文档内容
2025-2026 学年度（上）阶段性考试（一）
高 2024 级 数学
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求.
1. 我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有 1200 人，其中一、二、三年级的人数比为
，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为 120 的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（
）
A. 52 B. 48 C. 36 D. 24
2. 学校组织知识竞赛，某班 8 名学生的成绩（单位：分）分别是 65，60，75，78，86，84，90，94，则这
8 名学生成绩的 75%分位数是（ ）
A. 88 分 B. 84 分 C. 85 分 D. 90 分
3. 在一个实验中，某种豚鼠被感染 病毒的概率均为 ，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的
概率：先由计算机产生出 ， 之间整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示被感染，5，6，7，8，9，0
表示没有被感染.经随机模拟产生了如下 20 组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ）
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.75
4. 若 是两条不相同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是
A 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
5. 已知 是空间 一个基底，则可以与向量 ， 构成空间另一个基底的向量是
（ ）
A. B. C. D.
6. 向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
第 1页/共 5页A. B. C. D.
7. 如图，某电子元件由 ， ， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，
， ， 三种部件不能正常工作的概率分别为 ， ， ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子
元件能正常工作的概率是（ ）
A B. C. D.
8. 正方体 的棱长为 2，P 是空间内的动点，且 ，则 的最小值
为（ ）.
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共 3 个小题，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若 ，则向量 ， 的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点 O，有 ，则 P，A，B，C 四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
10. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表
示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取
出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件
11. 在正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，则
（ ）
第 2页/共 5页A. 当 时，三棱锥 的体积为定值
B. 当三棱锥 的体积为定值 时，
C. 当 时，有且仅有两个点 ，使得
D. 当 平面 时，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是______
13. 我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生
水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是_______
14. 设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则
_______
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知棱长为 1 的正四面体 ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）用 表示向量 ，并求 的模长；
（2）求 与 所成角的余弦值．
16. 如图， 长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ．证
第 3页/共 5页明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
17. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过
考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、
“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 、 、 ，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入
一个社团的概率为 ，且 .
（1）求 与 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分 1 分，对进入“诗词”
社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分 3 分．求该新同学在社团方
面获得校本选修课学分分数不低于 4 分的概率．
18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更
是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所
有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：
， ， ， 得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值；
第 4页/共 5页（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；
（3）已知落在 的平均成绩是 54，方差是 7，落在 的平均成绩为 66，方差是 4，求两组成
绩合并后的平均数 和方差 .
19. 已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 ， 夹角，
记作 .定义 与 的“向量积”为： 是一个向量，它与向量 ， 都垂直，它的模
.如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，
， 为 上一点， .
（1）求 的长；
（2）若 为 的中点，求二面角 的余弦值；
（3）若 为 上一点，且满足 ，求 .
第 5页/共 5页
