2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试
数 学 2024.2
本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1
1．已知集合A={z|z=in+ , n∈N∗}，则A的元素个数为（ ）
in
A．1 B．2 C．3 D．4
1 1 1 n+2
2．用数学归纳法证明： f (n)=1+ + ++ ≥ （n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时，
2 3 2n 2
f (k+1)比 f (k)共增加了（ ）
A．1项 B．2k −1项 C．2k+1项 D．2k项
3．已知函数 f (x)=x2+ax−2b，若a，b都是区间[ 0,4 ]内的数，则使得 f(1)≥0成立的概率是（ ）
7 5 3 1
A． B． C． D．
8 8 8 8
4．已知正三棱台ABCABC 的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底面顶点A为球心，
1 1 1
2 7为半径的球面与侧面BCCB 的交线长为（ ）
1 1
2π 4π
A． B．π C． D．2π
3 3
1 3
5．设a=sin0.2,b=0.16,c= ln ，则（ ）
2 2
A．a>c>b B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
6．17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼
1
1 x=1+
近实数求近似值．例如，把方程x2−x−1=0改写成x=1+ ①，将x再代入等式右边得到 1 ，继
x 1+
x
1
x=1+
1 1
续利用①式将x再代入等式右边得到 1+ ……反复进行，取x=1时，由此得到数列1，1+ ，
1 1
1+
x
1
1 1+
1+ 1， 1+ 1 ，，记作{a }，则当n足够大时，a 逼近实数 1+ 5 ．数列{a }的前2024项中，
1+ 1 1+ 1 n n 2 n
1
1+ 5 1+ 5
满足 a − <0.005的a 的个数为（参考数据： ≈1.618）
n 2 n 2
A．1007 B．1009 C．2014 D．2018
7．如图，已知椭圆C 和双曲线C 具有相同的焦点F(−c,0)，F (c,0)，A、B、C、D是它们的公共点，且
1 2 1 2
都在圆x2+y2 =c2上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线C 交于点Q，记直线AC、AQ的斜率
2
学科网（北京）股份有限公司分别为k 、k ，若椭圆C 的离心率为 2 5 ，则k ⋅k 的值为（ ）
1 2 1 1 2
5
2
A．2 B．
3
4
C． D．4
3
x2 y2 x2 y2
8．若椭圆C 和C 的方程分别为 + =1(a>b>0)和 + =λ（a>b>0,λ>0且λ≠1）则称C 和C
1 2 a2 b2 a2 b2 1 2
x2 y2 x2 y2
为相似椭圆．己知椭圆C : + =1,C : + =λ(0<λ<1)，过C 上任意一点P作直线交C 于M，N
1 4 3 2 4 3 2 1
两点，且PM +PN =0，则△MON 的面积最大时，λ的值为（ ）
1 1 3 3
A． B． C． D．
3 2 4 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
1 1 1
9．已知当x>0时， <ln(1+ )< ，则（ ）
1+x x x
10 1 9 1 1
A． <e9 < B．ln9<1+ ++ <ln10
9 8 2 9
10 C0 C1 C9
C．( )9 <9! D．( 9)2+( 9)2++( 9)2 <e
e 90 91 99
x2 y2
10．已知椭圆C: + =1上有一点P，F、F 分别为左､右焦点，∠FPF =θ,△PFF 的面积为S，则下
1 2 1 2 1 2
16 9
列选项正确的是（ ）
A．若θ=60°，则S =3 3
B．若S = 9，则θ=90°
9 7
C．若△PFF 为钝角三角形，则S∈0,
1 2 4
D．椭圆C内接矩形的周长范围是(12，20 ]
11．在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=max { x −x , y −y }为两点A(x,y )、B(x ,y )的“切比雪夫距
1 2 1 2 1 1 2 2
离”，又设点P及l上任意一点Q，称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l)，给
出下列四个命题，正确的是（ ）
A．对任意三点A,B,C，都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B)；
8
B．已知点P(2,1)和直线l:x−2y−2=0，则d(P,l)= ；
3
C．到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
D．定点F(−c,0)、F (c,0)，动点P(x,y)满足 d(P,F)−d(P,F ) =2a(2c>2a>0)，则点P的轨迹与
1 2 1 2
直线y=k（k为常数）有且仅有2个公共点.
第 II 卷（非选择题）
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
1 2
12．若事件A，B发生的概率分别为P(A)= ，P(B)= ，且A与B相互独立，则
2 3
P(AB)= ．
13．已知集合M ={ x∈N 2x−3<2 } ，则M 的非空子集的个数是 ．
14．如图，在四棱柱ABCD−ABCD 中，底面ABCD为正方形，AB=4，AB=BC ，BB ⊥BD ，且二
1 1 1 1 1 1 1 1
面角B −BD −C 的正切值为 2．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱ABCD−ABCD 内运动，
1 1 1 1 1 1 1
2
DQ= ，则PB +PQ的最小值为 ．
1 2 1
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数 f (x)= lgx−1
(1)解关于x的不等式： f
(
x
)<1；
1 4
(2)若 f (a)= f (b)（ab），求 + 的最小值．
a b
16．（15分）设(2x+1)8的第n项系数为a ．
n
(1)求a 的最大值．
n
(2)若[ x ]表示x的整数部分， ，求SS的值．
x2 y2
1
17．（15分）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的短轴长为 3 ，右顶点到右焦点的距离为 .
a2 b2 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图所示，设点A是椭圆C的右顶点.过点(3,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点E,F，且都在x轴的
上方.在x轴上是否存在点P，使∠APE=∠OPF，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
18．（17分）如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，
AB=4，EF∥AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC =3．
学科网（北京）股份有限公司(1)当点N 为线段AD的中点时，求证：AD⊥FN；
(2)当点N 在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．
19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，若在曲线C 的方程F(x,y)=0中，以(λx,λy)（λ为非零的正实
1
数）代替(x,y)得到曲线C 的方程F(λx,λy)=0，则称曲线C 、C 关于原点“伸缩”，变换
2 1 2
(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.
x2 y2
（1）已知C 的方程为 − =1，伸缩比λ=2，求C 关于原点“伸缩变换”所得曲线C 的方程；
1 1 2
9 4
2 x2 y2
（2）射线l的方程y= x（x≥0），如果椭圆C ： + =1经“伸缩变换”后得到椭圆C ，若射线l与
1 2
2 16 4
椭圆C 、C 分别交于两点A､B，且 AB = 2，求椭圆C 的方程；
1 2 2
（3）对抛物线C ：y2 =2px，作变换(x,y)→(λx,λy)，得抛物线C ：y2 =2p x；对C 作变换
1 1 1 1 2 2 2
(x,y)→(λx,λy)得抛物线C ：y2 =2p x，如此进行下去，对抛物线C ：y2 =2p x作变换
2 2 3 3 n n
n
(x,y)→(λ n x,λ n y)，得C n+1 ：y2 =2p n+1 x⋅⋅⋅若p 1 =1，λ n = 1 2 ，求数列{p n }的通项公式p n .
备选题：20．某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案．方
案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为 p ；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为p ，若
1 2
连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤．已知0< p < p <1，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首
2 1
次抽中新皮肤时的累计花费为X，Y（元）．
(1)求X，Y的分布列；
(2)求E(X)；
(3)若p =2p =0.02，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据：
1 2
0.99100 ≈0.37．）
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