文档内容
河北区 2024-2025 学年度高三年级第一学期期中质量检测
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第
卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.
第I卷（选择题共45分）
注意本项：
1.答第I卷前，考生务必将自已的姓名､准考号､科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试
用条形码.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
如果事件 互斥，那么 圆柱的侧面积公式
圆锥的侧面积公式
如果事件 相互独立，那么
其中 表示底面圆的半径 表示母线的
长
一､选择题：在每年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 在 上的图象大致为（ ）
A. B.C. D.
4. 某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，
将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图
所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为（ ）
.
A 240 B. 180 C. 96 D. 80
5. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
的
6. 如图，圆锥 底面直径和高均是4，过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖
去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 ： 的右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线 ，M，N分别是
与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段 的中点，则C的渐近线方程为（ ）A. B.
C. D.
8. 若函数 的图象关于点 对称，则 的单调递增区
间为( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数 ，若函数 恰有5个不同的零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.
10. 复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是__________.
11. 二项式 的展开式中的常数项为__________.
12. 若直线 与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是___________.
13. 将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则函数 在区间
上的值域______.14. 为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则
在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表
示抽取的三人中女志愿者的人数，则 ________.
15. 已知 中，点 分别是 的重心和外心，且 ，则边 的长
为__________.
三､解答题：本大题共5小题，共5分､解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ， 的面积为
.
（1）求角 的大小；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
17. 如图，在直三棱柱 中， ， 分别为
的中点.
（1）求证： 平面 ；
的
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）求点 到平面 的距离.18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，过点 作两条直线
，直线 与 交于 两点， 的周长为 ．
（1）求 的方程；
（2）若 的面积为 ，求 的方程；
（3）若 与 交于 两点，且 的斜率是 的斜率的2倍，求 的最大值．
19. 已知函数 在 处取得极小值.
（1）求 的值；
的
（2）求函数 在点 处 切线方程；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围.
20. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若方程 有两个不同的根 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．
