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山东新高考联合质量测评１０月联考（Ａ版） ５π １１π
得ｆ（ｘ）的单调递减区间为［ ＋ｋπ， ＋ｋπ］，ｋ∈Ｚ．!!!!!!!!!!! ６分
１２ １２
π ４π ２ π ２π
高三数学参考答案及评分标准
２０２４１０
（２）令ｔ＝２ｘ－
３
，则ｔ∈［－
３
，π］，ｆ（ｘ）＝
５
在区间［－
２
，
３
］上有三个实数根ｘ １，ｘ ２，
１ ４π
１．Ｃ ２．Ａ ３．Ｂ ４．Ａ ５．Ｃ ６．Ｄ ７．Ｃ ８．Ｂ ９．ＡＤ １０．ＢＣ １１．ＡＣＤ
ｘ
３
，等价于ｓｉｎｔ＝
５
在区间［－
３
，π］上有三个根ｔ
１
，ｔ
２
，ｔ
３
，由正弦函数图象知，ｔ
１
＋ｔ
２
＝
１２．２ １３．槡２ １４．１６
－π，ｔ
２
＋ｔ
３
＝π，得ｔ
１
＋２ｔ
２
＋ｔ
３
＝０， !!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９分
ａ １ ８ π １ ２槡６
１５．解：（１）因为ｆ（ｘ）是偶函数，所以ｆ（１）＝ｆ（－１）＝ ３－１ －３－１＝３ａ－ ３ ＝ ３ ， 因为ｔ ２ ∈（０， ２ ），则ｓｉｎｔ ２ ＝ ５ ，ｃｏｓｔ ２ ＝ ５ ，!!!!!!!!!!!!!! １１分
解得ａ＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分 所以ｓｉｎ（ｘ＋ｘ）＝ｓｉｎ（ ｔ １ ＋ｔ ３＋ π ）＝ｓｉｎ（ π －ｔ）＝ 槡３ ｃｏｓｔ－ １ ｓｉｎｔ＝ ６槡２－１ ．
１ ３ ２ ３ ３ ２ ２ ２ ２ ２ １０
１
所以当ｘ≤０时，ｆ（ｘ）＝ －３ｘ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３分
３ｘ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５分
当ｘ＞０时，可得－ｘ＜０，则ｆ（－ｘ）＝ １ －３－ｘ＝３ｘ－３－ｘ＝ｆ（ｘ），!!!!! ４分 １７．解：（１）由题意，ａ １ ＝ｂ １ ＝ｃ １ ＝１，
３－ｘ
５ １
烄３－ｘ－３ｘ，ｘ≤０， 数列｛ｂ ｎ ｝为单调递增的等比数列，ｂ １ ＋ｂ １ｑ２＝ ２ ｂ １ｑ，解得ｑ＝２或ｑ＝ ２ （舍），
所以函数ｆ（ｘ）的解析式为ｆ（ｘ）＝烅 !!!!!!!!!!!! ５分
烆３ｘ－３－ｘ，ｘ＞０． 所以ｂ＝２ｎ－１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分
ｎ
（２）存在．
ｃ １ １
２ｎ＋１ｃ －２ｎ－１ｃ＝０，即 ｎ＋１＝ ，所以数列｛ｃ｝为等比数列，ｃ＝ ，!!!! ４分
ｎ＋１ ｎ ｃ ４ ｎ ｎ ４ｎ－１
［ ７ ７］ ｎ
假设存在正实数ｍ，ｎ，使得当ｘ∈［ｍ，ｎ］时，函数ｆ（ｘ）的值域为 ５－ ，５－ ，
３ｍ ３ｎ
１
ａ＋ｃ＝ａ 即ａ －ａ＝ ，
因为当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＝３ｘ－３－ｘ，所以ｆ（ｘ）在ｘ∈［ｍ，ｎ］上单调递增，!!!! ６分
ｎ ｎ ｎ＋１ ｎ＋１ ｎ ４ｎ－１
１ １ １ ７ １
烄 ｆ（ｍ）＝５－ ３ ７ ｍ 所以ｎ≥２时，由叠加法ａ ｎ ＝ａ １ ＋１＋ ４ ＋ ４２ ＋…＋ ４ｎ－２ ＝ ３ － ３×４ｎ－２ ，!!!! ６分
所以烅 ，
当ｎ＝１时，ａ＝１符合，
７ １
ｆ（ｎ）＝５－
烆 ３ｎ
７ １
故ａ＝ － ．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分
７ ７
ｎ ３ ３×４ｎ－２
所以ｍ，ｎ为方程ｆ（ｘ）＝５－ 的两个根，即３ｘ－３－ｘ＝５－ 的两个根， !!! ８分
３ｘ ３ｘ
（２）由Ｓ＝ｎ２得，ｎ≥２时，ｂ＝ｎ２－（ｎ－１）２＝２ｎ－１，ｎ＝１时，ｂ＝１满足上式，所以
ｎ ｎ １
即（３ｘ）２－５·３ｘ＋６＝０的两根，整理得３ｘ＝２或３ｘ＝３，!!!!!!!!!! １０分
ｂ＝２ｎ－１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９分
ｎ
解得ｘ＝ｌｏｇ２或ｘ＝１， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２分
３ ｃ ２ｎ－１
所以（２ｎ＋３）ｃ －（２ｎ－１）ｃ＝０，即 ｎ＋１＝ ，
又０＜ｍ＜ｎ，所以ｍ＝ｌｏｇ
３
２，ｎ＝１， ｎ＋１ ｎ ｃ
ｎ
２ｎ＋３
所以存在ｍ＝ｌｏｇ ３ ２，ｎ＝１，使得当ｘ∈［ｍ，ｎ］时，函数ｆ（ｘ）的值域为 ［ ５－ ３ ７ ｍ ，５－ ３ ７ ｎ ］ ． 所以ｎ≥２时，由叠乘法ｃ ｎ ＝ｃ １ （１ ５ × ３ ７ × ５ ９ ×…× ２ ２ｎ ｎ － ＋ ３ １ ） ＝ （２ｎ－１） ３ （２ｎ＋１） ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３分 当ｎ＝１时，ｃ
１
＝１符合，
（ π） ３ ３（ １ １ ）
１６．解：（１）ｆ（ｘ）＝槡３（１－ｃｏｓ２ｘ）＋ｓｉｎ２ｘ－槡３＝２ｓｉｎ２ｘ－
３
，!!!!!!!! ３分 所以ｃ
ｎ
＝
（２ｎ－１）（２ｎ＋１）
＝
２ ２ｎ－１
－
２ｎ＋１
，!!!!!!!!!!!! １１分
π π ３π ３［（ １） （１ １） （ １ １ ）］ ３（ １ ） ３ｎ
由 ＋２ｋπ≤２ｘ－ ≤ ＋２ｋπ，ｋ∈Ｚ， Ｔ＝ １－ ＋ － ＋…＋ － ＝ １－ ＝ ，因
２ ３ ２ ｎ ２ ３ ３ ５ ２ｎ－１ ２ｎ＋１ ２ ２ｎ＋１ ２ｎ＋１
高三数学参考答案 第１页（共４页） 高三数学参考答案 第 ２页（共４页）
书书书３ １＋ｌｎｘ ａ
为Ｔ
ｎ＋１
－Ｔ
ｎ
＝ｃ
ｎ＋１
＝
（２ｎ＋１）（２ｎ＋３）
＞０，所以数列｛Ｔ
ｎ
｝单调递增，所以（Ｔ
ｎ
）
ｍｉｎ
＝Ｔ
１
等价于ｈ（ｘ）＝
ｘ２
与ｙ＝－
３
有且仅有一个交点，!!!!!!!!!!! ２分
＝ｃ １ ＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３分 ｈ′（ｘ）＝ ｘ－２ｘ（１＋ｌｎｘ） ＝ －１－２ｌｎｘ ，ｈ′（ｘ）＝０，ｘ＝ｅ－１ ２，
ｘ４ ｘ３
ｍ ｍ
因为对任意正整数ｎ均有Ｔ ｎ＞ ２０２５ 成立，所以 ２０２５ ＜１，解得ｍ＜２０２５，因为ｍ∈Ｎ， 当ｘ∈（０，ｅ－１ ２）时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）在（０，ｅ－１ ２）上单调递增，
所以ｍ
ｍａｘ
＝２０２４，所以ｍ的最大值为２０２４．!!!!!!!!!!!!!!! １５分 当ｘ∈（ｅ－１ ２，＋∞）时，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）在（ｅ－１ ２，＋∞）上单调递减，!!!!!! ５分
１８．解：（１）由正弦定理和ｂｓｉｎＣ＋槡３ｂｃｏｓＣ＝槡３ａ，得ｓｉｎＢｓｉｎＣ＋槡３ｓｉｎＢｃｏｓＣ＝槡３ｓｉｎ 所以ｈ（ｘ）
ｍａｘ
＝ｈ（ｅ－１ ２）＝
２
ｅ ，
（Ｂ＋Ｃ）＝槡３（ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣｃｏｓＢ），化简得ｔａｎＢ＝槡３，则Ｂ＝６０°．!!! ４分
ａ ｅ ａ ３
所以－ ＝ ，或－ ≤０，即ａ＝－ ｅ，或ａ≥０．!!!!!!!!!!!!! ７分
１ ３ ２ ３ ２
（２）由△ＡＢＣ的面积为 ａｃｓｉｎＢ＝２槡３，可得ａｃ＝８，!!!!!!!!!!! ５分
２
３ ３
（２）证明：当ａ＝ 时，先证明当ｘ＞１时，ｌｎｘ＜ （ｘ－１），
因为ｂ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＢ＝ａ２＋ｃ２－８＝１２，所以ａ２＋ｃ２＝２０， ２ ２
烄ａ＝４， 烄ａ＝２， ３ ３ １ ３ ２－３ｘ
烅 或烅 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分 设ｎ（ｘ）＝ｌｎｘ－ ２ ｘ＋ ２ ，ｎ′（ｘ）＝ ｘ － ２ ＝ ２ｘ ＜０在（１，＋∞）上恒成立，所以
烆ｃ＝２， 烆ｃ＝４．
ｎ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递减，当ｘ＞１时，ｎ（ｘ）＜ｎ（１）＝０，
又∠ＢＡＣ＞∠ＤＡＥ＝６０°，得ａ＝４，ｃ＝２，∠ＢＡＣ＝９０°，!!!!!!!!!!! ８分
３
设∠ＣＡＥ＝θ，其中０°≤θ≤３０°，则∠ＡＥＣ＝１５０°－θ，∠ＡＤＣ＝９０°－θ， 即当ｘ＞１时，ｌｎｘ＜ （ｘ－１）， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９分
２
θ＝０°时，则△ＡＤＥ为直角三角形，ＡＤ⊥ＣＤ，面积为 ３槡３ ，!!!!!!!!! １０分 则当ｘ＞１时， １ ｌｎｘ＋ ｘ２ ＋ ３ －ｘ＜ ｘ２ － ｘ ，
２ ２ ４ ４ ４ ４
ＡＢ ＡＤ 槡３ １ ｘ２ ３
θ≠０°时，△ＡＢＤ中，
ｓｉｎ（９０°＋θ）
＝
ｓｉｎＢ
，得ＡＤ＝
ｃｏｓθ
， !!!!!!!!! １１分
则
２
ｌｎｘ＋
４
＋
４
－１＜
１
（ｘ－１），即
ｆ（ｘ）
＜
１
（ｘ－１），
ｘ ４ ６ｘ ４
ＡＣ ＡＥ 槡３
△ＡＣＥ中， ｓｉｎ（１５０°－θ） ＝ ｓｉｎＣ ，得ＡＥ＝ ｓｉｎ（１５０°－θ） ， !!!!!!!!! １２分 ｆ（ａ ｎ ） ＜ １ （ａ－１），ａ －１＜ １ （ａ－１），!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
６ａ ４ ｎ ｎ＋１ ４ ｎ
ｎ
１ ３槡３ １
则面积为Ｓ＝ ＡＤ·ＡＥｓｉｎ６０°＝ ，!!!!!! １３分 若ａ＞１，则ａ ＞１，因此，若存在正整数Ｎ，使得ａ ≤１，则ａ ≤１，从而ａ ≤１，
２ ２ｓｉｎ１５０°＋ｓｉｎ（１５０°－２θ） ｎ ｎ＋１ Ｎ Ｎ－１ Ｎ－２
３
因为０°＜θ≤３０°，则ｓｉｎ（１５０°－２θ）∈ （１ ，１ ］ ，得 １ ∈ ［２ ，１ ） ， 重复这一过程有限次后可得ａ １ ≤１，与ａ １ ＝ ２ 矛盾，故ｎ∈Ｎ，ａ ｎ ＞１， !!! １３分
２ ｓｉｎ１５０°＋ｓｉｎ（１５０°－２θ） ３
１
所以Ｓ∈ ［ 槡３， ３槡３ ） ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １５分 由于ａ ｎ ＞１，ａ ｎ＋１ ＞１，所以ａ ｎ －１＞０，ａ ｎ＋１ －１＞０，故 ａ ｎ＋１ －１ ＜ ４ ａ ｎ －１ ，故
２
１ １ １ １（１）ｎ－１
综上，三角形面积范围是 ［ 槡３， ３槡３ ］ ．!!!!!!!!!!!!!!!!!! １７分 ａ ｎ －１ ＜ ４ ａ ｎ－１ －１ ＜ ４２ ａ ｎ－２ －１ ＜…＜ ４ｎ－１ ａ １ －１ ＝ ２ ４ ，所以对任意ｎ
２
１ １ １ １ （１）２ １
∈Ｎ，｜ａ－１｜＋｜ａ－１｜＋…＋｜ａ－１｜＜ ＋ × ＋ × ＋…＋ ×
３ １ ２ ｎ ２ ２ ４ ２ ４ ２
１９．（１）解：ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋７ｘ－ ＝３ｌｎｘ＋ａｘ２＋ｘ＋３恰有一个不动点，
２
１（ １）
１－
等价于方程ｇ（ｘ）＝ｘ在（０，＋∞）内只有一个根， （１）ｎ－１ ２ ４ｎ ２（ １） ２
＝ ＝ １－ ＜ ．!!!!!!!!!!!!!!!! １７分
４ １ ３ ４ｎ ３
即３（１＋ｌｎｘ）＝－ａｘ２在（０，＋∞）内只有一个根， １－
４
１＋ｌｎｘ ａ １＋ｌｎｘ
等价于 ＝－ 在（０，＋∞）内只有一个根，令ｈ（ｘ）＝ ，
ｘ２ ３ ｘ２
高三数学参考答案 第３页（共４页） 高三数学参考答案 第 ４页（共４页）
