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江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．函数 在[0，π]上的平均变化率为
A．1 B．2 C．π D．
2．已知函数 上一点 ，则在点P处切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知随机变量X的概率分布如表所示，且 ，则 （ ）
X 1 2 3
P n m
A． B． C． D．
5．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为 ，乙命中目标的概率为 ，已知目
标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是定义在 上的奇函数，若对于任意的 ，都有 成立，
且 ，则不等式 解集为（ ）
A． B．
C． D．7．某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生
且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（ ）
A．30 B．45 C．60 D．75
8．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重
要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果
函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则 内至少存在一个点 ，使得
，其中 称为函数 在闭区间 上的“中值点”．请问函数
在区间 上的“中值点”的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．下列函数的导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 ，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布 ，那么当n比较大时，X近似服从正态分布
，其密度函数为 ， 任意正态分布 ，可通过变换
转化为标准正态分布 当 时，对任意实数x，记 ，则
（ ）A．当 时，
B．
C．随机变量 ，当 ， 都减小时，概率 增大
D．随机变量 ，当 增大， 减小时，概率 保持不变
三、填空题
12．已知随机变量 ，若 ， ，则 .
13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫
瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有
种．
14．若 恒成立，则实数 ．
四、解答题
15．已知 的展开式中共有11项．
(1)求展开式中含 的项的系数； 结果用数字作答
(2)求二项式系数最大的项．
16．结合排列组合，解决下列问题 结果用数字作答
(1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
(2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(3)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少
种放法？
17．已知函数(1)若 ，求函数 的单调区间和极值；
(2)若存在 ，使得 成立，求a的取值范围．
18．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至
少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比
赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的
硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时乙得分的概率为 ，各球的比赛结果相
互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球．
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率 ；
(3)现用 估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
19．若定义在 上的函数 和 分别存在导函数 和 ，且对任意实数 ，都存在常
数 ，使 成立，则称函数 是函数 的“ 控制函数”，称 为控制系数．
(1)求证：函数 是函数 的“ 控制函数”；
(2)若函数 是函数 的“ 控制函数”，求控制系数 的取值范围；
(3)若函数 ，函数 为偶函数，函数 是函数 的“ 控制函数”，求
证：“ ”的充要条件是“存在常数 ，使得 恒成立”．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B C D C C AD ACD
题号 11
答案 BD
1．C
根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.
【详解】平均变化率为 .
故选：C
2．B
求导函数，把点的横坐标代入导函数即可求解．
【详解】由 ，
可得 ，
故在点P处切线的斜率为
故选：B
3．D
利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果.
【详解】因为 ，由对立事件概率计算公式可得： ，
则 ，
故选：D.
4．B
利用分布列的性质以及期望公式列方程组即可求解．
【详解】由分布列的性质可得， ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ；
联立方程 ，解得 ，所以
故选：B
5．C
根据条件概率知识可解．
【详解】设事件 “甲命中目标”， “至少命中一次”，
则 ， ，
则已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为
故选：C
6．D
设函数 ，结合导数与单调性关系先判断 的单调性，然后判断奇偶性，即可求解．
【详解】设函数 ，则 ，
因为 是 上的奇函数，所 ，
所以 是 上的偶函数， ，
因为当 时， ，
所以 ，即 在 上单调递减，
因此 在 上单调递增，
所以 ， ，
当 ，原不等式可化为 ，即 ，解得 ，
当 ，原不等式可化为 ，即 ，解得 ，
综上所述， .
故选：D7．C
先分组，分配的时候考虑甲的特殊情况，即可求解.
【详解】依题意，将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有
种方法；
由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由 种
方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法．
故选：C
8．C
先对函数求导，结合已知定义即可求解．
【详解】因为 ， ，
所以 ， ， ，
若 ，
由 ，解得
故选：C
9．AD
利用导数公式表计算可得A正确，由于 为常数，所以其导数为0，即B错误，根据乘法运算法则求导
可知C错误，再由复合函数求导计算可得D正确.
【详解】易知 ，可得A正确；
又 ，即B错误；
易知 ，C错误；
显然 ，D正确．
故选：AD10．ACD
利用二项式定理，结合赋值法，逐项判断即可.
【详解】对于A， ，其中 ， ，解得 ，A正确；
对于B， 项的系数为 ，B错误；
对于C，令 ，得 ，令 ，得 ，
因此 ，C正确；
对于D，令 ，得 ，
由选项C得 ，D正确.
故选：ACD
11．BD
由定义即可判断A；根据 结合正态曲线的对称性，可判断B；根据正态分布的 准则可判
断CD.
【详解】对于A：当 时，
，故A错误；
对于B：根据正态曲线的对称性可得： ，即
，故B正确；
对于CD：根据正态分布的 准则，在正态分布中 代表标准差， 代表均值， 即为图象的对称轴，
根据 原则可知X数值分布在 的概率是常数，故由 可知，
D正确，C错误．
故选：BD.
12． /
根据二项分布的期望公式和方差公式求解.【详解】因为随机变量 ，
所以 ， ，
联立解得
故答案为：
13．260
根据题意可分若A和C相同，B和D相同时，若种三种花，若种四种花，三种情况讨论即可．
【详解】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区
域的花不同，
则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类：
若A和C相同，B和D相同时，有 种方法；
若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有 种；
若种四种花，则有 种，
则不同的种植方法有 种．
故答案为： .
14． /
设 ，则原式等价于 ，进而得到 恒成立，再根据切线不等式得
解．
【详解】因为 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，
设 ，则 恒成立，
又 ，则 在 上单调递增，
可得 恒成立，即 恒成立，令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
即 恒成立（当且仅当 时取等号），
所以 ，解得
故答案为：
15．(1)960；
(2)
（1）结合二项式定理通项计算，即可求解；
（2）结合（1）的通项公式以及二项式系数的增减性，即可求解.
【详解】（1）由题意可知 ，解得 ，
展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
故展开式中含 的项的系数为 ；
（2）由 可得二项式系数最大的项为第六项，
即 .
16．(1)81；
(2)36；
(3)
（1）根据分步乘法计数原理可解；
（2）根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可；
（3）确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解．
【详解】（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有 种放法；
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，则将4封信分成1，1，2三组，有 组，再分给三个信箱，有 种放法；
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，
先确定一组序号相同有 种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有 种情况．
17．(1)增区间为 和 ，减区间为 ，极大值 ，极小值 ；
(2)
将 代入函数解析式，利用导数判断其单调性和极值即可；
问题等价于存在 ， ，设 ，利用导数求函数 在 上的最大值，
进而可得出答案．
【详解】（1）若 ，则 ，
则 ，
令 ，可得 或 ；令 ，可得 ，
所以该函数增区间为 和 ，减区间为 ，
当 时取得极大值 ，当 时取得极小值 ；
（2）因为存在 ，有 成立，
所以存在 ，有 成立，即存在 ，
因为 ，所以存在 ， ，
设 ，其中 ，则 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 ，
故a的取值范围为
18．(1)分布列见解析；均值为
(2) ；
(3)
（1）依题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，求出X的分布列和均值；
（2）设第一局比赛甲获胜为事件B，得到则 ， ， ，利用
全概率公式求解，得出 即可；
（3）由（2）得 ，估计甲每局获胜的概率，根据五局三胜制的规则，得到比赛场数Y的所有可能取值为
3，4，5，得到相应的概率，相加计算即可．
【详解】（1）依题意知，X的所有可能取值为0，1，2；
， ， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
X的均值为 ；
（2）设第一局比赛甲获胜为事件B，平局后每次再打两个球后甲新增的得分为Z，
则 ， ， ；
由 知， ， ， ，由全概率公式得，
，
解得 ，即第一局比赛甲获胜的概率 ；
（3）由（2）知 ，所以估计甲每局获胜的概率均为 ，
根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y，
因为每局的比赛结果相互独立，所以Y的所有可能取值为3，4，5，
所以 ， ， ；
所以该场比赛甲获胜的概率为
19．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为 ， ，所以 ， ，则 ，
故 ，即 恒成立，
故函数 是函数 的“ 控制函数”.
（2）因为 ， ，
则 ， ，
因为函数 是函数 的“ 控制函数”，
所以，对任意的 ， ，则 ，令 ，
则
，
且 ，
故当 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，所以 ，
若函数 是函数 的“ 控制函数”，
则实数 的取值范围是 .
（3）充分性：若存在常数 使得 恒成立，则 ，
因为函数 为偶函数，所以 ，则 ，
则 为偶函数，即 ，
所以 恒成立，所以 ；
必要性：若 ，则 ，所以函数 为偶函数，
函数 是函数 的“ 控制函数”，
因此对任意的 ， ，
又 ， ，所以， ， ，所以 ，即 ，
用 代换 可得 ，故 ，
综上可知 ，记 ，则 ，
因此存在常数 使得 恒成立，
综上可得，“ ”的充要条件是“存在常数 使得 恒成立”.
