文档内容
2023~2024 学年第一学期闽江口协作体期中联考
高三数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：集合，函数，三角函数与解三角形，平面向量，复数，立体几何，数
列.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简集合M，再由集合的交集运算求解.
【详解】解：因为集合 ，
所以 ，
故选：A
2. 已知 ，复数 ，则以下为实数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】根据复数的乘方，计算即可求解.
【详解】由题意知，
，
所以 .
故选：C.
3. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】首先判断函数的奇偶性，再由函数在 上的取值情况判断即可.
【分析】函数 则 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C、D；
当 时 ， ，所以 ，则 ，故排除B.故选：A
4. 如图，边长为2的正方形 是用斜二测画法得到的四边形 的直观图，则四边形
的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由斜二测画法确定平行四边形 相关边长及对应高，即可求面积.
【详解】由直观图知：四边形 中 ，且其对应高 ，
所以四边形 的面积为 .
故选：D
5. 已知函数 ，则（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 关于 轴对称 D. 关于 中心对称
【答案】D
【解析】
【详解】首先判断函数的定义域，再根据奇偶性与对称性的定义判断即可.
【分析】函数 定义域为 ，
且 ，所以 是非奇非偶函数，故A、B错误；因为 ，所以 不关于 对称，故C错误；
又 ，
所以 关于 中心对称，故D正确；
故选：D
6. 圆台 的内切球 的表面积与圆台的侧面积之比为 ，则圆台母线与底面所成角的正切值为（
）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，作 ，则E为切点，由三角形的全等可得母线的长为 ，进而 .由球的
表面积和圆台的侧面积公式化简计算可得 ，即可求解.
【详解】设内切球的半径为R，上底面的圆的半径为 ，下底面的圆的半径为 ，
如图，作 ，则E为切点，有 ， ，
所以 ， ，
得 ，故母线的长为 ，
在 中， ，即 ，得 .
又内切球的表面积与圆台的侧面积之比为 ，所以 ，由 得 ，
设母线与底面的夹角为 ，则 .
故选：D.
7. 函数 的两个零点分别为 ，且 ，在 上 仅有两条对称
轴，则 可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得 ，由 且 可得 .由
可得 ，取 即可求解.
【详解】因为函数 的两个零点为 ，且在 上仅有两条对称轴，
所以 ，又 且 ，得 .
由函数 的零点为 ，得 ，得 ，
当 时， ，此时 .
故选：A.
8. 正四棱柱 中， ，四面体 体积为 ，则 与平面 所成
角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，根据四面体 体积为 ，由 ，求得 ，
再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.
【详解】解：设 ，因为四面体 体积为 ，
所以 ，解得 ，
建立如图所示空间直角坐标系：则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】【分析】ABC选项，利用作差法比较大小，D选项，变形后，利用基本不等式证明出结论.
【详解】A选项，因为 ，所以 ， ，
故 ，
所以 ，A正确；
B选项， ，
因为 ，所以 ，
故 ，B正确；
C选项，因为 ，所以 ，
故 ，
故 ，C错误；
D选项，因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 ，
故D正确.
故选：ABD
10. 已知 ，且角 的终边上有点 ，则（ ）
A. B.C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】利用三角函数定义结合诱导公式求解判断AB；利用和角的正余弦公式化简计算判断CD.
【分析】由 ，得 ，则角 为第四象限角， ，
显然 ，因此 ，A正确；
显然 ，B错误；
，C正确；
，D正确.
故选：ACD
11. 在 三 棱 柱 中 ， 为 的 中 点 ， ， 平 面 ，
，则下列结论错误的是（ ）
A. 平面 平面 B. 平面 平面
C. 平面 D.
【答案】ABC
【解析】
【详解】设 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角
坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.
【分析】在三棱柱 中， 平面 ， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，则 、 、 、
、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
对于A选项，因为 ，
所以，平面 与平面 不垂直，A错；对于B选项， ，所以，平面 与平面 不垂直，B错；
对于C选项， ，因为 ，则 与平面 不平行，C错；
对于D选项， ，则 ，所以， ，D对.
故选：ABC.
12. 在 中， ， 为 中点， 交于点 ，则（ ）
A.
B.
C. 四边形 的面积是 面积的
D. 和 的面积相等
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量的运算法则，可判定A正确；设 ，求得 ，结合
三点共线，求得 ，可判定B正确；设 的面积为 ，根据三角形的面积公式，
求得四边形 的面积为 ，可判定C不正确；根据题意，得到 ，可判定
D错误.
【详解】对于A中，因为 ，即 为 （靠近 点）的三等分点，
所以 ，所以A正确；
对于B中，设 ，由点 为 的中点，可得 ，
可得 ，
以为 三点共线，可得 ，
所以 ，可得 且 ，
解得 ，即 ，所以B正确；
对于C中，设 的面积为 ，因为 ，可得 ，
又因为 为 中点，且 ，可得 ，
所以四边形 的面积为 ，所以C不正确；
对于D中，由 ，可得 ，所以 ，
所以 和 的面积不相等，所以D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量 、 的夹角的余弦值为 ， ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【详解】根据数量积的定义与运算律计算可得.
【分析】因为向量 、 的夹角的余弦值为 ， ， ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
14. 函数 的值域为________．
【答案】
【解析】
【详解】将函数变形为 ，再结合指数函数与幂函数的性质计算可得.
【分析】因为 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为：15. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______.
【答案】44
【解析】
【分析】利用通项公式，进行基本量代换求出 ，再利用前n项和公式和性质求出 .
【详解】设公差为 ，有 ，可得 ，
有 ， .
故答案为：44
【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
16. 在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ，则以 为球心，
以 为半径的球，被底面 截得的弧长为________；若 是 上的动点，则 的
最小值为________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】以 为球心，以 为半径的球与底面 的交线为以 为圆心， 为半径的圆弧，求出圆
心角即可求出弧长，将面 翻折到与平面 共面，连接 交 于点 ，此时 取得最
小值为 ，再在平面四边形 中求出 的长度，即可得解.
【详解】因为 平面 ，底面 为矩形，则以 为球心，以 为半径的球与底面
的交线为以 为圆心， 为半径的圆弧，
在 上取一点 ，使得 ，连接 ，则 的长度即为以 为球心，以 为半径的球，
被底面 截得的弧长，由 ， ，所以 ，则 ，所以 ，
则 的长度为 ，
即以 为球心，以 为半径的球，被底面 截得的弧长为 ，
将面 翻折到与平面 共面，连接 交 于点 ，此时 取得最小值为 （平面图
形如下所示），
因为 ， ， ，所以 ， ，
， ， ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
所以
，又
，
所以 （负值舍去），
即 的最小值为 .
故答案为： ；
【点睛】关键点睛：对于处理线段和最值问题，一般是化折为直，利用两点间线段最短解决.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 已知数列 满足： ，数列 为等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求和： ．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）首先求出 ， ，即可求出等比数列 的通项公式，从而求出 的通项公
式；
（2）利用分组求和法计算可得.
【小问1详解】
因为 ， ，数列 为等比数列，
所以 ， ，则 ，即 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 .
【小问2详解】
.
18. 在锐角 中， ．
（1）求 ；
（2）在 内有点 ，使得 ，求 ．【答案】（1） .
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得 ，然后利用正弦定理求得 .
（2）先求得 ，然后利用余弦定理、同角三角函数的基本关系式求得 .
【小问1详解】
依题意， ，
由余弦定理得 ，
即 ， ，解得 或 ，
当 时， ，
为
钝角，不符合题意，所以 .
由于 ， 是锐角，所以 ，
由正弦定理得 .
【小问2详解】
设 ，则 ，
则 ，则 ，在三角形 中，由余弦定理得 ，
，
解得 或 （舍去）.
所以 ，
在三角形 中，由余弦定理得 ，
由于 为锐角，所以 ，
所以 .
19. 已知函数 是奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）设关于 的不等式 的解集为 ．若集合 中的整数元素只有两个，
求实数 的取值范围．
【答案】19.
.
20
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，检验，即可求解；
（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式，可得 ，分类讨论当 、 、
、 、 时对应的解集，结合题意即可求解.
【小问1详解】
由题意知， 是定义域为R上的奇函数，则 ，即 ，解得 ，
经检验， 符合题意，所以 ；
【
小问2详解】
由（1）知， ，则 ，
又函数 在R上单调递增，所以函数 在R上单调递增，
由 ，
得 ，即 .
当 时， ，解得 ，此时集合A不满足题意；
当 时， ，
对于方程 ，
若 ，则 ，不等式的解集为 ，此时集合A不满足题意；
若 ，则 ，不等式的解集为 ，
又集合A有2个整数元素，所以 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，不等式的解集为 ，此时集合A不满足题意；
若 ，则 ，不等式的解集为 ，
又集合A有2个整数元素，所以 ，则 ，无解.
综上，实数a的取值范围为 .20. 如图，在长方体 中， 为 中点， ．
（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
如图建立空间直角坐标系，令 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 （负值舍去），
所以 .【小问2详解】
由（1）可得 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
设二面角 为 ，由图可知二面角 为锐二面角，
所以 ，）
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
21. 若 ， ， ，且 的对称中心到对称轴
的距离的最小值为 ．
（1）求 的单调区间；
（2）求 在 上的值域．
【答案】（1）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再根据周期求出 ，即可得到函
数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由 的取值范围，求出 的范围，再由正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】）
因为 ， ，且 ，
所以
，
又 的对称中心到对称轴的距离的最小值为 且 ，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ，
令 ， ，解得 ， ，
即 的单调递增区间为 ， ，令 ， ，解得 ， ，
即 的单调递减区间为 ， .
【小问2详解】
因为 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 在 上的值域为 .
22. 已知函数 .
（1）当 时，解关于 的不等式 ；
（2）请判断函数 是否可能有两个零点，并说明理由；
（3）设 ，若对任意的 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1，求实
数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）不可能，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式 的解集.
（2）由 ，求得 ， ，但推出矛盾，由此判断 没有两个零点.
（3）根据函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得
的取值范围.【小问1详解】
当 时，不等式 可化为 ，
有 ，有
解得 ，
故不等式， 的解集为 .
【小问2详解】
令 ，有 ，
有 ， ，
， ，
则 ，）
若函数 有两个零点，记为 ，必有 ， ，
且有 ，此不等式组无解，
.
故函数 不可能有两个零点
【小问3详解】当 ， ， 时， ，函数 单调递减，
有 ，
有 ，
有
有 ，整理为 ，
由 对任意的 恒成立，必有
解得 ，
又由 ，可得 ，
由上知实数 的取值范围为 .
