文档内容
大湾区 2023—2024 学年第二学期期末联合考试
高二数学
本卷共 6页，19小题，满分 150分.考试时间 120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡
上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
{ } { }
a a = −1,a =8 a
1. 等差数列 n 中， 1 4 ，则 n 的公差d =（ ）
A. 3 B. 2 C. −2 D. −3
2. 已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ 1 2 3
P a b a
则E
(ξ)=（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若X N ( µ,σ2 ) ，记 p = P (µ−σ< X <µ+σ) ，
1
p = P (µ−2σ< X <µ+2σ) ， p = P (µ−3σ< X <µ+3σ) ，经统计，某零件的尺寸大小X （单
2 3
位：dm）从正态分布N ( 30,25 ) ，则P ( X >40 )=（ ）
p p 1− p 1− p
A. 1− 1 B. 1− 2 C. 2 D. 3
2 2 2 2
4. 已知一组成对数据 ( x ,y )( i =1,2,,6 ) 中 y 关于 x 的一元非线性回归方程 y =bx2 +1，已知
i i
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学科网（北京）股份有限公司6 6 6
∑x2 =12,∑x =4,∑y =18，则b=（ ）
i i i
i=1 i=1 i=1
9 9
A. −1 B. 1 C. − D.
2 2
5. 画n条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ）
n2 +2n+1 n2 +n+2
A. 部分 B. 部分
2 2
n2 +3n n2 −n+4
C. 部分 D. 部分
2 2
6. 若函数 f ( x )=ex −klnx在区间 ( 1，e ) 上是增函数，则实数k的取值范围为（ ）
1
A.
(−∞，0 ]
B.
−∞，
e
C.
(−∞，e ]
D.
( −∞，ee
7. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2×2列联表进行独立性
检验.整理所得数据后发现，若依据α=0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若
依据α=0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2的值可能为（ ）
附表：
α
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
5.024
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
A. 4.238 B. 4.972 C. 6.687 D. 6.069
8. 已知函数 f(x)= xα(x >0)，α为实数， f(x)的导函数为 f′(x)，在同一直角坐标系中， f(x)与 f′(x)
的大致图象不可能是（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列函数中，存在极值点的是（ ）
1
A. y = x− B. y =−2x3 −x
x
C. y = xlnx D. y = xsinx
10. 已知数列 { a } ，其前n项和记为S ，则（ ）
n n
A. 若 { a } 是等差数列，且a +a =a +a ，则 p+q=s+t
n p q s t
B. 若 { a } 是等差数列，且S = An2 +Bn+C ( A,B,C∈R ) ，则C =0
n n
C. 若 { a } 是等比数列，且S =2n+1+C，其中C为常数，则C =−2
n n
D. 若 { a } 是等比数列，则S ,S S ,S S ,也是等比数列
n k 2k k 3k 2k
1 1 7
11. 设A，B是一次随机试验中的两个事件，且P(A)= ，P(B)= ，P(AB+ AB)= ，则（ ）
3 4 12
A. A，B相互独立 B. P(A+B)= 5 C. P ( B A ) = 1 D. P ( A B ) ≠ P ( B A )
6 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
1
12. 当x∈[ 0,3 ] 时，函数 f ( x )= x3−x+2的最小值为_______.
3
13. 将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同
的分配方法数是____________.
14. “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，
去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为
_____.
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 数列 { a } 满足a =1，a a +a −a =0.
n 1 n+1 n n+1 n
{ }
（1）求数列 a 通项公式；
n
cosnπ
（2）设b = +2，求数列 { b } 的前n项和S .
n 2a n n
n
16. 小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年
来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单
位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1∼5.
年份代码x 1 2 3 4 5
市场规模y 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的经验回归方程（系数精确到0.01）.
5 5
参考数据：: y =1.32,∑x y =21.4, ∑( y − y )2 ≈0.55, 10 ≈3.16；
i i i
i=1 i=1
n
∑( x −x )( y − y )
i i
参考公式：相关系数r = i=1 ，回归方程yˆ =b ˆ x+aˆ中斜率和截距的最小二乘估
n n
∑( x −x )2 ∑( y − y )2
i i
i=1 i=1
n
∑( x −x )( y − y )
i i
计公式分别为b ˆ= i=1 ,aˆ = y−b ˆ x .
n
∑( x −x )2
i
i=1
17. 某同学在研究二项式定理的时候发现： f ( x )=( 1+x )n =1+C1x+C2x2 ++Cn−1xn−1+Cnxn其中
n n n n
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学科网（北京）股份有限公司Cr 为xr 的系数，它具有好多性质，如：①1+C1 +C2 ++Cn−1+Cn =2n;②Cm =Cn−m;③
n n n n n n n
kCk =nCk−1；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题:
n n−1
（1）计算：C1 +2C2 +3C3 ++7C7；(请用数字作答)
7 7 7 7
n
（2）若n∈N*，且n≥3，证明： ∑k2Ck =n ( n+1 )⋅2n−2；
n
k=1
（3）设数列a ，a ，a ，…，a 是公差不为0的等差数列，证明：对任意的n∈N*，函数
0 1 2 n
p ( x )=a C0( 1−x )n +aC1x ( 1−x )n−1+a C2x2( 1−x )n−2 ++a Cnxn是关于x的一次函数.
0 n 1 n 2 n n n
18. 为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了
一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家
1
庭数为随机变量X ( X ≥2 ) ，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为 ，已知各家庭抽查结果相互独立.
3
（1）求P ( X =4 ) ；
2
（2）若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于 ，求整数n的最小值.
3
19. 已知函数 f ( x )=lnx+1,g ( x )=ex −1.
（1）求曲线y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 的公切线的条数；
（2）若a>0,∀x∈(−1,+∞) , f ( x+1 )≤a2g ( x )+a2 −a+1，求a的取值范围.
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