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河北省张家口市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线的倾斜角是 ，则该直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
2．直线 的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
3．在平行六面体 中，AC与BD的交点为M，设 ， ，
，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则实数a=（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1
5．已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
6．判断圆 与圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切
C．外切 D．内含7．椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直
线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且
BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关
二、多选题
9．关于空间直角坐标系 中的一点 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的中点坐标为
B．点 关于 轴对称的点的坐标为
C．点 关于原点对称的点的坐标为
D．点 关于 面对称的点的坐标为
10．已知 是椭圆 上一点， 是左､右焦点，下列选项中正确的是
（ ）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率C． D． 的面积的最大值是2
11．已知直线 ： ，圆 ： ，以下正确的是（ ）
A． 与圆 不一定存在公共点
B．圆心 到 的最大距离为
C．当 与圆 相交时，
D．当 时，圆 上有三个点到 的距离为
三、填空题
12．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为
13．两圆 与 的公共弦所在直线的方程为 .
14．点 是直线 上的动点， 是坐标原点，则以 为直径的圆经过定点
四、解答题
15．已知直线 与直线 ．
(1)当 为何值时， 与 相交；
(2)当 为何值时， 与 平行，并求 与 的距离；.
16．已知空间三点 ，设 .
(1)求 和 的夹角 的余弦值;
(2)若向量 与 互相垂直，求 的值.
17．如图所示，在三棱柱 中， 和 都是边长为2的正方形，平面
平面 ，点G、M分别是线段AD、BF的中点.(1)求证： ∥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18．已知圆 的圆心在直线 上，并且经过点 ，与直线 相切.
(1)求圆 的方程；
(2)求圆 关于直线 对称的圆的方程.
19．如图所示，在平面直角坐标系 中， 分别是椭圆 的左、
右焦点，顶点 的坐标为 ，连接 并延长交椭圆于点 ，过点 作 轴的垂线交椭
圆于另一点 ，连接 .
（1）若点 的坐标为 ，且 ，求椭圆的方程；
（2）若 求椭圆离心率 的值.河北省张家口市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C B B A B ACD BCD
题号 11
答案 ABD
1．A
解析：由题意知：直线的斜率 .
故选：A.
2．B
解析：解：因为 的斜率 ，
结合选项可知直线 的一个方向向量为 ．
故选： ．
3．C
解析：
如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点，
所以 ，
所以 .
故选：C
4．C
解析：试题分析：两直线互相垂直，满足 ，整理为
，解得 或 ，故选C.
考点：直线的位置关系5．B
解析：解： 向量 在向量 上的投影向量为
．
故选：B．
6．B
解析：解：因为圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心距为 ，
所以两圆内切.
故选：B.
7．A
解析：[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
8．B
解析：建立如图所示空间直角坐标系.
则 ， ， ， ，
，
，
故选：B
9．ACD
解析：利用中点公式可得 的中点坐标为 ，A对；点 关于 轴对称的点的坐标为 ，B错；
点 关于原点对称的点的坐标为 ，C对；
点 关于 面对称的点的坐标为 ，D对；
故选：ACD.
10．BCD
解析：对于A，因为椭圆 ，所以知 ，
所以椭圆的焦距为 ，故A错误；
对于B，椭圆的离心率为 ，故B正确；
对于C，由椭圆的定义可得 ，故C正确；
对于D，设 ，由椭圆的几何性质可知 ，
所以 ，
即 的面积的最大值是2，故D正确.
故选：BCD．
11．ABD
解析：对于A，圆心 到直线 的距离为 ，
当 ，即 ，解得 或 ，此时直线 与圆相离，没有公共点，故A
正确；
对于B，因为直线 ，即 ，所以直线 过定点 ，
当时 ，圆心 到直线 的距离最大，最大值为 ，故B正确；
对于C，当直线 与圆相交时，则 ，解得 ，故C错误；
对于D，当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆上有三个点到直线 的距离为 ，故D正确.
故选：ABD.
12． 或
解析：根据题意，令 ，得到直线在 轴上的截距是 ，
令 ，得到直线在 轴上的截距是 ，
根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，所以 ，即 ，
解得 或 .
∴ 或
故答案为： 或
13．
解析： ，即 ①， ②
① ②可得 ，两圆公共弦所在直线的方程为 .
故答案为： .
14． 和
解析：如图，过点 作 垂直于直线 ，垂足为 ，
则以 为直径的圆过定点 和 ，
因为直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，联立 ，解得 ，即 .
所以以 为直径的圆经过定点 和 .
故答案为： 和
15．(1) 且
(2)
解析：（1）因为直线 与直线 ，
当直线 与 相交，则 ，解得 且 .
（2）由直线 与 平行，则 ，解得 ，
所以此时直线 ， ，
所以 与 的距离 .
16．(1)
(2)2或
解析：（1）由点 ，得 ，所以 ，所以 和 夹角 的余弦值为
（2）由（1）可得 ，
因为向量 与 互相垂直，
则 ，
整理可得 ，解得 或 ，
所以 的值为2或 .
17．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）如图作线段 的中点H，连接 ， ，
是 的中位线， 且 ，
点G是线段AD的中点， 且 ，
， 四边形 是平行四边形，
，且 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）如图建立以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴的A-xyz空间直角坐标
系.设平面 的法向量为 ，
，
，
设平面 的法向量为 ，可得 ，
令 ，则 ，故 ，
，
综上：平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18．(1)
(2)
解析：（1）由题意可设圆 的圆心为 ，
圆 与直线 相切，且过点 ，
，解得： ， 圆心 ，
半径 ， 圆 的方程为： .
（2）设圆心 关于直线 对称的点为 ，则 ，解得： ，即 ，
圆 关于直线 对称的圆的方程为： .
19．（1） ；（2） ．
试题解析：设椭圆的焦距为 ，则 .
（1） ，又 ,故 ,
点 在椭圆上， ，解得 ,故所求椭圆的方程为 .
（2） 在直线 上， 直线 的方程为 ,
解方程组 得 点 的坐标为 ,
又 垂直于 轴，由椭圆的对称性，可得点 的坐标为 ，
直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，且 ， ,又 ，
整理得 ,故 ，因此 .
