文档内容
2024-2025 学年新疆喀什地区喀什市高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列3，4，5，6，⋯的一个通项公式为( )
A. a =n B. a =n+1 C. a =n+2 D. a =2n
n n n n
2.下列数列是等比数列的是( )
A. 3，9，15，21，27 B. 1，1.1，1.21，1.331，1.464
C. 13，16，19，112，115 D. 4，−8，16，−32，642
3.如果质点M按照规律s=3t2运动，则在t=3时的瞬时速度为( )
A. 6 B. 18 C. 54 D. 81
4.{a }是首项a =4，公差d=2的等差数列，如果a =2020，那么序号n=( )
n 1 n
A. 1009 B. 1012 C. 1008 D. 1010
5.在等比数列a 中，若a a =9，则a a =( )
n 2 8 3 7
A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9
6.在等差数列a 中，a +a =16，则a +a =( )
n 7 8 2 13
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
7.已知 的一个极值点为 ，且 ，则a、b的值分别为( )
f(x)=x3+6ax2+4bx+8a2 −2 f(−2)=0
A. a=1、b=3 B. a=3、b=15
C. a=−1、b=−9 D. a=2、b=9
8.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题，今有白米一百八十石，令三人从上及和
减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三
人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请
问甲应该分得白米为( )
A. 96石 B. 78石 C. 60石 D. 42石
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，
部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列数列中，是等差数列的是( )
A. 0，0，0，⋯，0，⋯
B. −2，−1，0，⋯，n−3，⋯C. 1，13，−13，⋯，−23n+53，⋯
D. 1，−1，1，−1，⋯，−1n+1，⋯
10.在公比q为整数的等比数列{a }中，S 是数列{a }的前n项和，若a +a =18，a +a =12，则下列说
n n n 1 4 2 3
法正确的是( )
A. q=2 B. 数列{S +2}是等比数列
n
C. S =510 D. 数列{lga }是公差为2的等差数列
8 n
11.如图是函数y=f(x)的导数y=f '(x)的图象，则下面判断正确的是
( )
A. 在(−3,1)内f(x)是增函数
B. 在x=1时，f(x)取得极大值
C. 在(4,5)内f(x)是增函数
D. 在x=4时，f(x)取得极小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若已知数列 的通项公式是 ，其中 则 ______， ______.
a a =n2+n−13 n∈N∗. a = a =
n n 10 n+1
13.45和80的等比中项为______.
14.已知曲线 在点 处的瞬时变化率为 ，则点M的坐标为 .
f(x)=2x2+1 M(x ,y ) −8
0 0
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{a }中，a =1，a −a =1.
n 1 3 2
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求数列{a }的前n项和S .
n n
16.(本小题15分)
求下列函数的导数：
；
(1)y=5x3−3x2+7x−4
；
(2)y=2sinx+3x
；
(3)y=x2 ⋅cosxlnx
(4)y= ；
x3
(5)y=(1−2x) 3.
17.(本小题15分)
已知函数
g(x)=x2−2lnx.
(1)求曲线y=g(x)在x=1处的切线方程；
(2)求函数g(x)的极值.
18.(本小题17分)
已知数列 是公差不为0的等差数列，若 ，且 ， ， 成等比数列．
{a }(n∈N∗) a =1 a a a
n 1 2 4 8
(Ⅰ)求{a }的通项公式；
n
1
(Ⅱ)若b = ，求数列{b }的前n项和S .
n a ⋅a n n
n n+1
19.(本小题17分)
已知函数
f(x)=3x3−9x+5.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[−3,3]上的最大值和最小值.答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由数列的第一项为3可排除ABD，
因为数列3，4，5，6，⋯，
所以数列的一个通项公式为a =n+2.
n
故选：C.
根据数列的通项公式求解．
本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：结合等比数列的定义可知，从第二项起，任一项与它的前一项的比都为同一个常数，
故ACD错误，B正确．
故选：B.
由已知结合等比数列定义检验各选项即可判断．
本题主要考查了等比数列的判断，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
已知质点M按照规律s=3t2运动，对其进行求导，再把t=3代入求解；
此题主要考查导数与变化率的关系，此题是一道基础题.
【解答】
解：∵质点M按照规律s=3t2运动，
∴s'=6t，
当t=3时，
∴在t=3时的瞬时速度为s'=6×3=18.
故选B.
4.【答案】A
【解析】解：因为{a }是首项a =4，公差d=2的等差数列，
n 1
所以a =4+2(n−1)=2n+2
n
如果a =2020，则2n+2=2020，
n所以n=1009.
故选：A.
由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：等比数列{a }，若a a =9，则a a =a a =9.
n 2 8 3 7 2 8
故选：C.
由已知结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：等差数列a 中，a +a =16，则a +a =a +a =16.
n 7 8 2 13 7 8
故选：B.
由已知结合等差数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解： ，
f '(x)=3x2+12ax+4b
则{f(−2)=−8+24a−8b+8a2=0，
f '(−2)=12−24a+4b=0
{a=1 {a=2
解可得， 或 ，
b=3 b=9
当 ， 时， ，函数单调递增，没有极值，故舍去，
a=1 b=3 f '(x)=3(x+2) 2≥0
故a=2，b=9.
故选：D.
先对函数求导，然后结合导数存在的条件即可求解a，b，然后需要检验满足极值是否存在，即可求解．
本题主要考查了极值存在条件的应用，属于基础试题．
8.【答案】B
【解析】解：依题意，设甲乙丙分得的米重量分别为a ，a ，a ，
1 2 3
则a +a +a =3a =180，且a −a =−2d=36，
1 2 3 2 1 3解得a =60，d=−18，
2
所以a =a −d=60+18=78，
1 2
故选：B.
设甲乙丙分得的米重量分别为a ，a ，a ，则a +a +a =180，且a −a =36，解得a =60，d=−18，
1 2 3 1 2 3 1 3 2
所以a1可求，
本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：根据等差数列的定义可知，从第二项开始，每一项与前一项的差都是常数，
选项A，0，0，0…，0为等差数列，A正确；
选项B，−2，−1，0，…，n−3为等差数列，B正确；
选项C，1，13，−13…−23n+53不是等差数列，C错误；
选项D，1，−1，1，−1…，−1n+1不是等差数列，D错误．
故选：AB.
由已知结合等差数列的定义检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的判断，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解： ， ， ， ，公比q为整数．
∵a +a =18 a +a =12 a (1+q3 )=18 a (q+q2 )=12
1 4 2 3 1 1
解得a =q=2.
1
2(2n−1)
∴a =2n，S = =2n+1−2.
n n 2−1
， 数列 是公比为2的等比数列．
∴S +2=2n+1 ∴ {S +2}
n n
数列 是公差为 的等差数列．
S =29−2=510.lga =nlg2. {lga } lg2
8 n n
综上可得：只有ABC正确．
故选：ABC.
由 ， ， ， ，公比q为整数．解得 ， 可得 ， ，进
a +a =18 a +a =12 a (1+q3 )=18 a (q+q2 )=12 a q. a S
1 4 2 3 1 1 1 n n而判断出结论．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】CD
3 3
【解析】解：对于A：由y=f '(x)的图象，可知x∈(−3,− )时，f '(x)<0，x∈(− ,1)时，
2 2
f '(x)>0，
3 3
所以f(x)在(−3,− )上单调递减，在(− ,1)上单调递增，故A错误；
2 2
3 3
对于B：由y=f '(x)的图象，可知x∈(− ,2)时，f '(x)>0，所以f(x)在(− ,2)上单调递增，
2 2
所以x=1不是f(x)的极值点，故B错误；
对于C：由y=f '(x)的图象，可知x∈(4,5)时，f '(x)>0，所以f(x)在(4,5)上单调递增，故C正确；
对于D：由y=f '(x)的图象，可知x∈(2,4)时，f '(x)<0，x∈(4,5)时，f '(x)>0，
所以f(x)在(2,4)上单调递减，在(4,5)上单调递增，所以在x=4时，f(x)取得极小值，故D正确．
故选：CD.
由y=f '(x)的图象，可得函数f(x)的单调性，从而即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】97 n2+3n−11
【解析】解：根据题意，数列 的通项公式是 ，则 ，
a a =n2+n−13 a =100+10−13=97
n n 10
故答案为：97；
a =(n+1) 2+(n+1)−13=n2+3n−11. n2+3n−11.
n+1
根据题意，由数列的通项公式，求出a 和a 即可得答案．
10 n+1
本题考查数列的通项公式，涉及数列的表示方法，属于基础题．
13.【答案】±60
【解析】解：设45和80的等比中项为x，
则由等比中项的概念得：x2=45×80=3600，
∴x=±60.故答案为：±60.
直接利用等比中项的概念列式求值．
本题考查等比数列的通项公式，考查了等比中项的概念，是基础的计算题．
14.【答案】(−2,9)【解析】【分析】
本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
求导函数，令其值为−8，即可求得结论．
【解答】
解： ， ，
∵f(x)=2x2+1 ∴f '(x)=4x
令4x =−8，则x =−2，∴y =9，
0 0 0
∴点M的坐标是(−2,9)，
故答案为：(−2,9).
15.【答案】解：(1)设等差数列{a }的公差为d，
n
∵a =1，d=a −a =1.
1 3 2
∴数列{a }的通项公式为：
n
a =1+(n−1)×1=n.(2)∵a =1，d=1，
n 1
∴数列{a }的前n项和：
n
n(n−1) n(n+1)
S =n×1+ ×1= .
n 2 2
【解析】(1)由已知条件可知首项和公差，由等差数列的通项公式能求出数列{a }的通项公式．
n
(2)由a =1，d=1，由等差数列的求和公式能求出数列{a }的前n项和．
1 n
本题考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，是基础题．
16.【答案】y'=15x2−6x+7；
y'=2cosx+3x ⋅ln3；
y'=2x⋅cosx−x2 ⋅sinx；
x2−3x2lnx 1−3lnx；
y'= =
x6 x4
y'=−6(1−2x) 2.
【解析】解：(1)由y=5x3−3x2+7x−4，得y'=15x2−6x+7；
(2)由y=2sinx+3x，得y'=2cosx+3x ⋅ln3；
(3)由y=x2 ⋅cosx，得y'=2x⋅cosx−x2 ⋅sinx；由 lnx，得 x2−3x2lnx 1−3lnx；
(4) y= y'= =
x3 x6 x4
，得
(5)y=(1−2x) 3 y'=3(1−2x) 2 ⋅(1−2x)'=−6(1−2x) 2.
利用基本初等函数的导函数结合导数的运算法则逐一求解得答案．
本题考查简单的复合函数的导数及导数的运算法则，是基础题．
17.【答案】y=1；
极小值为1，无极大值．
2
【解析】解：(1)由已知可得g'(x)=2x− ，
x
所以g'(1)=0，又g(1)=1，
所以曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y=1；
(2)g(x)的定义域为(0,+∞)，
2 2(x+1)(x−1)
由(1)知g'(x)=2x− = ，
x x
令g'(x)=0，可得x=1，
当01时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)在x=1处取得极小值，极小值为g(1)=1，无极大值．
(1)求出导函数，利用导数的几何意义可得切线方程；
(2)利用导数求出函数的单调性，进而可得函数的极值．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于
基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)设{a }的公差为d，
n
因为 ， ， 成等比数列，所以
a a a (a ) 2=a ⋅a .
2 4 8 4 2 8
即 ，即
(a +3d) 2=(a +d)⋅(a +7d) d2=a d.
1 1 1 1
又a =1，且d≠0，解得d=1.
1
所以有a =a +(n−1)d=1=(n−1)=n.
n 11 1 1 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：b = = = − .
n a ⋅a n(n+1) n n+1
n n+1
1 1 1 1 1
则S =1− + − +⋯+ − .
n 2 2 3 n n+1
1 n
即S =1− = .
n n+1 n+1
19.【答案】解： 的定义域为R，且 ，
(1)∵f(x) f '(x)=9x2−9=9(x+1)(x−1)
令f '(x)>0，可得x<−1或x>1；令f '(x)<0，可得−1
