：结合题意可得 ,设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，所以点 到平面 的距离为
,故选项D正确.
11．ACD【详解】A项：因为直线 与圆O交于点M，N，所以 ，所以
，当 ，即 ， 时，
面积的最大值为2，A正确；B项：设 ，则 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ．所以
，即 ，所以当 时， 取得最小值
，B错误；C项：当直线MB斜率存在时，则直线 ．令 ，可得
，故 ．直线 ，令 ，可得 ，所以
．
故
；当直线 斜率不存在时， ，
，则 ，综上所述， 为定值，C正确；D项：当 时，
，设 ，联立 消去y可得 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司，则 ．
12． 【详解】依题意 ，所以 ，所以
，由于 ，所以向量 与 的夹角为 .
13． 或 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为 ，
到直线 的距离相等，则 ，解得 ，所
以直线方程为 ，即 ，当直线无斜率时，则直线方
程为 ，此时 到直线 的距离均为3，符合题意，综上可
得： 或 ，故答案为： 或
14．6【详解】如图：取 中点 ，因为 ，圆 的半径为2，所以 ，点 的轨迹
是以原点为圆心，以1为半径的圆， .
，由点到直线距离公式，得：
，所以 ，所以 .
15．(1) (2)
【详解】（1） 三个顶点的坐标分别是 ，
直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
则 ，即 ， 外接圆是以线段AB为直径的圆，线段 的中点为
，
半径 ，所以 外接圆的方程是 ..................................6分
（2）由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为 ，
已知焦点坐标及椭圆上一点 ，
由椭圆的定义可知 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此 .又因为 ，所以 .
因此，所求椭圆的标准方程为 ..................................13分
16．(1) (2)
【详解】（1）联立两直线方程 ，所以 ..................................................5
分
（2）设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，由于 是角 的角平分线，故 在直线 上，
故直线 方程为 ，即 ...............................................................15分
17．(1)证明见详解(2)
【详解】（1）由题意可知： ，
且 ， 平面 ，所以 平面ACD...............5
分
（2）过 作 ，垂足为 ，连接 ，即 ，
因为 平面ACD， 平面ACD，
则 ，且 ， 平面 ，则 平面 ，
由 平面 ，可得 ，
可知二面角 的平面角为 ，且 ，可得 ，
由（1）可知： ，则锐二面角 平面角为 ，
且 ∥ ，可知 ，可得 ，
所以锐二面角 平面角的正弦值为 ...............................................................................15分
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学科网（北京）股份有限公司18．（1） ；（2） .
【详解】（1）设甲的第i场比赛获胜记为 ，第i场比赛获平记为 ，第i场比
赛获输记为 ，
...............7分
（2）分类1：若第三轮甲胜丁，则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6、3、0、6，
另一场比赛乙胜丙，这时甲、乙、丁积6分，丙积0分，所以要抽签决定，抽中前两名的概率为
，这时甲出线的概率为 ，另一场比赛乙平丙或乙输丙，这时甲一定出线，甲出线
的概率为 ；
分类2：若第三轮甲平丁，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、0、7，
另一场比赛乙输丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、3、3、7，甲一定出线，甲出线的概率为
，另一场比赛乙平丙，则甲、乙、丙、丁积分变为4、4、1、7，所以要抽签决定，抽中
前两名的概率为 ，这时甲出线的概率为 ；
分类3：若第三轮甲输丁，则甲、乙、丙、丁积分变为3、3、0、9，
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学科网（北京）股份有限公司另一场比赛乙输丙，甲、乙、丙、丁积分变为3、3、3、9，甲出线的概率为 ，
甲出线的概率为 ....................................................................................17分
19．(1) (2)
【详解】（1）由题知：直线 方程为 ，则由 ，得到 ，即 ，
点 为线段 的中点， ，即 ， ....................3分
(2)即圆心C(−2,0)； 到直线 距离为 ， ，又
到直线 的距离为 ， 边上的高为 .
......................................7分
（3）由上可知 ,不妨设直线 的方程为 ，其中 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，因为 ，则直线 的方程为
，在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
则线段 的中点为 ，半径平方为 ，
所以，以线段 为直径的圆的方程为 ，
即 ，
由 ，解得 ，
因此，当点 变化时，以 为直径的圆恒过圆 内的定点 . .....................................17
分
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