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4 月月考 数学试卷 A B.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的 C. D.
【答案】B
选项中，只有一项是符合题目要求的。
解析：因为 ，所以 ，所以切点为 ，
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
又 ，所以切线斜率 ，
C. D.
故 的图象在点 处的切线方程是 ，
【答案】B
即 ．
解析：因为 为常数，所以 ，故A错误；
故选：B.
，故B正确；
3． 的展开式的常数项为（ ）
，故C错误；
B．252 C． D．
A．210
，故D错误.
【答案】C
故选：B.
4. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则 极小值点的个数为（ ）
2. 函数 的图象在点 处的切线方程是（ ）故 极小值点的个数为2.
故选：C.
5. （x﹣y）（x+y）5的展开式中，x2y4的系数为（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10
【答案】B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 已知函数 是定义在 上的奇函数，其导函数为 ，当 时， ，且
【答案】C
，则不等式 的解集为（ ）
解析：由图象，设 与 轴的交点横坐标为 ，其中 ，
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：由题可知 在 上单调递减．因为 是定义在 上的奇函数，
由图象可得 时， ，当 时， ，所以 是极小值点，
所以 在 上单调递减，又 ，
当 时， ，所以 不是极值点，
所以 ，
当 时， ，所以 是极大值点，
所以当 或 时， ；当 或 时， ．
时， ，所以 是极小值点，
不等式 ，即 或 ，解得 或 ， 所以 ．
故 ．
所以满足不等式 的实数 的取值范围为 ．
故选：A.
故选：D
7．从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种
多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项
数为（ ） 二、
A．12 B．18 C．30 D．60
符合题目要求。
【答案】C
9．设（2x﹣1）5＝a+ax+…+ax5，则下列说法正确的是（ ）
0 1 5
A．a＝1 B．a＝80
0 3
8. 已知 ，则（ ）
C．a+a+a+a+a＝1 D．a+a+a＝﹣121
1 2 3 4 5 0 2 4
【答案】B D
A. B. C. D.
10. 已知定义在 上的函数 的导函数是 ，且 ．若
【答案】A
，则称 是 的“增值”函数．下列函数是 的“增值”
解析：因为 ．
函数，其中使得 在 上不是单调函数的是（ ）
构造函数 ，则 ，
A. B.
当 时， 单调递增，
C. D.
所以 ，
【答案】CD故选：CD．
解析：由 ，可得 ．
11．已知函数f（x）＝x3﹣kx+2有两个极值点a，b，且a＜b，则（ ）
对于A：由 ，可得： 为常数，
A．k≥0 B．a+b＝0 C．f（a）＞2 D．f（b）＜2
【答案】BCD
令 ，则 ，所以 ，则 在 上是减函数，故错误；
解析：由函数 ，可得 ，
对于B：由 可得： ， 为常数，
要使得函数 有两个极值点为 ，可得 ，解得 ，
令 ，则 ，所以 ，则 在 上是增函数，故错误；
且 为方程 的两根，可得 ，所以A不正确，B正确；
又由当 时， ；当 时， ；当 时， ，
对于C，由 可得： ， 为常数，
所以函数 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
令 ，则 ，所以 ，
所以 为函数 的极大值点， 为函数 的极小值点，且 ，
由对勾函数的单调性可知： 在 上单调递减，在 上单调递增，故正确；
可得 ， ，所以C、D正确.
对于D，由 可得： ， 为常数， 故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
令 ，则 0，所以 ，
12.已知（a+b）n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则n＝
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
【答案】11
13. 从黄瓜、白菜、豆角、韭菜、青椒5种蔬菜种子中选出3种分别种在 ， ， 三块不同
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故正确．
的土地上，每块土地只种1种，其中黄瓜不种在土地 上，则不同的种法共有__________种.【答案】48
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
解析：若黄瓜种在 或 上，则不同的方法有 种；
则 ，
若黄瓜不种，则不同的方法有 ，
所以不同的种法共有 种. 所以 ，即 ，
故答案为：48
故正数 的取值范围是 .
14. 已知 恒成立，则正数 的取值范围为______．
故答案为： .
【答案】
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过
解析：由 ，可得 ．
程或演算步骤。
令 ，易知 在 上单调递增，
15. 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名. （13分）
由 ，可得 ， （1）将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？
（2）从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？
故 ，即 .
【答案】（1）120 （2）14
（1）
令 ，则 ，
男生3名，女生3名站成一排，共有 种，又因为3名男生从左到右的顺序一定，
当 时， ，当 时， ，
所以不同的排法种数为 种；（2）
由（1）知 ，令 ，
从6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有 种.
解得 ， ，
16.已知 的展开式中，各项的二项式系数之和为128. （15分）
当 时， ，
(1)求展开式中 的系数；
所以 的单调递增区间为 ， ，
(2)求展开式中有理项
当 时， ，所以 的单调递减区间为 ，
17. 已知函数 在 时取得极值13. （15分）
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
（1）求 ， 的值；
（2）求 在 上的最大值和最小值. 又因为 ， ，
【答案】（1） ，
所以 在 上 最的大值为 ，最小值为 .
（2）最大值为 ，最小值为
（1）
18. 已知函数 ． （17分）
由题可得 ，
（1）讨论 的单调区间；
， ，
解得 ， . （2）若 在 上的最小值为10，求a的值．
（2）
【答案】（1）答案见解析（2） ．
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
（1）
的定义域为 ．
所以 ，解得 ，舍去．
当 时， 在 上单调递增．
当 时， 在 上单调递减，所以 ，
当 时，令 ，解得 ，
解得 ，符合题意．
综上， ．
当 时， 单调递减，
19．已知f（x）＝2x+cosx﹣ex，f′（x）为f（x）的导数． （17分）
（1）证明：当x≥0时，f′（x）≤1；
当 时， 单调递增．
（2）讨论f（x）在R上的零点个数，并证明 ．
综上，当 时， 单调递增区间为 ，无单调递减区间；
【解答】解：（1）证明：f（x）＝2x+cosx﹣ex，f′（x）为f（x）的导数．
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
∴f′（x）＝2﹣sinx﹣ex，f″（x）＝﹣cosx﹣ex≤﹣cosx﹣1≤0，
∴f′（x）在[0，+∞）上单调递减，
（2）
∴f′（x） ＝f′（0）＝2﹣0﹣1＝1，
max
当 时，由（1）知， 在 上单调递增，
∴当x≥0时，f′（x）≤1；
所以 ，舍去． （2）f′（x）＝2﹣sinx﹣ex，f″（x）＝﹣cosx﹣ex，f″（0）＝﹣1﹣1＝﹣2＜0，
①当x≥0时，由（1）知f′（x）单调递减，
当 时， 在 上单调递增，所以 ，舍去．
∵f（0）＝1﹣1＝0，∴在x∈[0，+∞）内，函数f（x）的大致图象为：欲证明 ，只需证明x≥0时，f（x） 即可，
max
f′（x）＝2﹣sinx﹣ex，f′（0）＝2﹣1＞0，f′（1）＝2﹣sin1﹣e＜0，且有
，
∴∃x
0
∈（0，1），使f′（x）＝0，
∴f（x）在（0，x）上单调递增，（x，1）上单调递减，
0 0
f（x）在R上有2个零点； ∴f（x） ＝f（x）＝2x+cosx﹣ ＝2x﹣2+sinx+cosx ＝ ，
max 0 0 0 0 0 0
②当x＜0时，f′（x）＞0恒成立，
∴ ．
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）的大致图象为：
函数f（x）没有零点．
综上，函数f（x）有2个零点．
下面证明 ：
