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贵阳市清华中学 2024 届高三 10 月月考试卷
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页.时间120分钟，满分150
分.
第Ⅰ卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 的元素个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 若 ，其中 是虚数单位， 且 ，设 ，则 为（ ）
A. 2 B. C. 6 D.
3. 的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为： 日均值在 以下，
空气质量为一级； 日均值在 ，空气质量为二级； 日均值超过 为
超标.如图是某地8月1日至 日 的日均值（单位： ）变化的折线图，下列关于 日
均值说法正确的是（ ）
A. 这 天日均值的 百分位数为
B. 前4天的日均值的极差小于后4天的日均值的极差
C. 前4天的日均值的方差大于后4天的日均值的方差
D. 这 天的日均值的中位数为
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学科网（北京）股份有限公司4. 数列 的通项公式为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
5. 若方程 所表示的曲线为 ，则下列命题错误的是（ ）
A. 若曲线 为双曲线，则 或
B. 若曲线 为椭圆，则
C. 曲线 可能是圆
D. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则
6. 两个单位向量 与 满足 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 若对任意正实数 都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若 ，且 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
10. 如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A. 当 在平面 上运动时，四棱锥 的体积不变
B. 当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
的
C. 若点 在底面 上运动，则使直线 与平面 所成 角为 的点 的轨迹为椭圆
D. 若 是 的中点，点 在底面 上运动时，不存在点 满足 平面
11. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯
发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 ，且 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波
罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中， ，点 满足 .设点 的轨迹为曲线 ，则
下列说法正确的是（ ）
A. 的方程为
在
B. 点 都 曲线 内部
C. 当 三点不共线时，则
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学科网（北京）股份有限公司D. 若 ，则 的最小值为
12. 定义在 的函数 满足 ，且 ， 都
有 ，若方程 的解构成单调递增数列 ，则下列说法中正确的是（
）
A.
B. 若数列 为等差数列，则公差为6
C. 若 ，则
D. 若 ，则
第II卷
三､填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知一个扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的面积为________．
14. 分别为 内角 的对边．已知 ，则 的最小值为________．
15. 已知函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是__________.
16. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，经过 的直线交椭圆 于 两点，
为坐标原点，且 ，则椭圆 的离心率为______.
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程及演算步骤.
17. 已知函数 （ ， ， ） 的图象相邻两条对称轴间的距离为 ．
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学科网（北京）股份有限公司函数 的最大值为2，且______．
请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，① 为奇函数；②当 时 ；③
是函数 的一条对称轴．并解答下列问题：
（1）求函数 的解析式；
（2）在 中， 、 ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， 的面积
，求 的值．
18. 已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意
恒成立，求实数 的取值范围．
19. 如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为 的正方形， 为
中点，且 .
（1）求证： 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距
离.
20. 第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运
会，为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔
赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社
区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为 ， ， ，通过初赛后再通过决赛的概率
均为 ，假设他们之间通过与否互不影响．
的
（1）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛 概率．
（2）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影
响，中奖一次奖励600元：
方案二：只参加了初赛的选手奖励100元，参加了决赛的选手奖励400元（包含参加初赛的100元），若
品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
21. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，点 在双曲线上，若
，且双曲线焦距为4．
（1）求双曲线 的方程；
（2）如果 为双曲线 右支上的动点，在 轴负半轴上是否存在定点 使得 ？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
22. 已知曲线 在 处的切线方程为 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值；
（2）已知 为整数，关于 的不等式 在 时恒成立，求 的最大值．
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