数学答案-安徽鼎尖教育联考2024-2025学年高二上学期开学考试_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年09月试卷_0910安徽鼎尖教育联考2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区.
2．选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工
整、笔迹清晰.
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试卷上答题无效.
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
{ } { }
A= x −1≤ x≤4 B= x lnx<2 AB =
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. { x −1≤ x≤4 } B. { x 0< x<e2 }
{ } { }
C. x 0< x≤4 D. x e< x≤4
【答案】C
【解析】
【分析】由对数的运算可得B={x|0< x<e2}，再按交集的定义求解即可.
【详解】由lnx<2，可得0<x<e2，
所以B={x|0< x<e2}，
所以A∩B= { x −1≤ x≤4 } ∩{x|0< x<e2}={x|0< x≤4}.
故选：C.
2. 已知复数z满足z⋅z =4z−8i，则 z =（ ）
A. 2 B. 2 2 C. 5 D. 2 5
【答案】B
【解析】
第1页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【分析】设z=a+bi(a,b∈R)，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，求出a、
b，再计算其模.
【详解】设z=a+bi(a,b∈R)，因为z⋅z =4z−8i，
即 ( a+bi )( a−bi )=4 ( a+bi )−8i，即a2 +b2 =4a+( 4b−8 ) i，
a2 +b2 =4a a=2
所以 ，解得 ，即z =2+2i，所以 z = 22 +22 =2 2 .
4b−8=0 b=2
故选：B
  1   3     
3. 已知平面向量a = sinα, ，b =

,cosα

，则a⋅b =1是a∥b的（ ）
 2  2 
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积的坐标表示公式、平面向量共线的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦的
二倍角公式、充分性、必要性的定义进行判断即可.
 
【详解】若a⋅b =1，则有
3 1  π π π π
sinα+ cosα=1⇒sin α+  =1⇒α+ =2kπ+ ( k∈Z )⇒α=2kπ+ ( k∈Z ) ;
2 2  6 6 2 3

 3 1 3 π
若a∥b，则有sinαcosα= × ⇒sin2α= ⇒2α=2k π+ ( k ∈Z )，或
2 2 2 1 3 1
2π π π
2α=2k π+ ( k ∈Z )，解得：α=k π+ ( k ∈Z )或α=k π+ ( k ∈Z )，
2 3 2 1 6 1 2 3 2
       
显然由a⋅b =1可以推出a∥b，但由a∥b不一定能推出a⋅b =1，
   
因此a⋅b =1是a∥b的充分不必要条件，
故选：A
4. 腰鼓是中国汉族古老的民族打击乐器，腰鼓为木制鼓身，两端蒙牛皮，腰鼓的鼓身中间粗，两端细．一
种腰鼓长为40cm，两侧鼓面直径为20cm，中间最粗处直径为24cm，若将该腰鼓近似看作由两个相同圆
台拼接，则腰鼓的体积约为（ ）
7280π 14560π
A. 7280πcm3 B. 14560πcm3 C. cm3 D. cm3
3 3
【答案】D
第2页/共17页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据圆台的体积公式计算可得.
【详解】依题意圆台的上底面半径为10cm，下底面半径为12cm，高为20cm，
所以腰鼓的体积V =2×
1
×
(
102 +122 +10×12
)
π×20=
14560π ( cm3)
.
3 3
故选：D
5. 函数y =3x2−ax+1在区间 ( 1,2 ) 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≤2 B. a≤4 C. a>2 D. a>4
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数y =3x是实数集上的增函数，y =3x2−ax+1在区间 ( 1,2 ) 上单调递增，
所以函数y = x2 −ax+1在区间 ( 1,2 ) 上也是单调递增，
a
因为二次函数y = x2 −ax+1的对称轴为x= ，
2
a
所以有 ≤1，即a≤2，
2
故选：A
6. 正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是（ ）
1 1 1 2
A. B. C. D.
10 5 3 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据组合的定义，结合正六边形和等腰梯形的性质、古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】正六边形六个顶点中任取四个点，不同的方法共有C4 =15种方法，
6
在如图所示正六边形AA A A A A 中，
1 2 3 4 5 6
显然四边形AA A A 、A A A A 、A A A A 、 A A A A 、A A AA 、A AA A 是等腰梯形，共6
1 2 3 6 2 3 4 1 3 4 5 1 4 5 6 3 5 6 1 4 6 1 2 5
个，
6 2
因此正六边形六个顶点中任取四个点，构成等腰梯形的概率是 = ，
15 5
故选：D
第3页/共17页
学科网（北京）股份有限公司7. f ( x ) 是定义在R上的函数，若 f ( 0 )=1，且对任意x∈R，满足 f ( x+2 )≤ f ( x )+2，
f ( x+8 )≥ f ( x )+8，则 f ( 2024 )=（ ）
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
【答案】C
【解析】
【 分 析 】首 先 推 导 出 f ( x+8 )− f ( x )≤8 ， 从 而 得 到 f ( x+8 )− f ( x )=8 ， 再 根 据
f ( 2024 )=

f ( 2024 )− f ( 2016 )

+

f ( 2016 )− f ( 2008 )

++

f ( 8 )− f ( 0 )

+ f ( 0 ) 计算可得.
【详解】因为 f ( x+2 )≤ f ( x )+2，即 f ( x+2 )− f ( x )≤2，
所以 f ( x+8 )− f ( x )=

f ( x+8 )− f ( x+6 )

+

f ( x+6 )− f ( x+4 )

+

f ( x+4 )− f ( x+2 )

+

f ( x+2 )− f ( x )

≤2+2+2+2=8，
又 f ( x+8 )≥ f ( x )+8，所以 f ( x+8 )− f ( x )=8，
所以 f
(
2024
)=f (
2024
)−
f
(
2016
)+f (
2016
)−
f
(
2008
)++f (
8
)−
f
(
0
)+
f
(
0
)
     
=253×8+1=2025.
故选：C
1 1 24
+ =
8. 已知 α α 7 ，α∈( 0,π ) ，则cos2α=（ ）
sin cos
2 2
17 17 79 79
A. B. − C. D. −
81 81 128 128
【答案】B
【解析】
【分析】先对式子进行化简求出sinα，再根据二倍角公式即可求解.
1 1 24
 + =
【详解】解： α α 7 ，
sin cos
2 2
第4页/共17页
学科网（北京）股份有限公司α α
cos +sin
24
2 2
即 = ，
α α 7
sin cos
2 2
α α
cos +sin
24
2 2
即 = ，
1 7
sinα
2
 α α 2
 cos +sin  12 2
2 2
即  =   ，
 sinα   7 
 
1+sinα 144
即 = ，
sin2α 49
即144sin2α−49sinα−49=0，
即 ( 16sinα+7 )( 9sinα−7 )=0，
又α∈(
0,π
)
，
7 7
解得：sinα= ，sinα=− (舍)，
9 16
2
7 17
cos2α=1−2sin2α=1−2×   =− .
9 81
故选：B.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 对于随机事件A和事件B，P
(
A
)=0.3，P (
B
)=0.4，则下列说法正确的是（
）
A. 若A与B互斥，则P ( AB )=0.3 B. 若A与B互斥，则P ( A∪B )=0.7
C. 若A与B相互独立，则P ( AB )=0.12 D. 若A与B相互独立，则P ( A∪B )=0.7
【答案】BC
【解析】
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.
【详解】对于A：若A与B互斥，则P
(
AB
)=0，故A错误；
对于B：若A与B互斥，则P ( AB )= P ( A )+P ( B )=0.7，故B正确；
第5页/共17页
学科网（北京）股份有限公司对于C：若A与B相互独立，则P
(
AB
)=
P
(
A
)
P
(
B
)=0.12，故C正确；
对于D：若A与B相互独立，
则P ( A∪B )= P ( A )+P ( B )−P ( AB )=0.3+0.4−0.3×0.4=0.58，故D错误.
故选：BC
10. 已知正数a，b满足4a+b+ab=12，则下列结论正确的是（ ）
A. ab的最大值为4 B. 4a+b的最小值为8
1 1 3
C. a+b的最小值为3 D. + 的最小值
a+1 b 4
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得 ( a+1 )( b+4 )=16，再由基本不等式判断C、D.
【详解】因为正数a，b满足4a+b+ab=12，
所以12−ab=4a+b≥2 4ab =4 ab，当且仅当4a=b，即a =1，b=4时等号成立，
解得0< ab ≤2，所以0<ab≤4，故ab的最大值为4，故A正确；
1 1 4a+b 2
12−( 4a+b )=ab= ×( 4a )×b≤ ×   ，
4 4  2 
即( 4a+b )2 +16 ( 4a+b )−192≥0，又12−ab=4a+b<12，所以8≤4a+b<12，
所以4a+b的最小值为8，当且仅当4a=b，即a =1，b=4时等号成立，故B正确；
由4a+b+ab=12可得 ( a+1 )( b+4 )=16，
所以a+b=( a+1 )+( b+4 )−5≥2 ( a+1 )( b+4 )−5=3，
当且仅当a+1=b+4时等号成立，此时a=3，b=0，又b为正数，矛盾，故C错误；
1 1 b+4 1 b 1 1 b 1 1 3 b 1
+ = + = + + ≥2 ⋅ + = ，当且仅当 = ，即a =1，b=4时等号成
a+1 b 16 b 16 b 4 16 b 4 4 16 b
立，故D正确.
故选：ABD
π
11. 在菱形ABCD中，边长为4 3，∠BAD= ，将△ABD沿对角线BD折起得到四面体ABCD，记
3
二面角A−BD−C 的大小为θ(0<θ<π)，则下列结论正确的是（ ）
A. 对任意θ，都有AC⊥BD
第6页/共17页
学科网（北京）股份有限公司B. 存在θ，使AC ⊥平面ABD
2π π
C. 当θ= 时，直线AC与平面ABD所成角为
3 6
π 208π
D. 当θ= 时，四面体ABCD外接球表面积为
3 3
【答案】ACD
【解析】
【分析】取BD的中点E，连接AE、CE，则AE ⊥ BD，CE⊥BD，所以∠AEC为二面角
A−BD−C的平面角，再证明BD⊥平面AEC，即可判断A；推出矛盾，即可判断B；证明平面
ABD⊥平面AEC，则∠CAE为直线AC与平面ABD所成角，即可判断C；求出外接球的半径，即可
判断D.
【详解】取BD的中点E，连接AE、CE，依题意可得AE ⊥ BD，CE⊥BD，
则∠AEC为二面角A−BD−C的平面角，
又AECE = E，AE,CE ⊂平面AEC，所以BD⊥平面AEC，又AC ⊂平面AEC，
所以BD⊥ AC，故A正确；
π
在菱形ABCD中，边长为4 3，∠BAD= ，所以AE =CE =6，
3
若AC ⊥平面ABD，AE ⊂平面ABD，则AC ⊥ AE，
π
所以EAC = ，与AE = EC 矛盾，故B错误；
2
因为BD⊥平面AEC，又BD⊂平面ABD，
所以平面ABD⊥平面AEC，
所以∠CAE为直线AC与平面ABD所成角，
2π
2π π− 2π π
当θ= ，则 3 π ，即当θ= 时，直线AC与平面ABD所成角为 ，故C正确；
3
∠CAE = =
3 6
2 6
π
在△AEC中AE =EC =6，θ=∠AEC = 时，取△ABD、△BCD的外心O 、O ，
1 2
3
则EO = EO =2，CO =4，过O 、O 分别作AE、EC的垂线交于点O，
1 2 2 1 2
第7页/共17页
学科网（北京）股份有限公司π 2 3
则O为四面体ABCD外接球球心，连接OE，则OO = EO tan = ，
2 2 6 3
4 52
设外接球的半径为R，则R2 =OO2 +CO2 = +16= ，
2 2 3 3
208π
所以四面体ABCD外接球的表面积S =4πR2 = ，故D正确.
3
故选：ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济
繁荣及改善环境．多年来，我国规模以上工业天然气生产稳定增长，2023年5月至2024年4月，天然气
日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数
据的上四分位数是______．
【答案】6.65
【解析】
【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位计算规则计算可得.
【详解】将数据从小到大排列依次为：5.8，5.9，6.0，6.1，6.1，6.1，6.5，6.6，6.6，6.7，
6.9，7.0，
6.6+6.7
又12×75%=9，所以上四分位数是 =6.65.
2
故答案为：6.65
2π
13. 将函数 f ( x )=cos ( 2x+φ ) 的图象向右平移 后得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小正值为
3
______．
5π 5
【答案】 ## π
6 6
【解析】
【分析】首先求出平移后的函数解析式，再根据余弦函数的性质求出ϕ的取值.
2π
【详解】将函数 f
(
x
)=cos ( 2x+ϕ)
的图象向右平移 得到
3
第8页/共17页
学科网（北京）股份有限公司  2π   4π 
y =cos2x−  +ϕ  =cos2x− +ϕ ，
  3    3 
 4π  4π π
又y =cos2x− +ϕ 的图象关于原点对称，所以− +φ= +kπ,k∈Z，
 3  3 2
11π
解得φ= +kπ,k∈Z，
6
5π
所以ϕ的最小正值为
.
6
5π
故答案为：
6
x x
14. 若用x表示不大于x的最大整数，用x表示不小于x的最小整数，那么方程   =   +5的最大
2 3
整数解为______．
【答案】37
【解析】
【分析】根据整数除以6的余数，结合题中定义分类讨论进行求解即可.
x x 6n 6n
【详解】当x=6n,n∈N时，由 = +5⇒ = +5
2 3 2 3
⇒3n=2n+5⇒3n=2n+5⇒n=5⇒ x=30，
此时方程有正整数解，因此不用讨论x是负整数的情况，
x x 6n+1 6n+1
当x=6n+1,n∈N时，由 = +5⇒ = +5
2 3 2 3
1 1
⇒3n+ =2n+ +5⇒3n=2n+1+5⇒n=6⇒ x=37；
2 3
x x 6n+2 6n+2
当x=6n+2,n∈N时，由 = +5⇒ = +5
2 3 2 3
2
⇒3n+1=2n+ +5⇒3n+1=2n+1+5⇒n=5⇒ x=32；
3
x x 6n+3 6n+3
当x=6n+3,n∈N时，由 = +5⇒ = +5
2 3 2 3
1
⇒3n+1+ =2n+1+5⇒3n+1=2n+1+5⇒n=5⇒ x=33；
2
x x 6n+4 6n+4
当x=6n+4,n∈N时，由 = +5⇒ = +5
2 3 2 3
1
⇒3n+2=2n+1+ +5⇒3n+2=2n+1+1+5⇒n=5⇒ x=34；
3
x x 6n+5 6n+5
当x=6n+5,n∈N时，由 = +5⇒ = +5
2 3 2 3
1 2
⇒3n+2+ =2n+1+ +5⇒3n+2=2n+1+1+5⇒n=5⇒ x=35，
2 3
第9页/共17页
学科网（北京）股份有限公司x x
由上可知当x∈N时，方程 = +5的最大整数解为37，
2 3
故答案为：37
x x
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据 , 的形式分类讨论.
2 3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为推动安徽省乡村旅游发展提质增效，更好满足人民群众旅游消费升级需求，助力乡村全面振兴，安
徽省实施精品示范工程打造“皖美休闲旅游乡村”行动方案，实施“微创意、微改造”，促进“精提升”，建设
“皖美”乡村新风景，打造全国知名的乡村旅游目的地．某学校兴趣小组同学利用暑假时间，在全省范围内
调查了100个休闲旅游乡村，并从环境风貌、资源价值、基础设施等方面进行综合评分，将评分按照
[ )
， ， 70,80 ， ， 分组，得到如图所示频率分布直方图．
[50,60) [60,70) [80,90) [90,100]
（1）求a的值，并求这100个休闲旅游乡村评分的平均分；
（2）若评分在80分及以上的乡村称为“值得推荐的旅游乡村”，其中评分在 为“推荐指数四颗星”，
评分在 为“推荐指数五颗星”．兴趣小组同学用分层抽样的方法在“值[得80推,9荐0)的旅游乡村”中抽取7个
乡村进[行90第,1一00批] 次的校内宣传，并从这7个乡村中随机抽取2个乡村在校园内做展板宣传，求这2个乡村
正好是“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率．
【答案】（1）a=0.02，75.5分
10
（2）
21
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1得到方程求出a，再根据平均数计算公式求出
平均数；
（2）首先求出“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”各抽取的个数，再由古典概型的概率公式计算可得.
【小问1详解】
由频率分布直方可知 ( 0.01+a+0.035+0.025+0.01 )×10=1，解得a=0.02；
则这100个休闲旅游乡村评分的平均分为：
第10页/共17页
学科网（北京）股份有限公司( 0.01×55+0.02×65+0.035×75+0.025×85+0.01×95 )×10=75.5；
【小问2详解】
“推荐指数四颗星”乡村数为100×0.025×10=25（个）；
“推荐指数五颗星”乡村数为100×0.01×10=10（个）；
25
按照分层抽样，可知“推荐指数四颗星” 乡村抽取 ×7=5个，
25+10
10
可知“推荐指数五颗星” 乡村抽取 ×7=2个，
25+10
7×6
从7个乡村中随机抽取2个乡村共有 =21种情形，
2
其中“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个有5×2=10种情形，
10
所以“推荐指数四颗星”和“推荐指数五颗星”乡村各一个的概率P = .
21
16. 如图，在直三棱柱ABC−ABC 中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
1 1 1
（1）求证：BC //平面ADC；
1 1
（2）求异面直线AD与BC 所成角的正弦值．
1 1
【答案】（1）证明过程见解析
6
（2）
4
【解析】
【分析】（1）连接AC 交AC于O，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
1 1
（2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行
求解即可.
【小问1详解】
连接AC 交AC于O，
1 1
第11页/共17页
学科网（北京）股份有限公司在直三棱柱ABC−ABC 中，所有棱长均为4，
1 1 1
因此四边形AACC是正方形，所以O是AC 的中点，而D是AB的中点，
1 1 1
因此有OD//BC ，而OD⊂平面ADC，BC ⊄平面ADC，
1 1 1 1
所以BC //平面ADC；
1 1
【小问2详解】
由（1）可知：OD//BC ，
1
因此异面直线AD与BC 所成角为∠ADO（或其补角），
1 1 1
1 1
因为AACC是正方形，所以AO= AC = 42 +42 =2 2，
1 1 1 2 1 2
在直三棱柱ABC−ABC 中，所有棱长均为4，
1 1 1
1 1
因此四边形BBCC是正方形，因此有OD= BC = 42 +42 =2 2，
1 1 2 1 2
在直三棱柱ABC−ABC 中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
1 1 1
2
1 
因此有AD= AA2 + AD2 = 42 +  ×4 =2 5 ，
1 1 2 
8+20−8 10
由余弦定理可知：cos∠ADO= = ，
1 2×2 2×2 5 4
10 6
因此sin∠ADO= 1−cos2∠ADO = 1− = .
1 1 16 4
17. ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且 满 足
a ( sinA−sinB )+b ( sinB−sinC )=c ( sinC−sinB ) ．
（1）求角C；
（2）若b=4，c= 21．CD平分∠ACB交AB于点D，求CD的长．
π
【答案】（1）
3
第12页/共17页
学科网（北京）股份有限公司20 3
（2）
9
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；
（2）首先利用余弦定理求出a，再由等面积法计算可得.
【小问1详解】
因为a ( sin A−sinB )+b ( sinB−sinC )=c ( sinC−sinB ) ，
由正弦定理可得a ( a−b )+b ( b−c )=c ( c−b ) ，即a2 +b2 −c2 =ab，
由余弦定理cosC = a2 +b2 −c2 = 1 ，又C∈( 0,π ) ，所以C = π ；
2ab 2 3
【小问2详解】
在ABC中，由余弦定理可得c2 =a2 +b2 −2abcosC，
即a2 +16−4a =21，解得a=5或a=−1（舍去），
π
又∠ACD=∠BCD= ，S = S +S ，
ABC ADC BDC
6
1 3 1 1 1 1 20 3
所以 ×4×5× = ×4×CD× + ×5×CD× ，解得CD= .
2 2 2 2 2 2 9
18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA= PD=4，PC =4 2，底面ABCD是直角梯形，AB⊥ AD，
AB//DC，AD= DC =2AB=4．
第13页/共17页
学科网（北京）股份有限公司（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求证：PC ⊥ BD；
（3）求平面PAD与平面PBC 所成锐二面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）取AD的中点O，连接PO、OC，即可得到PO⊥ AD，再说明PO⊥OC，即可得到
PO⊥平面ABCD，从而得证；
（2）由（1）可知PO⊥ BD，再说明BD⊥OC，得到BD⊥平面POC，即可得证；
（3）延长CB与DA延长线相交于点M ，连接PM ，过A作AF ⊥ PM 于点F ，连接BF ，由面面垂直
的性质得到BA⊥平面PAD，则BA⊥ PM ，即可得到PM ⊥平面ABF ，则∠AFB是二面角
D−PM −C的平面角，求出AF 的长度，再由锐角三角函数计算可得.
【小问1详解】
取AD的中点O，连接PO、OC，
因为PA= PD=4，所以PO⊥ AD，又AD= DC =2AB=4，所以PO=2 3，
因为底面ABCD是直角梯形，AB⊥ AD，AB//DC，
所以OC = 42 +22 =2 5，又PC =4 2，所以PO2 +OC2 = PC2，所以PO⊥OC，
又ADOC =O，AD,OC⊂平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD；
【小问2详解】
由（1）可知PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥ BD，
π
在梯形ABCD中，∠DAB=∠CDO= ，ADCD4，AB= DO=2，
2
所以DAB≌CDO，所以∠ADB=∠DCO，
π π
又∠DOC+∠DCO= ，所以∠DOC+∠ADB= ，所以BD⊥OC，
2 2
第14页/共17页
学科网（北京）股份有限公司又POOC =O，PO,OC ⊂平面POC，所以BD⊥平面POC，
又PC ⊂平面POC，所以PC ⊥ BD；
【小问3详解】
延长CB与DA延长线相交于点M ，连接PM ，过A作AF ⊥ PM 于点F ，连接BF，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD= AD，AB⊂平面ABCD，AB⊥ AD，
所以BA⊥平面PAD，PM ⊂平面PAD，所以BA⊥ PM ，
又AF ⊥ PM ，AF∩BA= A，AF,BA⊂平面ABF ，所以PM ⊥平面ABF ，
又BF ⊂平面ABF ，所以PM ⊥ BF，
所以∠AFB是二面角D−PM −C的平面角，
1
因为AB//CD且AB= CD，所以A为AD的中点，又△PAD为边长为4的等边三角形，
2
2π π
所以在△APM 中，AP= AM =4，∠PAM = ，所以∠MAF = ，
3 3
1
所以AF = AM cos∠MAF =4× =2，
2
又BA⊥平面PAD，AF ⊂平面PAD，所以BA⊥ AF ，
AB
在RtABF中，tan∠AFB= =1，
AF
所以平面PAD与平面PBC 所成锐二面角的正切值为1.
2x −2−x 2x +2−x
19. 已知定义在R上的函数 f ( x )= ，g ( x )= ．
2 2
( )
（1）判断并证明函数 f x 的奇偶性；
（2）若对∀x∈[
1,2
]
，mf
(
x
)−g (
2x
)≤0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数h
(
x
)=
f
(
x
)+g (
x
)
，实数a、b、c满足h
(
a
)+h (
2b
)=h (
c
)
，h
(
2a
)+h (
b
)=h (
2c
)
，
求c的最小值．
第15页/共17页
学科网（北京）股份有限公司abc
（参考公式：如果a、b、c是正实数，那么  3 abc，当且仅当a=b=c时，等号成立．）
3
【答案】（1）奇函数，证明详见解析
17
（2）m≤
6
5
（3）log 3−
2 3
【解析】
( )
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证得 f x 是奇函数.
（2）由mf
(
x
)−g (
2x
)≤0分离常数m，利用换元法法，结合指数函数以及函数的单调性等知识求得m的
取值范围.
（3）先求得 ，根据已知条件列方程，求得关于c的表达式，利用基本不等式求得c的最小值.
【小问1详解ℎ】(𝑥𝑥 )
2x −2−x
f ( x )= 是奇函数，证明如下：
2
f ( x ) 的定义域是R ， f (−x )=
2−x −2x
=−f ( x )，
2
( )
所以 f x 是奇函数.
【小问2详解】
依题意，对∀x∈[
1,2
]
，mf
(
x
)−g (
2x
)≤0恒成立，
即对∀x∈[
1,2
]
，m⋅
2x −2−x
−
22x +2−2x
≤0恒成立，
2 2
即对∀x∈[
1,2
]
，m≤
22x +2−2x
恒成立，
2x −2−x
1
令h ( x )=2x −2−x =2x − ( 1≤ x≤2 )，
2x
3 15
在 上单调递增，所以h ( 1 )≤h ( x )≤h ( 2 ) ，即 ≤h ( x )≤ ，
2 4
ℎ(𝑥𝑥) [1,2]
3 15
令t =2x −2−x，则 ≤t ≤ ,t2 =22x +2−2x −2,22x +2−2x =t2 +2，
2 4
22x +2−2x t2 +2 2
所以 = =t+ ，根据对钩函数的性质可知，
2x −2−x t t
第16页/共17页
学科网（北京）股份有限公司3 2 3 4 17
2 3 15 y = + = + =
函数y =t+ 在区间  ,  上单调递增， min 2 3 2 3 6 ，
t 2 4 
2
17
所以m≤ .
6
【小问3详解】
2x −2−x 2x +2−x
h ( x )= f ( x )+g ( x )= + =2x，
2 2
h ( a )+h ( 2b )=h ( c ) 2a +22b =2c
依题意， ，即 ，
 h ( 2a )+h ( b )=h ( 2c ) 22a +2b =22c
( )2
将2a =2c −22b代入22a +2b =22c得 2c −22b +2b =22c，
1 1 1 1 1 − 2
整理得2c+1 =22b + =22b + + ≥33 22b⋅ ⋅ =3⋅2 3，
2b 2⋅2b 2⋅2b 2⋅2b 2⋅2b
1 1
当且仅当22b = 23b =2−1,b=− 时等号成立，
2⋅2b 3
由 22c+1 ≥3⋅2 − 2 3 两边取以2为底的对数得c+1≥log 2    3⋅2 − 2 3    =log 2 3− 2 3 ,c≥log 2 3− 5 3 ，
5
所以c的最小值是log 3− .
2 3
【点睛】判断函数的奇偶性，主要根据奇偶性的定义，由 或 来进行求解，求
解过程中要注意函数的定义域关于原点对称.求解含参数的𝑓𝑓不(−等𝑥𝑥式)=恒−成𝑓𝑓立(𝑥𝑥问) 题𝑓𝑓，(−可𝑥𝑥)以=考𝑓𝑓虑(𝑥𝑥利) 用分离参数法来
进行求解.
第17页/共17页
学科网（北京）股份有限公司