文档内容
东北育才高中 2025-2026 学年度上学期
高二年级数学科期中考试试卷
答题时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. 已知直线方程 ，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知双曲线 的焦距为 ，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3. 已知空间向量 ， ，则B点到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中
AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD，M为AD的中点，则异面直线BM与
CD夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5. 点P在单位圆 上运动，则P点到直线l：
（λ为任意实数）的距离的最大值为（ ）A. B. 6 C. D. 5
6.已知 分别是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆在第一象限内一点，若
，则直线 的斜率为( )
A. B. C. D.
7．一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是 ,在凹
槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净
凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点
在 上，且满足 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分。
9.下列命题中，正确的有（ ）
A. 空间中的非零向量⃗a，⃗b，⃗c满足⃗a⊥⃗b，⃗b⊥⃗c，则有⃗a// ⃗c
B. 若空间向量⃗a、⃗b与空间任意向量都不能构成一组基底，则⃗a// ⃗b
高二年级数学科试卷 第2页，共5页C. “倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件
D. 若{⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗}是空间的一组基底，则{⃗ ⃗ ⃗}也是空间的一组基底
a+b,b+c,c+a a,b,c
10.若双曲线 ， 分别为左、右焦点，设点 在双曲线上且在第一象
限的动点，点 为 的内心，点 为 的重心，则下列说法正确的是（
）
3
2
A.双曲线 的离心率为
B.点 的运动轨迹为双曲线的一部分
C.若 ， ，则
D.存在点 ，使得 ∥
11. 在平面直角坐标系 中，动点 在直线 上的射影为点 ，且
，记动点 的轨迹为曲线 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线 关于原点 对称 B. 点 的轨迹长度大于2
C. D. 曲线 围成的封闭区域的面积大于2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知方程 表示椭圆，则m的取值范围为____________
13. 已知圆 ，直线 ， 为 上的动点．过点作圆 的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为
____________
14.在三棱锥 中， ， ， ， ，
且 ，则二面角 的余弦值的最小值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分13分）
已知圆 ．
（1）已知点 在圆 的外部，求 的取值范围；
（2）若 ，过 作圆 的切线，求切线的方程．
16. （本小题满分15分）
如 图 ， 平 行 六 面 体 的 所 有 棱 长 均 相 等 ， ，
， 平 面 平 面 ， 点 ， 满 足 ，
.
高二年级数学科试卷 第4页，共5页（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角 的正弦值.
17．（本小题满分15分）
x2 y2
E: + =1(a>b>0)
已知椭圆
a2 b2
，设P为椭圆上一点，设 分别为椭圆的左、
√3
S =
∠F PF =60∘, ΔPF F 3
右焦点，且 1 2 1 2 .
b
（1）求 ；
（2）若
a=√2
，
斜率为 的直线 经过右焦点 ，且与椭圆
E
相交于
A、B
两点.
AB F
如果以线段 为直径的圆经过左焦点 1，求直线 的斜率 .18．（本小题满分17分）
如图，在平面四边形 中， ， ，
将 沿AC翻折至 ，其中P为动点.
（1）已知 ，三棱锥 的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角 的余弦值的最小值.
19. （本小题满分17分）
已知椭圆 过点 ，离心率为 .不过原点的直线
交椭圆 于 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
且 .
高二年级数学科试卷 第6页，共5页（1）求椭圆 的方程；
（2）证明：直线 的斜率 为定值；
（3）求 面积的最大值.
