数学答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年12月试卷_1222四川省南充市嘉陵一中2024-2025学年高二上学期12月月考_四川省南充市嘉陵一中2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题PDF版含答案

嘉陵一中高 2023 级高二上期 12 月考
数学答案
一、单项选择题
1-4 D A B C 5-8 D A C B
二、多项选择题
9 ABC 10. BCD 11.ACD
三、填空题
12. 3 13.2 .

四、解答题（本大题共   5 . 小  题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
 
15．(1)由已知得圆心为C 2,3 ，直径为2，故半径为1，
所以圆C的标准方程为(x2)2 (y3)2 1.
 
(2)直线l经过点P 1,0 ，与圆C相切，
当l的斜率不存在时，方程为l:x1，与圆C相切，满足题意；
当l的斜率存在时，设方程为l: y k  x1  ，即kx  y  k  0，
2k3k
4
则圆心C  2,3  到直线l的距离 1，解得k  ，
k2 1 3
故直线l的方程为4x3y40.
综上，直线l的方程为x 1或4x3y40
.
16.解:(1)证明:在三棱台ABC-A B C 中，A A⊥平面ABC，AB⊥AC，显然直线AB，AC，AA 两两垂直，
1 1 1 1 1
以点A为原点，直线AB，AC，AA 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
1
由AB=AC=AA =2，A C =1，得
1 1 1
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，B (1，0，2)，
1
C (0，1，2)，由M，N分别是BC，BA的中点，得M(1，1，0)，
1
N(1，0，0)，则 =(1，0，-2)， =(1，0，-2)，
1    1  
因此 ∥ ，而点C ∉ 直线B B，
1 1
1    1  
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学科网（北京）股份有限公司所以B B∥C M.又B B⊄ 平面C MA，C M⊂平面C MA，
1 1 1 1 1 1
所以B B∥平面C MA.
1 1
(2)由(1)知， =(1，1，0)， =(1，0，-2). =(0，1，0)，
设平面C MA   的   法向量m=(a，  1 b    ，  c)，    
1
，
则 令c=1，得m=(2，-2，1).
，
·    =  +  =0
·  1  =  −2  =0
，
设平面C MN的法向量n=(x，y，z)，则 令z=1，得n=(2，0，1).
1
，
·    =  =0
·  1  =  −2  =0
设二面角A-C M-N的大小为θ，则|cosθ|=|cos<m，n>|= = = ，
1
|  ·  | 5 5
|  ||  | 3× 5 3
所以二面角A-C M-N的正弦值 sinθ= = .
1
2 2
1−cos  3
17．（1）设事件A=“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B=“任选一道灯谜，乙猜对”，
事件C=“任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对”．
则 ， ，故 ， ，
1 3 1 2
因为  事  件 = A 2 与  事  件 = B 5相互独  立  ， =2   =5
所以 ．
1 2 1 3 1
（2）  设  事 = 件  D  =“  任 + 选  一  道  灯 = 谜  ，甲  、  乙  、 + 丙  三  个  人  中 = 至2少 × 有5一 + 个2× 人5猜 = 对2 ”，
事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”，
因为事件A、事件B、事件C两两独立，那么
．
1 2 23
=1−   =1−     =1−       =1−2×5×   =25
所以， ，所以 ．
2 3
=5   =1−   =5
 9 1
 1
 a2 b2 a2 3
  
18．【详解】（1）由题意得2c4 2 解得b2 ，
 

a2 b2c2 c2 2

x2 y2
故椭圆C的方程为  1.
12 4
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学科网（北京）股份有限公司1
（2）设直线l的方程为y xm，Mx,y ,Nx ,y 
3 1 1 2 2
 1
y xm

 3
由 得4x26mx9m2360，由
x2 y2
 1
12 4
Δ(6m)2144  m24  0，得 4 3 m 4 3 ，
3 3
3m 9m236
则x x  ,xx 
1 2 2 1 2 4
1 10
. MN  1  x x 2 4xx   163m2  10，
9 1 2 1 2 2
解得m2或m2
1
当m2时，直线l:y  x2经过点P3,1，不符合题意，舍去；
3
1
当m2时，直线l的方程为y x2.
3
（3）直线PM ，PN均不与x轴垂直，所以x 3,x 3，则m0且m2，
1 2
 1  1 
 x m1 x m1
所以 y 1 y 1  3 1  3 2 
kk  1  2 
1 2 x 3 x 3 x 3x 3
1 2 1 2
1 1
xx  m1x x (m1)2
9 1 2 3 1 2

xx 3x x 9
1 2 1 2
1 9m236 1 3m
  m1  (m1)2
9 4 3 2 3m26m 1
   为定值.
9m236 3m 9m218m 3
3 9
4 2
1 1
19. (1)二次函数 y  x2 x1 (x2)2，
4 4
1 
它的图象可以由抛物线 y  x2沿向量m 2,0  平移得到；
4
1
抛物线 y  x2､即x2 4y的焦点坐标为 ，准线方程为 y 1；
4
1 0,1
所以二次函数 y  x2 x1的焦点坐标为F  2,1  ，准线方程为 y 1.
4
1
（2）设 为二次函数y  x2 x1上任意一点，则 x 2 2 4y ，
4 0 0
0,  0
故 PF   x 2 2  y 1 2  4y  y2 2y 1 y2 2y 1 y 1；
0 0 0 0 0 0 0 0
而 到准线y 1的距离d  y 1   y 1，
0 0
0,  0
故二次函数上任意一点与焦点的距离和到准线的距离相等.
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学科网（北京）股份有限公司（3）显然直线l的斜率存在，故设直线l:y2k  x4  ，
1 1
与 y  x2 x1联立，整理得： x2  k1  x 4k1 0；
4 4
x x 4  k1 
设 ，则由韦达定理： 1 2 ；
 x x 4  4k1 
1 2
1,  1 ,   2,  2
y 1 y 1
直线AQ: y1 1  x4  ,x  x ，故 y 1 1  x 4  ；
x 4 M 2 M x 4 2
1 1
1
x2 x
故 x  y 1  x  y 1 1  x 4  x  4 1 1  x 4  x  1 x  x 4 
M M 2 x 4 2 2 x 4 2 2 4 1 2
1 1
1
 x x  x x 5，故x  y 4，即：点M 在定直线x y40上.
1 2 4 1 2 M M
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