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六安二中 2025 届高三第二次月考试题
数学
分值：150分 时间：120分钟
命题人：刘欢审题人：袁绪信
注意事项
1.考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上并粘好条形码.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它选项.不能答在试题卷上.
3.解答题按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域的答案无效.
4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损.
第Ⅰ卷(选择题58分)
一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.
1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合 ，再求交集即可.
【详解】根据题意，可得 ，
故 .
故选： .
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，进而判断命题的充分必要性.
【详解】解不等式 ，可得 ，
解不等式 ，可得 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助特殊角的三角函数值、指数运算和对数函数性质，化简 即可判断大小.
【详解】由题知， ， ，
又 ，
所以 .
故选：A
4. 函数 图象大致是（ ）
的
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定函数定义域，判断函数奇偶性，即可判断 B；当 时， ，利用导数判断此
时函数的单调性，即可判断A，C，D，即得答案.
【详解】函数函数 的定义域为 ，
设 ，则 ，
故 为偶函数，其图象关于y轴对称，则B中图象错误；
又当 时， ， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
结合选项A，C，D中图象可知只有D中图象符合题意，
故选：D
5. 已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， .若 ，
则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的对称性作出函数的图象，可知函数为增函数，再利用奇偶性转化不等式为
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学科网（北京）股份有限公司，再利用单调性求解不等式即可.
【详解】由题意，函数 是定义域为R的奇函数，则 图象关于原点对称.
先作出当 时 的图象，再利用对称性可作出R上的 的图象.
函数 的图象如图.
由图象可知，函数 是R上的增函数.
由 ，得 ，
由 是奇函数，可得 ，
则有 ，
又 是R上增函数，则 ，解得 .
故 的取值范围为(1,+∞).
故选：D.
6. 科学技能的迅猛发展，使人们在学校里学到的专业知识，逐步陈旧过时，这就是所谓的“知识半衰
期”.1950年以前，知识的半衰期为50年：21世纪，知识的半衰期平均为3.2年；IT业高级工程师1.8年.如
果一个高三学生的初始知识量为 ，则经过一定时间，即t个月后的知识量T满足 ，
h称为知识半衰期，其中 是课堂知识量，若 ，某同学知识量从80降至75大约用时1个月，那么
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学科网（北京）股份有限公司知识量从75降至45大约还需要（ ）（参考数据:lg2≈0.30，lg11≈1.04）
A. 8个月 B. 9个月 C. 10个月 D. 11个月
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到方程，求出 ，两边取对数，计算出答案.
【详解】由题意得 ，即 ，
，所以 ，得 ，
两边取对数 ， ，
故选：C.
7. 已知函数 （ 且 ），若函数 的值域为 ，则实数a的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知当 时， ，由题意可知当 时，则 的值域包含 ，
分 和 两种情况，结合指数函数性质分析求解.
【详解】当 时，则 ，
且 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司若函数 的值域为 ，可知当 时，则 的值域包含 ，
若 ，则 在 内单调递减，
可得 ，不合题意；
若 ，则 在 内单调递增，
可得 ，则 ，解得 ；
综上所述：实数a的取值范围是 .
故选：B.
8. 对于 ，不等式 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 得， ，同构函数 由
得： ，再参变分离，转化为借助导数求函数的最值即可.
【详解】已知 ，由 得， ，
构造函数 则 是R上的增函数，则由 得： ，
即 ，令 ， ，
当 则 单调递减，
当 ，则 单调递增，
∴ ，则 又 则 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若函数 的定义域为[0,2]，则函数f (2x+2)的定义域为[−1,0]
B. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是(0,4)
C. 命题“ ”的否定是“ ”
D. 函数 的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】选项A抽象函数的定义域只需要令变量属于原函数定义域，解出 的范围即可；选项B分类讨论
和 ， 时借助二次函数开口方向和 即可解决恒成立问题；选项C是命题的否定，注
意“ ，结论边否定”；选项D讨论自变量的取值范围，从而得到指数函数的值域.
【详解】A：由题设 ，则 ，即f (2x+2)的定义域为[−1,0]，正确；
B：当 时，不等式 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时，则需满足 ，则 ，
综上， 的取值范围是 ，不正确，
C：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为 ，不正确；
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学科网（北京）股份有限公司D：令 ，故 ，即 的值域为 ，对.
故选：AD
10. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意得 ，且 ，结合基本不等式
以及相关推理逐一验算即可得解.
【详解】则 ，且 ，故D正确；
，A正确；
又由 可知 ，B正确； ，故C错误．
故选：ABD．
11. 设函数 与其导函数 的定义域均为 ，且 为偶函数， ，
则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知条件可得导函数对称性，判断A；由已知推出导函数的对称轴即可判断 B；结合导函数对
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学科网（北京）股份有限公司称性推出函数周期，进而利用周期进行求值，判断C；根据导数求导法则即可判断D.
【详解】对于A， ， ，
即 关于 对称，故A错误；
对于B， 为偶函数，故 ，即 关于 对称，
由 关于 对称，知 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
则 ，故 ，则 ，
所以 的周期为4，则 ，故C错误；
对于D，由 ，得 ，
即 ，令 得， ，
故 ，故D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若 ，则函数 关于 中心对称；
（2）若 ，则函数 关于 对称.
第Ⅱ卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 的单调递减区间为____________
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再令 ，然后利用复合函数的单调性求解.\
【详解】函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，
因为 是增函数， 在 上是减函数，
所以 单调递减区间为
故答案为：
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
13. 已知曲线 在点 处的切线与曲线 只有一个公共点，则
__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线 和切线方程，根据方
程只有一个解求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以当 时， ，即切线的斜率为2，
所以由点斜式得 即 ，
联立 整理得 ，
因为切线与曲线 只有一个公共点，
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学科网（北京）股份有限公司所以方程 只有一个根，
当 时，方程为 只有一个根，满足题意；
当 时， ，即 ，解得 ，
综上 或 ，
故答案为: 或 .
14. 已知函数 若函数 有唯一零点，则实数 的取值范
围是__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】 换元后转化为 ，该方程存在唯一解 ，且 ，数形结合求解.
【详解】当 时， 单调递减，图象为以 和 轴为渐近线的双曲线的一支；
当 时，有 ，可得 在 单调递减，在 单调递增
且 ， ，画出图象如下:
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学科网（北京）股份有限公司由题意， 有唯一解，设 ，
则 ，（否则至少对应2个 ，不满足题意），
原方程化为 ，即 ，
该方程存 在唯一解 ，且 .
转化为 与 有唯一公共点，且该点横坐标在 ，画图如下：
情形一： 与 相切，联立得 ，
由 解得 ，此时 满足题意：
情形二： 与 有唯一交点，其中一个边界为 (与渐近线平行)，
此时交点坐标为 ，满足题意；
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学科网（北京）股份有限公司另一个边界为 与 相切，即过点 的切线方程，
设切点为 ，则 ，解得 ，
所以求得 ，此时左侧的交点D横坐标为 满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到；
所以 的范围为 .
综上， 的取值范围为 或 .
故答案为： 或
【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令 ，转化为方程 存在唯一
解 ，且 ，作出 与 的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后
利用导数或联立方程组求切线的斜率，属于难题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知命题P：“ ， ”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A.
（1）求集合
（2）设集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）由 ：“ ， ”为假命题时，可转化为关于 的一元二次方程无解，然后
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学科网（北京）股份有限公司利用判别式即可；
（2）由 是 的必要不充分条件可得BA，然后分 为空集和非空集两种情况讨论即可.
【小问1详解】
因为命题 为假命题，所以关于 的一元二次方程 无解，
即 ，解得 ，
故集合 ，所以 或 ；
【小问2详解】
由 是 的必要不充分条件，则BA，
当 时， ，解得 ，此时满足BA，
当 时，
则 ，且等号不同时成立，
解得 ，
综上所述， 的取值范围是 .
16. 已知函数 ．
（1）判断并证明 的奇偶性；
（2）若对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2） .
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可；
（2）根据对数复合函数单调性确定 在 上最小值，把问题化为 在
上恒成立，即可求结果.
【小问1详解】
为奇函数，证明如下：
由解析式易知 ，函数定义域为 ，
而 ，故 为奇函数.
【小问2详解】
由 在 上为减函数，而 在定义域上为增函数，
所以 在 上为减函数，故 ，
要使任意 ， ，不等式 恒成立，
只需 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
由 开口向上，则 ，
综上， .
17. 函数 .
（1）求函数在 处的切线方程;
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学科网（北京）股份有限公司（2）求出方程 的解的个数.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，得到切点处切线的斜率，得到切线方程；
（2）作出函数图像，由函数图像与直线 交点个数确定方程解的个数.
【小问1详解】
定义域为： ，
∵
∴
∴切线方程为： .
【小问2详解】
方程解的个数等价于y=f (x)于 的交点个数.
所以 在 上递减，在 上递增，
且 时, ,
作出 与 的图象，
由图可知当 时，方程 的解为0个
当 或 时，方程 的解为1个
当 时，方程 的解为2个
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数
的
（1）当 时，求函数 单调区间
（2）若 有两个零点，求 的取值范围
【答案】（1）在 上单调递减；在 上单调递增．
（2）
【解析】
【分析】小问1：先对函数求导，令 ，解得 ，即可求解单调性；
小问2：当 时， ，函数 在 上单调递减，此时函数 最多有一个零点；当
时，由（1）可知： 时，函数 取得极小值，故 ，进而可求出实
数 的取值范围．
【小问1详解】
时， ．
令 ， ，解得 ．
时， ， 函数 在 上单调递减；
时， ， 函数 在 上单调递增．
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学科网（北京）股份有限公司【
小问2详解】
．
时， ，函数 在 上单调递减，此时函数 最多有一个零点，不满足题意，舍去．
时，由（1）可知： 时，函数 取得极小值，
有两个零点， ，
令 ， （1） ．
， 函数 在 上单调递增，
．
又 ； ．
满足函数 有两个零点．
的取值范围为 ．
19. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为 .牛顿在《流数法》一书中，给出了高
次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在 轴找初始点 ，然后作y=f (x)在点
处切线，切线与 轴交于点 ，再作y=f (x)在点 处切线( 轴，
以下同)，切线与 轴交于点. ，再作y=f (x)在点 处切线，一直重复，可得到一列
数： .显然，它们会越来越逼近 .于是，求 近似解的过程转化为求 ，若设精度为 ，则
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学科网（北京）股份有限公司把首次满足 的 称为 的近似解.
（1）设 ，试用牛顿法求方程 满足精度 的近似解(取 ，且结果
保留小数点后第二位)；
（2）如图，设函数 ；
(i)由以前所学知识，我们知道函数 没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释?
(ii)若设初始点为 ，类比上述算法，求所得前 个三角形 的面积
和.
【答案】（1）
（2）(i)答案见解析；(ii)
【解析】
【分析】（1）根据题意分别计算出 ，取 得近似值即为方程 的近似值；
（2）（i）设 ，则 ，由 求得 处的切线方程，
得到 即可；
(ii)再根据 得 ，从而 ，
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学科网（北京）股份有限公司再结合等比数列的求和公式求解即可；
【小问1详解】
由函数 ，则 ，切线斜率 ， ，
那么在 点处的切线方程为 ，
所以 ，且 ，
那么在 点处的切线方程为 ，
所以 ，且 ，
故用牛顿法求方程 满足精度 的近似解为 ；
【小问2详解】
(i)设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则 处切线为 ，
切线与 轴相交得 ，即 为定值，
根据牛顿法，此函数没有零点；
(ii)因为 得 ，
所以 ， ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司.
故所得前 个三角形 的面积和为 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于根据 ，再结合牛顿法得到 .
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学科网（北京）股份有限公司
