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民乐一中 2023-2024 学年第一学期高三年级第二次诊断考试
数 学
一、选择题
1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合间的基本运算，即可得到答案；
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
2. 一元二次方程 ，（ ）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由方程根的情况可得 ，求出 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】因为一元二次方程 ，（ ）有一个正根和一个负根，
所以 ，解得 ，
所以一元二次方程 ，（ ）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是 .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知点 是角 终边上一点，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.
【详解】依题意点P的坐标为 ， ， ；
故选：D.
4. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列的性质可知 、 、 、 成等差数列，根据题意可将 都用
表示，可求得结果.
【详解】由等差数列的性质可知 、 、 、 成等差数列，
∵ ，即 ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ .
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司5. 函数 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊值 的正负，再排除选项，即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ，
由 ，
则 为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，C，
又 ，故排除B，
故选：D.
6. 为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛 出发，沿南偏东
的方向航行40海里后到达海岛 ，然后再从海岛 出发，沿北偏东 的方向航行了 海里到达
海岛 ，若巡逻舰从海岛 出发沿直线到达海岛 ，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）
A. 北偏东 B. 北偏东
C. 北偏东 D. 北偏东
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据方位角的概念结合正弦定理、余弦定理求解.
【详解】作出示意图如图所示，
根据题意， ，
根据余弦定理，
因为 ，
所以
，
因为 ，所以
，
因为 为锐角，所以 ，
所以从海岛 出发沿直线到达海岛 ，航行的方向是北偏东 ，
航行的距离是 海里，
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学科网（北京）股份有限公司.
故选:C
7. 设等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，若 ，则 为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，得 ，此由可得结论．
【详解】 是等差数列，则 ，
∴ ．
故选：C．
8. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
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学科网（北京）股份有限公司② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
二、多项选择题
9. 已知等差数列 是递增数列，且 ，其前 项和为 ，则下列选择项正确的是（ ）
A. B. 当 时， 取得最小值
C. D. 当 时， 的最小值为8
【答案】ACD
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，因为 ，求得 ，根据数列 是递增数列，可判
断AC；由等差数列前 项和公式，结合二次函数的性质和不等式的解法，可判断BD．
【详解】由题意，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
又由等差数列 是递增数列，得 ，则 ，故AC正确；
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司由二次函数的性质知，对称轴为 ，开口向上，
所以，当 或4时 最小，故B错误；
令 ，解得 或 ，即 时 的最小值为8，故D正确．
故选：ACD．
10. 下列说法正确的有
A. 在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B. 在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则△ABC为等腰三角形
C. △ABC中，sin A＞sin B是A ＞B的充要条件
D. 在△ABC中，若sin A= ，则A=
【答案】AC
【解析】
【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解.
【详解】由正弦定理
可得：
即 成立，
故选项A正确；
由 可得 或 ，
即 或 ，
则 是等腰三角形或直角三角形，
故选项B错误；
在 中，由正弦定理可得
，
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学科网（北京）股份有限公司则 是 的充要条件，
故选项C正确；
在△ABC中，若sin A= ，则 或 ，
故选项D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查了命题真假性的判断，正弦定理的应用，属于基础题.
11. 已知函数 ，则（ ）
A. 是偶函数 B. 在区间 上单调递减
C. 在区间 上有四个零点 D. 的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由定义判断A；由正弦函数的单调性判断B；由 在 上的零点结合奇偶性判断C；讨论
的值域，结合奇偶性判断D.
【详解】对于A：其定义域为 ， ，即函数 是
偶函数，故A正确；
对于B： 时， ，由正弦函数的单调性可知， 在区间
上单调递减，故B正确；
对于C： 时， ，此时 ，可得 或 ，因
为 是偶函数，所以 在区间 上的零点为 ，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于D：当 ，且 时， .
当 ，且 时， ， .
又 是偶函数，所以函数 的值域为 ，故D正确；
故选：ABD
12. 已知函数 ， ，使方程 有 4 个不同的解：分别记为
，其中 ，则下列说法正确的是（ ）.
A. B.
C. D. 的最小值为14
【答案】AC
【解析】
【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解判断即可.
【详解】
如图， 时，方程存在4个不同根，
当 时， ，
时， 得
即 ，由正弦函数对称性知 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
在 上单调递增，所以 ；
，
在 上单调递减，所以 ，无最小值，
故选：AC
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想进行求解是解题的关键.
三、填空题
13. 已知 在 上的最大值为M，最小值为m，若 ，则 ______．
【答案】−2或−4
【解析】
【分析】根据区间和二次函数对称轴的相对位置，结合二次函数的单调性分类讨论求解即可.
【详解】二次函数 的对称轴为： ，
当 时，即 ，函数在 上单调递增，
所以 ，由 ，得 ，不满足 ，舍去；
当 时，即 时，函数在 上单调递减，
所以 ，由 ，得 ，不满足 ，
舍去，
当 时，则 ，此时 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 时，即 时， ，
由 ，得 ，或 舍去，
若 时，即 ， ，
由 ，得 ，或 舍去，
综上所述： 或 ，
故答案为：−2或−4
【点睛】关键点睛：根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论是解题的关键.
14. 若 ，则 __________ ；
【答案】
【解析】
【分析】由题意， 是 的2倍，根据余弦二倍公式，即可求解.
【详解】由题意
故答案为：
【
点睛】本题考查余弦二倍角公式，属于基础题.
15. 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}的前n项和为________．
n n
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项
以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等
差数列求和公式，属于简单题目.
16. 函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而得 ，故当 时， ，且在 上单调
递减，进而根据奇函数性质得函数 在 上的单调递减函数，然后讨论即可.
【详解】解：因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
因为当 时， ，
所以 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，
当 时，
所以由二次函数的性质得 时，函数 单调递减，在 上单调递减
易知
当 时，原不等式 ，解得 ；
当 时，无实数解；
当 ，无实数解；
当 ，即 时，原不等式
，解得 ；
当 ，即 时， ， ，满足题意；
当 ，即 时， ， ，不满足题意.
综上，原不等式的解集为：
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题
17. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求C；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得答案;
（2）由余弦定理求得a值，然后利用面积公式求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理得 ，
得 ．
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，即 ．
【小问2详解】
由余弦定理得 ，得 ，
所以 ，故 的面积为 ．
18. 问题：设公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
下列三个条件：① 成等比数列；② ；③ .从上述三个条件中，任选一个
补充在上面的问题中，并解答.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）选①②③分别与 组成方程组，解出首项与公差即可得解；
（2）利用裂项相消法求出数列的前 项和为 ，即可得证.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 .
选条件①：∵ S＝6，a，a，a 成等比数列，
3 2 4 8
∴ ，解得 ，
故数列 的通项公式为 .
选条件②：∵ S＝6，S＝5a，
3 4 2
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 ，
故数列 的通项公式为 .
选条件③：∵ S＝6，（n+1）a＝na ，
3 n n+1
∴ ，解得 ，
故数列 的通项公式为 .
【小问2详解】
证明：∵ ＝ ，
∴ +…+ ＝
＝ .
19. 已知函数 ．若函数 在 处有极值-4．
（1）求 的单调递减区间；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【详解】试题分析：
先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于 的方程组，求得 后再根据导函数的符号求出单
调递减区间．
由 求出函数的单调区间，可以数判断函数 在 上的单调性，求出函数 在
上的极值和端点值，通过比较可得 的最大值和最小值．
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学科网（北京）股份有限公司试题解析：
（1）∵ ，
∴ ，
依题意有即 ，解得
∴ ，
由 ，得 ，
∴函数 的单调递减区间
由 知
∴ ，
令 ，解得 ．
当 变化时， 的变化情况如下表：
由上表知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
故可得
又 ．
∴
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学科网（北京）股份有限公司综上可得函数 在 上的最大值和最小值分别为 和 ．
20. 已知函数 ， .
（1）求 的最小正周期和单调区间；
（2）求 在闭区间 上的最大值和最小值．
【答案】（1）最小正周期为 ，单调递增区间是 ，单调递减区间是
；
（2）最小值为 ，最大值为
【解析】
【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 ，利用正弦函数的
性质即得；
（2）利用正弦函数的性质即求．
【小问1详解】
由
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ 的最小正周期为 ，
由 ，得 ，
由 ，得
∴函数单调增区间为 ，函数单调减区间为 ；
【小问2详解】
由于 ，
所以 ，
所以 ，
故 ，
故函数的最小值为 ，函数的最大值为 ．
21. 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
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学科网（北京）股份有限公司（1）结合等差数列下标性质可得 ，再由前 项和公式 ，
即可求解；
（2）由（1） ，再结合错位相减法即可求解；
【详解】（1）设数列 的公差为 ，∵ ，∴ ，
，∴ ，
∴ ，∴ .
（2）由（1）可知 ，
∴数列 的前 项和为 ，
，
两式作差，得
，
∴ .
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，错位相减法求解数列的前 项和，属于中档题
.
22 设函数 .
（Ⅰ）讨论 的导函数 的零点的个数；
.
（Ⅱ）证明：当 时
【答案】（Ⅰ）当 时， 没有零点；当 时， 存在唯一零点.（Ⅱ）见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分 与 考虑 的单调性及性质，即可判断出零点
个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设 在 的唯一零点为 ，根据 的正负，即可判定函数的图像
与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于 ，即证明了所证不等式.
试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 ， .
当 时, ， 没有零点；
当 时，因为 单调递增， 单调递增，所以 在 单调递增.又 ,当b满足
且 时， ,故当 时， 存在唯一零点.
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设 在 的唯一零点为 ，当 时， ;
当 时， .
故 在 单调递减，在 单调递增，所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
由于 ，所以 .
故当 时， .
考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；
运算求解能力.
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