2004年重庆高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_重庆

2004 年重庆高考文科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数y log (3x2) 的定义域是：( ) 1 2 2 2 2 A．[1，) B．( ,) C．[ ,1] D．( ,1] 3 3 3 x2 1 f(2) 2．（5分）函数 f(x) ，则 ( ) x2 1 1 f( ) 2 3 3 A．1 B．1 C． D． 5 5 3．（5分）圆x2  y2 2x4y30的圆心到直线x y1的距离为：( ) 2 A．2 B． C．1 D． 2 2 2 4．（5分）不等式x 2的解集是( ) x1   A．(1，0) (1，) B．(，1) (0，1)   C．(1，0) (0，1) D．(，1) (1，) 5．（5分）sin163sin223sin253sin313等于( ) 1 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 6．（5分）若向量a与b  的夹角为60，|b  |4,(a2b  ) (a3b  )72，则向量a的模为( )  A．2 B．4 C．6 D．12 7．（5 分）已知 p是r 的充分不必要条件，s是r 的必要条件，q是s的必要条件，那么 p是q成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（5分）不同直线m，n和不同平面，，给出下列命题： // m//n m  ① m//，② n//，③ m,n异面，④ m m m// n m// 其中假命题有：( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第1页 | 共16页9．（5分）若数列{a }是等差数列，首项a 0，a a 0，a ．a 0，则使前n项和S 0成 n 1 2003 2004 2003 2004 n 立的最大自然数n是( ) A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 x2 y2 10．（5分）已知双曲线  1，(a0,b0)的左，右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线的右支上， a2 b2 1 2 且|PF |4|PF |，则此双曲线的离心率e的最大值为( ) 1 2 4 5 7 A． B． C．2 D． 3 3 3 11．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需 要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为： ( ) 21 17 3 7 A． B． C． D． 40 40 10 120 12．（5分）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有 孔正方体的表面积（含孔内各面）是( ) A．258 B．234 C．222 D．210 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）若在(1ax)5的展开式中x3的系数为80，则a ． 5 3 14．（4分）已知  2,(x0,y0)，则xy的最小值是 ． x y 1 4 15．（4分）已知曲线y x3  ，则过点P(2,4)的切线方程是 ． 3 3 16．（4分）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为 2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上， 则该球的体积为 ． 三、解答题（共6小题，满分74分） 第2页 | 共16页17．（12分）求函数ysin4 x2 3sinxcosxcos4 x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，]上的 单调递增区间． 18．（12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5． （1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； （2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率． 19．（12 分）如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形， PA底面 ABCD， AE PD， EF //CD， AM EF （1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； （2）若PA3AB，求直线AC与平面EAM 所成角的正弦值． 20．（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨)与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系 1 为P24200 x2，且生产x吨的成本为R50000200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达 5 到最大？最大利润是多少？（利润收入成本） 21．（12分）设 p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2 2px交于相异两点A、B，以线段AB为 直径作圆H(H 为圆心）．试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB的方程． 第3页 | 共16页5 5 2 22．（14分）设数列{a }满足：a 1，a  ，a  a  a ，(nN) n 1 2 3 n2 3 n1 3 n （1）令b a a ，(n1,2)求数列{b }的通项公式； n n1 n n （2）求数列{na }的前n项和S ． n n 第4页 | 共16页2004年重庆市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数y log (3x2) 的定义域是：( ) 1 2 2 2 2 A．[1，) B．( ,) C．[ ,1] D．( ,1] 3 3 3 【解答】解：要使函数有意义：log(3x2)…0， 1 2 即：log (3x2)… log 1 1 1 2 2 可得 03x2„1 2 解得x( ,1] 3 故选：D． x2 1 f(2) 2．（5分）函数 f(x) ，则 ( ) x2 1 1 f( ) 2 3 3 A．1 B．1 C． D． 5 5 x2 1 【解答】解：由题意知， f(x) ， x2 1 1 ( )2 1 41 3 1 2 3 则 f （2）  ， f( )  ， 41 5 2 1 5 ( )2 1 2 f(2)  1． 1 f( ) 2 故选：B． 3．（5分）圆x2  y2 2x4y30的圆心到直线x y1的距离为：( ) 2 A．2 B． C．1 D． 2 2 【解答】解：圆x2  y2 2x4y30的圆心(1,2)， 2 它到直线x y1的距离：  2 2 故选：D． 第5页 | 共16页2 4．（5分）不等式x 2的解集是( ) x1   A．(1，0) (1，) B．(，1) (0，1)   C．(1，0) (0，1) D．(，1) (1，) 2 2 x(x1) 【解答】解：法一：x 2 得x2 0 即 0 x1 x1 x1 可得 x(x1)(x1)0可得1x0或x1． 1 法二：验证，x2、 不满足不等式，排除B、C、D． 2 故选：A． 5．（5分）sin163sin223sin253sin313等于( ) 1 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 【解答】解：原式sin163 sin223cos163cos223  cos(163223) cos(60) 1  ． 2 故选：B． 6．（5分）若向量a与b  的夹角为60，|b  |4,(a2b  ) (a3b  )72，则向量a的模为( )  A．2 B．4 C．6 D．12 【解答】解：(a2b) (a3b)  |a|2 |a||b|cos606|b|2 |a|2 2|a|9672， |a|2 2|a|240． (|a|6) (|a|4)0．  |a|6． 故选：C． 7．（5 分）已知 p是r 的充分不必要条件，s是r 的必要条件，q是s的必要条件，那么 p是q成立的( 第6页 | 共16页) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：依题意有 pr， rs， sq， prsq． 但由于r 推不出 p， q推不出 p． 故选：A． 8．（5分）不同直线m，n和不同平面，，给出下列命题： // m//n m  ① m//，② n//，③ m,n异面，④ m m m// n m// 其中假命题有：( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 // 【解答】解：① m//，m与平面没有公共点，所以是正确的． m m//n ② n//，直线n可能在内，所以不正确． m// m ③ m,n异面，可能两条直线相交，所以不正确． n  ④ m，m与平面可能平行，不正确． m// 故选：D． 9．（5分）若数列{a }是等差数列，首项a 0，a a 0，a ．a 0，则使前n项和S 0成 n 1 2003 2004 2003 2004 n 立的最大自然数n是( ) A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 第7页 | 共16页【解答】解： 解法1：由a a 0，a a 0，知a 和a 两项中有一正数一负数，又a 0，则公差为负数， 2003 2004 2003 2004 2003 2004 1 否则各项总为正数，故a a ，即a 0，a 0． 2003 2004 2003 2004 4006(a a ) 4006(a a ) S  1 4006  2003 2004 0， 4006 2 2 4007 S  (a a )4007 a 0， 4007 2  1 4007  2004 故4006为S 0的最大自然数． n 故选B． 解 法 2 ： 由 a 0， a a 0， a a 0， 同 解 法 1 的 分 析 得 a 0， a 0， 1 2003 2004 2003 2004 2003 2004 S 为S 中的最大值． 2003 n S 是关于n的二次函数，如草图所示，  n 2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小， 4007  在对称轴的右侧． 2 根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧， 4007，4008都在其右侧，S 0的最大自然数是4006． n 故选：B． x2 y2 10．（5分）已知双曲线  1，(a0,b0)的左，右焦点分别为F ，F ，点P在双曲线的右支上， a2 b2 1 2 且|PF |4|PF |，则此双曲线的离心率e的最大值为( ) 1 2 4 5 7 A． B． C．2 D． 3 3 3 第8页 | 共16页【解答】解：设P(x,y)，由焦半径得|PF |exa，|PF |exa， 1 2 5a exa4(exa)，化简得e ， 3x p在双曲线的右支上，  x…a， 5 5 e„ ，即双曲线的离心率e的最大值为 3 3 故选：B． 11．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需 要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为： ( ) 21 17 3 7 A． B． C． D． 40 40 10 120 【解答】解： 盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，  3 从中取一只螺口的概率是 ， 10 2 再次从中取一只螺口的概率是 ， 9 有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡，  7 从中取一只卡口灯泡的概率是 ， 8 3 2 7 7 到第3次才取得卡口灯泡的概率为P    ， 10 9 8 120 故选：D． 12．（5分）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有 孔正方体的表面积（含孔内各面）是( ) A．258 B．234 C．222 D．210 【解答】解：正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔， 第9页 | 共16页正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处， 表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积， 加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的表面积． 则S 6251264566222． 全 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）若在(1ax)5的展开式中x3的系数为80，则a 2 ． 【解答】解：(1ax)5展开式的通项为T Cr(ax)r arCrxr r1 5 5 令x3的展开式中x3的系数为a3C3 10a3 5 展开式中x3的系数为80  10a3 80 a2 故答案为2 5 3 14．（4分）已知  2,(x0,y0)，则xy的最小值是 15 ． x y 5 3 【解答】解：  2,(x0,y0)，  x y 5 3  15 x y  „ ( )2 1， xy 2 xy…15． 答案：15． 1 4 15．（4分）已知曲线y x3  ，则过点P(2,4)的切线方程是 4x y40或yx2 ． 3 3 1 4 【解答】解： P(2,4)在y x3  上，又yx2，  3 3 斜率k 22 4． 所求直线方程为y44(x2)，4x y40． 当切点不是点P时，设切点为(x ，y )，根据切线过点P，可得： 1 1 y 4 1 4 x2  1 又yi x3  ，可解出x 1，y 1（舍去(2,4))， 1 x 2 3 1 3 1 i 1 第10页 | 共16页所以切线方程为y1x1 即切线方程为yx2 故答案为：4x y40或yx2 16．（4分）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为 2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上， 4 则该球的体积为 ． 3 【解答】解：正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为 2， 点S、A、B、C、D都在同一个球面上， 4 则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为 ． 3 4 故答案为： 3 三、解答题（共6小题，满分74分） 17．（12分）求函数ysin4 x2 3sinxcosxcos4 x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，]上的 单调递增区间． 【解答】解：ysin4 x2 3sinxcosxcos4 x (sin2 xcos2 x)(sin2 xcos2 x) 3sin2x  3sin2xcos2x  2sin(2x )． 6  5 故该函数的最小正周期是；最小值是2；单调递增区间是[0， ]，[ ，]． 3 6 18．（12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5． （1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； （2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率． 【解答】解：（1）设A 表示“第k人命中目标”， k 1，2，3． k 这里A，A ，A 独立，且P(A)0.7，P(A )0.6，P(A )0.5． 1 2 3 1 2 3 从而，至少有一人命中目标的概率为 1P(A,A ,A )1P(A)P(A )P(A )10.30.40.50.94 1 2 3 1 2 3 第11页 | 共16页恰有两人命中目标的概率为 P(A A A  A A A  A A A ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P(A)P(A )P(A )P(A)P(A )P(A )P(A)P(A )P(A ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0.70.60.50.70.40.50.30.60.50.44 则至少有一人命中目标的概率为0.94，恰好有两人命中目标的概率为0.44． （2）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验．由已知在每次试验中事件“命中目标 发生的概率为0.7． 故所求概率为P （2）C2(0.7)2(0.3)0.441 3 3 故他恰好命中两次的概率为0.441． 19．（12 分）如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形， PA底面 ABCD， AE PD， EF //CD， AM EF （1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线； （2）若PA3AB，求直线AC与平面EAM 所成角的正弦值． 【解答】(I)证明：因PA底面，有PA AB，又知AB AD， 故AB面PAD，推得BA AE， 又AM //CD//EF ，且AM EF， 证得AEFM 是矩形，故AM MF ． 又因AE PD，AE CD，故AE面PCD， 而MF //AE，得MF 面PCD， 故MF PC， 因此MF是AB与PC的公垂线． 第12页 | 共16页(II)解：连接BD交AC于O，连接BE ，过O作BE 的垂线OH ， 垂足H 在BE 上． 易知PD面MAE，故DE BE， 又OH BE ，故OH //DE， 因此OH 面MAE． 连接AH ，则HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角 1 2 设ABa，则PA3a，AO AC  a． 2 2 因RtADE~RtPDA，故 AD2 a2 a ED   ， PD a2 (3a)2 10 1 a OH  ED ． 2 2 10 从而在RtAHO中 OH a 2 1 5 sinHAO     ． AO 2 10 2a 20 10 20．（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨)与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系 1 为P24200 x2，且生产x吨的成本为R50000200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达 5 到最大？最大利润是多少？（利润收入成本） 【解答】解：设生产x吨产品，利润为y元， 1 则y pxR(24200 x2)x(50000200x) 5 1  x3 24000x50000(x0) 5 第13页 | 共16页3 y x2 24000， 5 由y0，得x200 0x200时y0，当x…200时y0  当x200时，y 3150000（元) max 答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元) 21．（12分）设 p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2 2px交于相异两点A、B，以线段AB为 直径作圆H(H 为圆心）．试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB的方程． 【解答】解：由题意，设直线AB的方程为ayx2， ayx2 设A(x ，y )，B(x ，y )，则其坐标满足 1 1 2 2 y2 2px 消去x的y2 2apy4p2 0， x x (42a2)p 则 1 2 x 1 x 2 4p2   因此OAOBxx  y y 0  1 2 1 2 OAOB，故O必在圆H 的圆周上， 又由题意圆心H 是AB的中点，故 x (2a2)p  H ， y ap H 第14页 | 共16页由前已证OH 应是圆H 的半径，且|OH | a4 5a2 4p； 从而当a0时，圆H 的半径最小，也使圆H 的面积最小． 5 5 2 22．（14分）设数列{a }满足：a 1，a  ，a  a  a ，(nN) n 1 2 3 n2 3 n1 3 n （1）令b a a ，(n1,2)求数列{b }的通项公式； n n1 n n （2）求数列{na }的前n项和S ． n n 5 2 【解答】解：（1） b a a  a  a a  n1 n2 n1 3 n1 3 n n1 2 2  (a a ) b 3 n1 n 3 n 2 2 {b }是以公比为 的等比数列，且b a a  n 3 1 2 1 3 2 b ( )n n 3 2 （2）由b a a ( )n得 n n1 n 3 a a (a a )(a a )(a a ) n1 1 n1 n n n1 2 1 2 2 2 2 2 ( )n ( )n1( )2  2[1( )n ] 3 3 3 3 3 2n 注意到a 1，可得a 3 1 n 3n1 n2n1 记数列{ }的前n项和为T 3n1 n,则 2 2 T 12 n ( )n1， n  3  3 2 2 2 2 T  2 ( )2 n ( )n 3 n 3  3  3 两式相减得 第15页 | 共16页1 2 2 2 2 2 2 T 1 ( )2 ( )n1n ( )n3[1( )n]n( )n 3 n 3 3 3  3 3 3 2 2 (3n)2n 故T 9[1( )n]3n( )n 9 n 3 3 3n1 从而S a 2a na 3(123n)2T n 1 2 n n 3 (n3)2n1  n(n1) 18 2 3n1 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/5/23 23:11:32；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156 第16页 | 共16页