文档内容
2004 年重庆高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的定义域是：
A． ， B． C． D．
2．（5分）函数 ，则
A．1 B． C． D．
3．（5分）圆 的圆心到直线 的距离为：
A．2 B． C．1 D．
4．（5分）不等式 的解集是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
5．（5分） 等于
A． B． C． D．
6．（5分）若向量 的夹角为 ， ，则向量 的模为
A．2 B．4 C．6 D．12
7．（5分）已知 是 的充分不必要条件， 是 的必要条件， 是 的必要条件，那么 是 成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）不同直线 ， 和不同平面 ， ，给出下列命题：
① ，② ，③ ，④
其中假命题有：
第1页 | 共17页A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（5分）若数列 是等差数列，首项 ， ， ． ，则使前 项和
成立的最大自然数 是
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
10．（5分）已知双曲线 ， 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，
且 ，则此双曲线的离心率 的最大值为
A． B． C．2 D．
11．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现
需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率
为：
A． B． C． D．
12．（5分）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个
有孔正方体的表面积（含孔内各面）是
A．258 B．234 C．222 D．210
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若在 的展开式中 的系数为 ，则 ．
14．（4分）已知 ，则 的最小值是 ．
15．（4分）已知曲线 ，则过点 的切线方程是 ．
16．（4分）正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 、 、 、 、 都在同一个球面
第2页 | 共17页上，则该球的体积为 ．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）求函数 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 ， 上
的单调递增区间．
18．（12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5．
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．
19．（12 分）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， ， ，
（1）证明 是异面直线 与 的公垂线；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量 （吨 与每吨产品的价格 （元 吨）之间的关
系为 ，且生产 吨的成本为 元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利
润达到最大？最大利润是多少？（利润 收入 成本）
21．（12分）设 是一常数，过点 的直线与抛物线 交于相异两点 、 ，以线段
为直径作圆 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 的圆周上；并求圆 的面积最小时直线 的方程．
第3页 | 共17页22．（14分）设数列 满足： ， ， ，
（1）令 ， 求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
第4页 | 共17页2004年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的定义域是：
A． ， B． C． D．
【解答】解：要使函数有意义： ，
即：
可得
解得
故选： ．
2．（5分）函数 ，则
A．1 B． C． D．
【解答】解：由题意知， ，
则 （2） ， ，
．
故选： ．
3．（5分）圆 的圆心到直线 的距离为：
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：圆 的圆心 ，
第5页 | 共17页它到直线 的距离：
故选： ．
4．（5分）不等式 的解集是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：法一： 得 即
可得 可得 或 ．
法二：验证， 、 不满足不等式，排除 、 、 ．
故选： ．
5．（5分） 等于
A． B． C． D．
【解答】解：原式
．
故选： ．
6．（5分）若向量 的夹角为 ， ，则向量 的模为
A．2 B．4 C．6 D．12
【解答】解：
，
．
．
．
故选： ．
第6页 | 共17页7．（5分）已知 是 的充分不必要条件， 是 的必要条件， 是 的必要条件，那么 是 成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：依题意有 ，
，
，
．
但由于 推不出 ，
推不出 ．
故选： ．
8．（5分）不同直线 ， 和不同平面 ， ，给出下列命题：
① ，② ，③ ，④
其中假命题有：
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：① ， 与平面 没有公共点，所以是正确的．
② ，直线 可能在 内，所以不正确．
③ ，可能两条直线相交，所以不正确．
④ ， 与平面 可能平行，不正确．
故选： ．
9．（5分）若数列 是等差数列，首项 ， ， ． ，则使前 项和
成立的最大自然数 是
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
【解答】解：
第7页 | 共17页解法1：由 ， ，知 和 两项中有一正数一负数，又 ，则公差为负
数，否则各项总为正数，故 ，即 ， ．
，
，
故4006为 的最大自然数．
故选 ．
解 法 2 ： 由 ， ， ， 同 解 法 1 的 分 析 得 ， ，
为 中的最大值．
是关于 的二次函数，如草图所示，
到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，
在对称轴的右侧．
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点 的左侧，
4007，4008都在其右侧， 的最大自然数是4006．
故选： ．
第8页 | 共17页10．（5分）已知双曲线 ， 的左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线的右支上，
且 ，则此双曲线的离心率 的最大值为
A． B． C．2 D．
【解答】解：设 ，由焦半径得 ， ，
，化简得 ，
在双曲线的右支上，
，
，即双曲线的离心率 的最大值为
故选： ．
11．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现
需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率
为：
A． B． C． D．
【解答】解： 盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，
从中取一只螺口的概率是 ，
再次从中取一只螺口的概率是 ，
有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡，
从中取一只卡口灯泡的概率是 ，
到第3次才取得卡口灯泡的概率为 ，
故选： ．
12．（5分）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个
有孔正方体的表面积（含孔内各面）是
第9页 | 共17页A．258 B．234 C．222 D．210
【解答】解：正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，
正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，
表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，
加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的表面积．
则 ．
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若在 的展开式中 的系数为 ，则 ．
【解答】解： 展开式的通项为
令 的展开式中 的系数为
展开式中 的系数为
故答案为
14．（4分）已知 ，则 的最小值是 1 5 ．
【解答】解： ，
，
．
答案：15．
第10页 | 共17页15．（4分）已知曲线 ，则过点 的切线方程是 或 ．
【解答】解： 在 上，又 ，
斜率 ．
所求直线方程为 ， ．
当切点不是点 时，设切点为 ， ，根据切线过点 ，可得：
又 ，可解出 ， （舍去 ，
所以切线方程为
即切线方程为
故答案为： 或
16．（4分）正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点 、 、 、 、 都在同一个球面
上，则该球的体积为 ．
【解答】解：正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，
点 、 、 、 、 都在同一个球面上，
则该球的球心恰好是底面 的中心，球的半径是1，体积为 ．
故答案为：
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）求函数 的最小正周期和最小值；并写出该函数在 ， 上
的单调递增区间．
【解答】解：
第11页 | 共17页．
故该函数的最小正周期是 ；最小值是 ；单调递增区间是 ， ， ， ．
18．（12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5．
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．
【解答】解：（1）设 表示“第 人命中目标”， ，2，3．
这里 ， ， 独立，且 ， ， ．
从而，至少有一人命中目标的概率为
恰有两人命中目标的概率为
则至少有一人命中目标的概率为0.94，恰好有两人命中目标的概率为0.44．
（2）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验．由已知在每次试验中事件“命中目
标发生的概率为0.7．
故所求概率为 （2）
故他恰好命中两次的概率为0.441．
19．（12 分）如图，四棱锥 的底面是正方形， 底面 ， ， ，
（1）证明 是异面直线 与 的公垂线；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
第12页 | 共17页【解答】 证明：因 底面，有 ，又知 ，
故 面 ，推得 ，
又 ，且 ，
证得 是矩形，故 ．
又因 ， ，故 面 ，
而 ，得 面 ，
故 ，
因此 是 与 的公垂线．
解：连接 交 于 ，连接 ，过 作 的垂线 ，
垂足 在 上．
易知 面 ，故 ，
又 ，故 ，
因此 面 ．
连接 ，则 是所要求的线 与面 所成的角
设 ，则 ， ．
因 ，故
，
．
从而在 中
．
第13页 | 共17页20．（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量 （吨 与每吨产品的价格 （元 吨）之间的关
系为 ，且生产 吨的成本为 元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利
润达到最大？最大利润是多少？（利润 收入 成本）
【解答】解：设生产 吨产品，利润为 元，
则
，
由 ，得
时 ，当 时
当 时， （元
答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元
21．（12分）设 是一常数，过点 的直线与抛物线 交于相异两点 、 ，以线段
为直径作圆 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 的圆周上；并求圆 的面积最小时直线 的方程．
第14页 | 共17页【解答】解：由题意，设直线 的方程为 ，
设 ， ， ， ，则其坐标满足
消去 的 ，
则
因此
，故 必在圆 的圆周上，
又由题意圆心 是 的中点，故
，
由前已证 应是圆 的半径，且 ；
从而当 时，圆 的半径最小，也使圆 的面积最小．
第15页 | 共17页22．（14分）设数列 满足： ， ， ，
（1）令 ， 求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）
是以公比为 的等比数列，且
（2）由 得
注意到 ，可得
记数列 的前 项和为
，
第16页 | 共17页两式相减得
故
从而
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/23 23:11:32；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156
第17页 | 共17页
