安宁河联盟 2023～2024 学年度下期高中 2022 级期末联考
数 学
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用 0.5毫米黑色签字笔填写清
楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂
其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；
在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1、在等差数列 中， ， ，则数列 的公差 （ ）
【答案】
解析：因为 ， ，所以 解得
2、函数f(x)=lnx−x+1的图像在点(1,f(1))处的切线方程是（ ）
A.y=0 B.x=0 C.y=1 D.x=1
【答案】A
3、 的二项展开式中，二项式系数之和等于 ，则二项展开式中二项式系数最大的项为 （
）
【答案】
2n=256
解析：因为 ，所以 ，所以二项展开式的通项为 ，所以二项展开式中二
项式系数最大的项为
4、为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从
学科网（北京）股份有限公司，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：
A． B． C． D．
答案C
解析：依题意，
所以测试成绩不小于86的学生所占的百分比为
故选：C．
5、电影飞驰人生中对汽车的撞击能力进行检测，需要对汽车实施两次撞击，若没有受损，则认为该汽车
通过质检.若第一次撞击后该汽车没有受损的概率为0.84，当第一次没有受损时第二次实施撞击也没有受
损的概率为0.85，则该汽车通过检验的概率为（ ）
A．0.794 B．0.684 C．0.714 D．0.684
答案：C.
解析：设 表示第 次撞击后该汽车没有受损， ，
则由已知可得， ，
所以由乘法公式可得， 即该构件通过质检的概率是
0.714.
故选：C.
6、已知函数f(x)=lnx−ax2+x在区间[1,2]上单调递增，则实数 的最大值是（ ）
3 3 1
A．1 B． C D．
8 4 2
【答案】B
1 1 1
解析：由f(x)在区间上单增有f/ (x)= −2ax+1≥0在[1,2]上恒成立，则2a≤ + ,
x x2 x
1 3
易得当x= 时a的最大值为
2 8
7、用红、黄、蓝三种不同颜色给如图所示的4块区域 、 、 、 涂色，要求同一区域用同一种颜
色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
学科网（北京）股份有限公司C
B D
A
A．14种 B．16种 C．20种 D．18种
【答案】D
解析：
先涂A，有3种涂法，再涂B有2种涂法，涂C时，与A同色，有1种涂法，此时D有2种涂法，当C与
A异色时有1种涂法，这是D有1种涂法，所以共有3×2×（1×2+1×1）=18种
8 、
已知可导函数f(x)的定义域为(−∞,0),其导函数f/ (x)满足xf/ (x)+2f(x)>0,则不等式
(x+2024) 2∙f(x+2024)−f(−1)<0的解集为 ( )
A.(−2025,−2024) B.(−2024,−2023) C. (−∞,−2024) D.(−∞,−2023)
【答案】A
解析：
令F(x)=x2∙f(x)则g/ (x)=x∙[xf/ (x)+2f(x)]<0,故g(x)在(−∞,0)单减。
不等式(x+2024) 2∙f(x+2024)−f(−1)<可变形为(x+2024) 2∙f(x+2024)<(−1) 2∙f(−1),
即g(x+2024)<g(−1)
所以有x+2024>−1,且x+2024<0得−2025<x<−2024
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、设随机变量 的分布列为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：ABC
10、已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则下列选项正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司数列 是递增数列
当 时， 取得最大值为 的最小值为
【答案】
解析：因为 ， ，解得 ，
令 ，解得 ，正确
数列 是递减数列，因此数列 是递增数列错误
，当 时， 取得最大值为 . 正确
在 时单调递增， 的最小值为
，正确
11、已知m∈R,n∈R,且mn≠0， 为函数f(x)=−(n−mx)(x2−2x+1)的极小值点，则下列不
等式可以成立的有（ ）
A．m2<n2<mn B．n2<mn<m2
C．n2<m2<mn D．m2<mn<n2
【答案】B，D
解 析 ：
m+2n
f/ (x)=(x−1)(3mx−m−2n),由f/ (x)=0⇒x=1或x= ,因为f(x)在x=1处取得极小值,
3m
m+2n m+2n
故 ≠1得m≠n。若m>0,则 <1,得n<m,此时若n<0,四个选项均不成立。
3m 3m
m+2n
若n>0时,n2<mn<m2。若m<0,则 >1,得n<m<0,此时m2<mn<n2。
3m
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
学科网（北京）股份有限公司12、若已知 ，则
【答案】
解析：由 ，
令 ，则 ①
令 ，则 ②
由①+②得
所以
13、某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A,B,C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教
师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是______
（用数字作答）
【答案】14种
解析：C学校去一个人：C1∙C1∙A2；C学校去2个人：只能是甲，丁，故有：1×2
2 3 2
所以共有C1∙C1∙A2+2=14
2 3 2
14、已知 对任意的 都有 ___________
答案
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15、已知数列 的前 项和为 ，
学科网（北京）股份有限公司证明： 是等比数列，并求出 的通项公式；
已知 ，求数列 的前 项和 .
解析：（1）因为 ，
当 时， ， ；........1分
当 时， ， ，两式相减得 ，........3分
又 ，........4分
数列 是首项为3，公比为2的等比数列，........5分
........7分
（2） .......8分
........10 分
........13 分
16、某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由A、B、C三名导师负责．首先由A、B
两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；
若只有一名导师表示通过，则由老师C进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过
A、B、C三位导师审核的概率分别为 ，且各老师的审核互不影响．
(1)在某歌手通过晋级的条件下，求他（她）经过了复合审查的概率；
(2)从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为X，求X的分布列和数学期望．
解析：（1）设事件 老师表示通过 ，事件 老师表示通过 ，事件 老师表示通过 ，
学科网（北京）股份有限公司事件 歌手通过晋级 ，事件 歌手经过复审 ，则，
，
，因此，
所以它经过了复审的概率为 .
（2）依题意， 的可能取值为 ，显然， ，则
所以 的分布列如下：
X 0 1 2 3
1 3 3 1
8 8 8 8
1 3
数学期望为E(X)=3× =
.
2 2
17、教育局为了了解本区高中生参加户外运动的情况，从本区随机抽取了600名高中学生进行在线调
查，收集了他们参加户外运动的时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成 ，
， 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
学科网（北京）股份有限公司(1)为进一步了解这600名学生参加户外运动时间的分配情况，从参加户外运动时间在
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.
记参加户外运动时间在 内的学生人数为 ，求 的分布列和期望；
(2)以调查结果的频率估计概率，从该区所有高中学生中随机抽取10名学生，用“ ”表示这10名
学生中恰有 名学生户外运动时间在 ]（单位:小时）内的概率，当 最大时求 的值。
解析：（1）由频率分布直方图得:
解得
这600名学生中参加公益劳动时间在 三组内的学生人数分别为:
，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从参加公益劳动时间在[14，16]内的学生中抽取: ,
现从这10人中随机抽取3人，则 的可能取值为0，1，2，3，
的分布列为:
0 1 2 3
学科网（北京）股份有限公司则其期望为
（2）由（1）可知参加公益劳动时间在 的概率
所以
依题意 ，即 ，解得
因为 为非负整数，所以 ，
即当 最大时，
18、已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列， 的前 项和为 ，
，设 ，数列 的前 项和为 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）若不等式 对一切 恒成立，求实数 的最大值.
解析：（1）由已知等差数列 得 解得 ，..........2分
所以 ，...........4分
所以 ............5分
（2） ，①
，②
所以①-②得 ............6分
所以 ............7分
学科网（北京）股份有限公司所以 ............8分
由（1）得 ，所以 .........9分
不等式 对一切 恒成立
且 ............10分
对一切 恒成立 ............11分
即 对一切 恒成立， ............12分
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ，即 ；
当 时， ， 单调递增；
综上， 的最小值为 ，.............15分
， 的最大值为 . ............17分
ex
19、已知函数f(x)=mx−lnx,g(x)= (m≠0)的定义域为(0,+∞).
x
(1)求g(x)的极值点；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若函数f(g(x))存在唯一极小值点，求m的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司解析： ex (x−1)
(1)g(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),g/ (x)= , ......... (1分)
x2
令g/ (x)>0得x>1,令g/ (x)<0得x<1且x≠0
故
g(x)在(−∞,0)和(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增。 ......... (2分)
所以x=1是g(x) 的极小值点，无极大值点 ......... (3分)
1 mx−1
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f/ (x)=m− = ......... (4分)
x x
若m<0,f/ (x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减
1 1
若m>0,令f/ (x)>0得x> ;令f/ (x)<0得0<x<
m m
1 1
所以f(x)在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增.........(6分)
m m
综上，当m<0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减，
1 1
当m>0时，f(x)在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增 ......... (7分)
m m
(3) 令F(x)=f(g(x))=
mex
−x+lnx,则F/ (x)=
(x−1)(mex−x)
.
x x2
令ℎ(x)=mex−x,则ℎ / (x)=mex−1. .........(8分)
①当m<0时，ℎ / (x)<0在(0,+∞)上恒成立,
故当x∈(0,1)时，F/ (x)>0,F(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时，F/ (x)<0,F(x)单调递减.
所以F(x)有唯一极大值点，没有极小值点，不满足题意。......... (9分)
②当m≥1时，ℎ / (x)≥ex−1>0在(0,+∞)恒成立,ℎ(x)在（0，+∞）单增，ℎ(x)> ℎ(0)=m>1
故当x∈(0,1)时，F/ (x)<0,F(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时，F/ (x)>0,F(x)单调递增.
所以F(x)有唯一极小值点，满足题意。.........(10分)
③当0<m<1时，令ℎ / (x)<0,得0<x<−lnm;令ℎ / (x)>0,得x>−lnm
故ℎ(x)在(0,−lnm)上单调递减，在(−lnm，+∞)上单调递增.
学科网（北京）股份有限公司1
则令ℎ(x) = ℎ(−lnm)=1+lnm≥0,得m≥ ......... (11分)
min e
1
当 ≤m<1时，ℎ(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，由②可知F(x)有唯一极小值点，满足题意. .....(12分)
e
1 1 1 1
当0<m< 时，ℎ(−lnm)<0,ℎ(0)=m>0,ℎ(−2lnm)= +2lnm= −2ln >0,
e m m m
又因为ℎ(x)在(0,−lnm)上单调递减，在(−lnm，+∞)上单调递增,
所以存在唯一实数x ∈(0,−lnm),x ∈(−lna,2lnm)使得ℎ(x )=0,ℎ(x )=0，
1 2 1 2
又ℎ(1)=me−1<0
故当x∈(0,x )时，F/ (x)<0；当x∈(x ,1)时，F/ (x)>0；当x∈(1,x )时，F/ (x)<0；
1 1 2
当x∈(x ，+∞)时，F/ (x)>0.........(15分)
2
故F(x)在(0,x )上单调递减，在(x ,1)上单调递增，在(1,x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增.
1 1 2 2
所以F(x)的极小值点为x ，x ，不唯一，不满足题意。......... (16分)
1 2
[1
所综上，m的取值范围为 ,+∞)..........(17分)
e
学科网（北京）股份有限公司
