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绵阳南山中学 2024 年秋季高 2023 级半期考试
数学试题参考答案
一、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选 项 A A B C C D C D ABC AD ACD
三、填空题
12. 9 13. 14.
四、解答题
15.解：(Ⅰ)法一：因为AB边所在直线的方程为 ，所以 ．又因为
矩形ABCD中， ，所以 ,所以由点斜式可得AD边所在直线的方程
为： ，即 ；
法二：因为 ，设AD边所在直线的方程为：
又因为直线AD过点 ，所以将点 代入上式得: ．所以AD边所在
直线的方程为： ；
(Ⅱ)由 ，得： ，得AC所在直线的方程： ，即
．
16. 解 ： （ Ⅰ ） 由 题 可 设 圆 C 的 方 程 为 ， 则 有
，解得 ；所以圆C的标准方程为： ；
（Ⅱ）因为 ，所以过 的切线有两条，当 斜率存在时，设切线方程为：
即 ，所以有： ，解得： ；
第 1 页 共 6 页所以 的方程为： 。
第 2 页 共 6 页17.解：（Ⅰ）因为四边形 为正方形， 底面
，所以 ， ， 两两相互垂直，
如图，以A为原点，分别以 ， ， 方向为x轴、
y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系 ，由题意可
得 A(0,0,0)， ， ， ， ， ， ，
， ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为⃗n =(x ,y ,z )，则 ，
1 1 1 1
故 ，即 ，则 ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，又 平面 ，所以 平面 .
（Ⅱ）由（1）得直线 的一个方向向量为
平面 的一个法向量为 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.解：（Ⅰ）由已知 ,所以C的标准方程为：
；
第 3 页 共 6 页Ⅱ ） 设 ， 则 有 两 式 相 减 可 得 ：
（
即 ，
即 ，为定值；
（Ⅲ）设 的方程为： ， ，
由 消去 得：
，
令 ， ，当且仅当
时，取“=”，所以 面积的最大值为1.
19.解:（Ⅰ）因为点P为圆A的“黄金点”，所以 ，即 ，
所以点P的轨迹是以A为圆心， 为半径的圆，故点P轨迹方程为
第 4 页 共 6 页（Ⅱ）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以 ，即点P在
圆 上，则P是圆 和 的交点.
因为 P，Q 均为圆“ ”的“钻石点”，所以直线 即为圆 和
的公共弦所在直线，两圆方程相减可得 ，
故直线 的方程为 。
( ii )设 的圆心为 ，半径为 ，
的圆心为 ，半径为 .
直线 的方程为 ，得 的中点坐标为 ，
点S到直线 的距离为 ，
则 ，所以圆H的方程为 .
假设 轴上存在点 满足题意，设 ， .若 轴平分 ，则
， 即 ， 整 理 得 又
，所以代入上式可得 ，整理得
①，
由 可得 ，所以 ，
第 5 页 共 6 页代入①并整理得 ，此式对任意的 都成立，所以 .故 轴上存在点
，使得 轴平分 .
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