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2023--2024 学年高三上期第四次段考
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法及对数函数的定义域求得集合M、N，再根据交集的概念计算即可.
【详解】由 ，所以 ，
由对数函数的定义域知 ，即 ,
所以 .
故选：D
2. 已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用待定系数法设 ，再代入已知条件解方程即可.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
则 解得 ，即 ，所以复数 的虚部为 .
故选：A.
3. 已知x，y为非零实数，向量 ， 为非零向量，则“ ”是“存在非零实数x，y，使得
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学科网（北京）股份有限公司”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】化简得到 得到 ， 共线且方向相同，存在非零实数 x，y，使得 得到
， 共线，得到答案.
【详解】 ，故 ，整理得到 ，即 ，
故 ， 共线且方向相同，
存在非零实数x，y，使得 ，故 ， 共线，
即“ ”是“存在非零实数x，y，使得 ”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的 倍，则该
公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取 ）
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得数列 是首项为a，公比为 的等比数列，结合等比数
列的前 项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设第 年的销售额为 万元，
依题意可得数列 是首项为a，公比为 的等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司则该公司从第1年到第11年的销售总额为 万元．
故选：D
5. 已知 的外心为 ，且 ， ，向量 在向量 上的投影向量为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，确定 的形状，并求出角C，再利用投影向量的意义求解作答.
【详解】在 中，由 ，得点 为线段 的中点，而 为 的外心，
则 ，即有 ，又 ，则 为正三角形，因此 ，
，
所以 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知函数 的图象关于直线 对称，若 ，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的对称性，建立方程求出 的值，然后利用辅助角公式求出 的解析式，利用最值性
质转化为周期关系进行求解即可．
【详解】由函数 的图象关于直线 对称，得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又由 ， ，
所以 ，
所以 的最小值为函数的最小正周期 ．
故选：B.
7. 已知 ，均大于1，满足 ，则下列
不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先化简表达式，将问题转化，构造函数，画图分析即可.
【详解】由 得：
，
即 ，
同理 ，
，
上述可化为： ，其中 且都大于1，
分别为 ，且 ，
令 ，
如图所示：
由图可得：
故选：B
8. 已知函数 有三个零点 ，且 ，则 取值范围是（
的
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令 ，将方程转化为 ，设 ， 且 ，由导数得
出 的单调性与值域，并画出简图，设 ，则 ，得 ，分类讨
论 的范围，即可得出 的范围．
【详解】令 ，得 ，
当 时， ，即 或 ，只有2个零点，不合题意，故 ，
又 ，
所以 ，
设 ， 且 ，
则 ，令 ，解得 ，且 ，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 的最小值为 ，
画出简图，如图所示，
所以当 时， ，当 时， ，
设 ，则 ，
变形为 ，
记 ，令 ，则 ，
画出简图，如图所示，
①当 时， 只有一个根 ，
则 只有一个根，不合题意；
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学科网（北京）股份有限公司②当 时， 有两个根 ，
则 有一个根， 有两个根，符合题意；
③当 时， 有两个根 ，
则 有一个根， 有一个根，不合题意；
综上所述， ，即 ，
故选：D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为16 B. 的最小值为9 C. 的最大值为1 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；利用消元法即可判
断C；利用消元法结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 （ 舍去），所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为16，故A正确；
对于B，因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为9，故B正确；
对于C，由B得 ，则 ，
则 ，故C错误；
对于D， ，
当 ，即 时， 取得最小值 ，
所以当 时， 的最小值为 ，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（
）
A.
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学科网（北京）股份有限公司B. 函数 的图象关于 对称
C. 函数 在 的值域为
D. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由图象信息求出 表达式，从而即可判断A；注意到 是 的
对称中心当且仅当 ，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域
对比即可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.
【详解】如图所示：
由图可知 ，又 ，
所以 ，所以 ，
又函数图象最高点为 ，
所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
由题意 ，所以只能 ，故A选项正确；
由A选项分析可知 ，而 是 的对称中心当且仅当
，
但 ，从而函数 的图象不关于 对称，故B选项错误；
当 时， ， ，
而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
所以函数 在 的值域为 ，故C选项正确；
若将函数 的图象向左平移 个单位，
则得到的新的函数解析式为
，故D选项正确.
故选：ACD.
11. 定义在R上的函数 满足 为奇函数，函数 满
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学科网（北京）股份有限公司足 ，若 与 恰有2023个交点 ，则
下列说法正确的是（ ）
A. B. 为 的对称轴
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由 ，得函数 图象关于直线 对称，由 是奇函数，得 的图象关
于点 对称，从而得 是周期函数，4是它的一个周期，由 ，得 图象关于点
对称，从而知 与 的图象的交点关于点 对称，点 是它们的一个公共点，由此可判断
各选项．
【详解】 ，则函数 图象关于直线 对称，B正确；
是奇函数，即 ， ，则 的图象关于点 对称，
， ，C正确；
所以 ，从而 ，所以 是周期
函数，4是它的一个周期， ，A错；
又 ， 图象关于点 对称，因此 与 的图象的交点关于点 对称，点
是它们的一个公共点，
，D正确．
故选：BCD．
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学科网（北京）股份有限公司12. 在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组 ， ， ，
表示把 中每个1都变为0，0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如 ，则
.定义 ， ，若 ，则（ ）
A. 中有 个1
B. 中有 个0
C. 中0的总个数比1的总个数多
D. 中1的总个数为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定有序数列的定义得到 ， ， , ， ，探究得到 的规律，然后利用数列的知
识求通项求和即可.
【详解】因为 ，所以 ， ， ，
， ，
显然， ， ， 中共有2,4,8项，其中1和0的项数相同，
， ， 中共有3,6,12项，其中 为1， 为0，
设 中总共有 项，其中有 项1， 项0，
则 ， ， ，
所以 中有 个1，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司中有 个0，B错；
，则 ， ， ， ， 中 的总数比1的总数多
，C正确；
， ， ， ， 中1的总数为 ，D错.
故选：AC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值
等于________．
【答案】2
【解析】
【分析】由点 知 ,再由点 可得 .
【详解】由图可知 .
【点睛】本题解题关键在能结合图象中的点的坐标弄清楚数之间的对应关系.
14. 已知等比数列 中， 若 ，则 =__________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式化简，解方程组得结果
【详解】因为等比数列中通项公式可知， ，那么联立
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学科网（北京）股份有限公司方程可知首项为128，公比为 ，
结合 9.
故答案为：9.
15. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术.如图，原纸片为一圆形，直径 ，需要剪去四边形
，可以通过对折、沿 ， 裁剪、展开实现. 已知点 在圆上，且 ，
，则四边形 的面积为______________ .
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线得到 ，结合勾股定理得到 ，利用余弦定理得到 ，
再计算面积得到答案.
【详解】如图所示：设圆心为 ，连接 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，故 平分 ， ，
又 ，解得 ， ， ，
中： ，即 ，
解得 或 （舍）.
故 ，
故四边形 的面积为 .
故答案为： .
16. 若存在 ，使得函数 与 的图象有公共点，且在公共点处的切
线也相同，则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设两函数图象的公共点横坐标为 ，求导后得到方程，求出 ，从而得到 ，
即 ，构造函数，求导得到单调性，进而求出 ，求出答案.
【详解】 的定义域为 ， 的定义域为R，
设两函数图象的公共点横坐标为 ，则 ，
， ，则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 或 ，
因为 ，所以 （舍去）， 满足要求，
且 ，即 ，
故 ， ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
故 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；
(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；
(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用
求解.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在（1） ；（2） ；（3） 这三个
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学科网（北京）股份有限公司条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 中，内角 的对边分别为 ，且
满足
（1）求角 ；
（2）若 的外接圆周长为 ，求 边上的中线长.
【答案】（1）所选条件见解析， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据所选条件，应用正弦边角关系、三角形面积公式、向量数量积定义、三角恒等变换化
简条件求角 ；
（2）由已知易得 为顶角为 的等腰三角形， 是 中点，则 ，利用向量数量
积的运算律求中线长度.
【小问1详解】
选（1），则 ，
所以 ，而 ，则 ，
所以 ；
选（2），则 ，
所以 ，而 ，则 ；
选（3），则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，则 ，
而 ，则 .
【小问2详解】
由 ，则 ，故 ， ，即 ，
结合（1）易知： 为顶角为 的等腰三角形，如下图， 是 中点，
的外接圆周长为 ，若外接圆半径为 ，则 ，
所以 ，而 ，
所以 ，
则 ，即求 边上的中线长为 .
18. 设数列 的前 项和为 ，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，都有 ，
求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先可以根据已知得到 ，其次注意到 ，结合等比数列的定义
即可求解.
（2）由（1）可知 ，先将数列 的通项公式裂项得 ，从而可求得其
前 项和为 ，若 ，都有 ，则只需 ，研究 的单调性即可得到
其最小值，从而解不等式即可求解.
【小问1详解】
一方面：因为 ，所以 ，
所以 ，即 ；
另一方面：又 时，有 ，即 ，且 ，
所以此时 ；
结合以上两方面以及等比数列的概念可知数列 是首先为 ，公比为 的等比数列，
所以数列 的通项公式为 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，
又由题意 ，
数列 的前 项和为
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学科网（北京）股份有限公司，
又 ，都有 ，故只需 ，
而 关于 单调递增，
所以 关于 单调递减， 关于 单调递增，
所以当 时，有 ，
因此 ，即 ，解得 ，
综上所述： 的取值范围为 .
19. 的内角 的对边分别为 的面积为 .
（1）求 ；
（2）设 点为 外心，且满足 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由数量积的定义得 ，再结合三角形面积公式可得 ，从而得 角；
（2）由圆性质得 ，然后由数量积定义求得 ，再由正弦定理求得 ．
【小问1详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司两式相除得： ，
又 ，∴ .
【小问2详解】
为外心，故 .
由正弦定理可知： .
20. 已知数列 满足 ， .
（1）证明 为等差数列，并求 的通项公式；
（2）若不等式 对于任意 都成立，求正数 的最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义，即可证明，结合等差数列的通项公式代入计算，即可得到
结果；
（ 2 ） 根 据 题 意 ， 将 不 等 式 变 形 ， 可 得 ， 令
，由其单调性可得 ，即可得到结果.
【小问1详解】
因为 ，两边同时取倒数可得， ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，且 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，且
，所以 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，则 ，
令 ，所以
，
由 可知， 随 增大而增大，只需 即可，
且 ，所以 的最大值为 .
21. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 是 和 的等比中项.
（1）证明： .
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列及余弦定理化简，再由正弦定理统一为三角函数，化简即可得解；
（2）利用三角函数化简后，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出值域即可.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
因为 是 和 的等比中项，
所以 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
故 ，即 ，
由正弦定理可得 ，
即
，
又 ，
所以 ，即 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，解得 ， ，
由 ，
令 ，
.
令 ，得 ，即 在区间 上单调递增；
令 ，得 ，即 在区间 上单调递减.
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ， ，
故 ，即 的取值范围为 .
22. 已知函数 为其导函数．
（1）求 在 上极值点的个数；
（2）若 对 恒成立，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数函数 的单调性与三角函数有界性分段讨论 的符号，由此得函数 的单调
性与极值；
（2）先探求恒成立的必要条件，再证明其充分性.充分性的证明先构造函数，再利用导函数研究函数单调
性，结合（1）结论可证.
【小问1详解】
①当 时， ，
所以 ， ，则 ，
所以 单调递增；
在
②当 时，则 ，
设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ， ，则 ，
所以 在 单调递减，
又 ，
故存在 ，使得 ，即 ，
且在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时，则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故 在 上单调递减；
④当 时，则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 在 上单调递增；
⑤当 时，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， 在 上单调递增；
综上所述， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 在 上仅有 个极值点.
【小问2详解】
当 时， 恒成立，
即 .
令 ，
若 对 恒成立，
由 ， ，
所以当 时， 取得最小值.
由 ，
则 为函数 的极小值点，故 ，解得 .
下面证明：当 时， 为函数 的最小值点，
，
令 ，
由（1）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，且 ，
所以当 时， 的最小值为 ，则 恒成立，
即 在 上恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 即 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 恒成立，符合题意.
综上所述， .
【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论
区间的单调性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩，如 等．
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学科网（北京）股份有限公司
