文档内容
2024 年秋季学期高二年级期末教学质量监测
数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知点 是点 在坐标平面 内的射影，则 （ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先求 ，进而可得.
【详解】由题意可得 ，故 ， ，
故选：A
2. 已知直线 经过点 ，则 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率公式即可求解；
【详解】由 ，可得： ，
故选：C
3. 已知数列 为递增的等差数列，若 ，则 的公差为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意 为方程 的两根，结合数列的单调性确定 ，再根据等差数列
通项公式求公差.
【详解】因为 ，
所以 为方程 的两根，
又因为 为递增的等差数列，
所以 ，故公差 为.
故选：D
4. 抛物线 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出抛物线的标准方程即可得到焦点坐标.
【详解】由 得， ，故抛物线的焦点坐标为 .
故选：A.
5. 已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由焦点 到渐近线 的距离公式即可求解.
【详解】设双曲线 的焦距为 ，焦点为 因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以焦点到
渐近线的距离为 .
因为 ，所以 ， ，所以双曲线 的离心率为 .
故选：C.
6. 记等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 7 B. 49 C. D. 43
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的片段和性质有 ，并设 ，结合已知求 、
，即可求值.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .故选：C
的
7. 在平行四边形 中， ， ， ， 是 中点，沿 将 翻折
至 的位置，使得平面 平面 ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据面面垂直的性质可得 ，建立如图空间直角坐标系 ，利用空间向量法求解
线线角即可.
【详解】在 中， ，则 ，即 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，于是 ，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ，
于是 ，得 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A8. 设数列 的前 项和为 ，若 ，且 的等差中项为 ），则
（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据 的关系，构造法求数列 的通项公式，并确定 为等差数列，最后应用等差中项
的性质求 .
【详解】因为 ，
当 时， ，得 ，
当 时， ，
所以 ，则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 是等差数列.
因为 ，所以 .
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知曲线 的两个焦点为 ， ， 为曲线 上不与 ， 共线的点，则下列说法正确
的是（ ）A. 若 是椭圆，则 B. 若 是双曲线，则
C. 若 ，则 的周长为8 D. 若 ，则 的离心率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A由于 的大小范围不确定故不能判断焦点位置，对于B若 是双曲线，则 的焦点在
轴上即可求解，对于C若 ，则 是椭圆，则 的周长为 ，对于D若 ，则 是
双曲线即可求解.
【详解】对于A：若 是椭圆，则 ，其焦点可能在 轴上，所以A错误；
对于B：若 是双曲线，则 的焦点在 轴上，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C：若 ，则 是椭圆.因为 ， ， ，所以 的周长为 ，故C
正确；
对于D:若 ，则 是双曲线.因为 ， ， ，所以离心率为 ，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知圆 与直线 ，点 在圆 上，点 在直线 上，则（
）
A. 圆 上有两个点到直线 的距离为2
B. 圆 上只有一个点到直线 的距离为2
C.
D. 从点 向圆 引切线，切线长的最小值是
【答案】BC
【解析】【分析】求出圆 的圆心及半径，求出点 到直线 的距离判断AB；利用圆的性质及切线性质求出最小
值判断CD.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
对于AB，圆心 到直线 的距离 ，
则 ，故A错误，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D，由切线的性质，得切线长为 ，D错误.
故选：BC
11. 在长方体 中， ， ，E为 的中点，动点P在长方体
内（含表面），且满足 ，记动点P的轨迹为Ω，则（ ）
A. Ω的面积为
B. 平面 与Ω所在平面平行
C. 当 时，存在点P，使得
D. 当 时，三棱锥 的体积为定值【答案】ACD
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 ，四边形 为动点P的轨迹Ω，求得面积判断A；连接
，可证明平面 平面 ，从而可判断B；以 为坐标原点， 所在直线
为坐标轴建立空间直角坐标系，转化为 是否有解问题处理，求解可判断C；确定 的位置，
进而可判断D.
【详解】因为 ，所以 在 确定的平面内，又 ，
取 的中点 ，连接 ，则四边形 为动点P的轨迹Ω，
因为长方体 中， ， ，
所以 ， ，进而可求得等腰梯形 的高 ，
所以梯形的面积为 ，故A正确；
连接 ，因为 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，又平面 平面 ，
所以平面 与Ω所在平面不平行，故B错误；
以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
当 ，则 ，
所以 ，
假设 ，则 ，即 ，解得 ，
所以当 时，存在点P，使得 ，故C正确；
当 时，点 在 上，则时点 到平面 的距离为定值，又三角形 的面积为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，将是否存在点P，使得 ，转化为方程
是否有解问题，转化思想是数学的一种常见思想方法.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 直线 被圆 截得的弦长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据圆的性质，结合点到直线距离公式、勾股定理求解即可.
【详解】由 ，
可得： ，即圆心 ， ，
圆心到直线l的距离为： ，
所以弦长为
故答案为：2
13. 若数列 满足 ，则 __________.
【答案】 ##0.8
【解析】
【分析】根据递推式写出前几项，得到数列的周期，利用周期性求项.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以数列 是周期为4的周期数列，故 .
故答案为：
14. 在正四面体 中， ，则 ______（用 ，， 表示）．若 ，则 ______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，化简得到 ，再根据向量的模的计算，结合向量
数量积的定义与向量数量积的运算律即可求出答案.
【详解】 ，
，
，
且正四面体 为正四面体，
所以 ，且 之间 的夹角都是 ，
则 ，故答案为： ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据已知有 ，应用等比数列的定义写出通项公式；
（2）由（1）得 的通项公式，应用裂项相消法求 .
【小问1详解】
因为 ，所以 ，又 ，
所以 是首项为2，公比为4的等比数列， .
【小问2详解】
因 ，所以 ，
为所以 .
16. 已知动点 到点 的距离比它到直线 的距离小2，记动点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 与 相交于 ， 两点，若线段 的中点坐标为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案；
（2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案.
【小问1详解】
由题意知动点 到点 的距离等于到直线 的距离，
则动点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以 的方程为 .
【小问2详解】
设 ， ，则 ，
两式相减得 ，整理可得 .
因为线段 的中点坐标为 ，所以 ，
所以直线 的斜率 ，
故直线 的方程为 ，即 .17. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ，平面 平
面 ， ， ， .
（1）证明：平面 平面 .
（2）若平面 与平面 的夹角为 ，求点 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面 平面 得 平面 即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，由平面 与平面 的夹角为 得点 的坐标，利用向量法求点 到平
面 的距离即可.
【小问1详解】
证明：因为平面 平面 ， ，
所以 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问2详解】
取 的中点 ，连接 .因为 ，所以 .
因为平面 平面 ，所以 平面 .
以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， .
设 ，平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，令 ，得 .
平面 的一个法向量为 .
因为平面 与平面 的夹角为 ，所以 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以
令 ，得 .
因为 ，所以点 到平面 的距离 .
18. 已知直线 经过椭圆 的右顶点 和上顶点 ．
（1）求椭圆 的标准方程及离心率；（2）与直线 平行的直线 交 于 两点（ 均不与 的顶点重合），设直线 ， 的斜
率分别为 ，证明： 为定值．
【答案】（1） ，
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知，可得 ， ，则 ， ，即可求得椭圆 的标准方程，再求出
，可求得离心率；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，联立直线方程与椭圆方程，由利用韦达
定理得 ，得 ，化简可得 ，可得 为定值.
【小问1详解】
因为直线 经过椭圆 的右顶点 和上顶点 ，
当 时， ，当 时， ，则 ， ，
所以 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
因为 ，所以椭圆 的离心率为 ．
【小问2详解】由（1）知直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程组 ，消去 得 ，则 ．
因为 ， ，所以 ，
因为 ，
且 ，所以 ，
所以 ，即 为定值．
19. 对于数列 ，称 为数列 的一阶差分数列，其中 ．对于正整数
，称 为数列 的k阶差分数列，其中 ．已知数列
满足 ，数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式．
（2）若数列 的前n项和为 ，证明： ．（3）若 对 恒成立，求λ的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据定义及等差数列的定义得 ，再应用累加法求 的通项公式，同
理得到 ，由等比数列的定义求 的通项公式；
（2）根据已知得 ，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 ，即可证结论.
（3）由（1）得到 对 恒成立，构造数列 ，确定其最大项即可求解；
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
所以 是公差为1的等差数列，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，
所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，即 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
故 .
【小问3详解】
由（1） ，
可化成：
即 对 恒成立，
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 中最大项为 ，
所以
