文档内容
2025 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数 学
本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡
上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项
的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案
不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题
目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上
新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足1+iz=i，则z的虚部为
A．−1 B．1 C．−i D．i
2．已知集合A={x∣0≤x≤a},B={x∣x2−2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是
A．(0,2) B．(0,2] C．(2,+∞) D．[2,+∞)
3．在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，⃗BC=4⃗EC，点F是线段DE的中点，
若⃗AF=λ⃗AB+μ⃗AD，则μ=
5 7 3
A． B．1 C． D．
4 8 4
4．已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球
π
心O，母线与下底面所成角为 ，则该圆台的侧面积为
3
3√3 3 3√3
A． π B． π C． π D．3π
4 2 2
x2 y2
5．已知点P在双曲线C: − =1(a>0,b>0)上，且点P到C的两条渐近线的距离之积
a2 b2
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学科网（北京）股份有限公司a2
等于 ，则C的离心率为
2
A．3 B．2 C．√3 D．√2
6．已知实数a,b满足3a=4b，则下列不等式可能成立的是
A．b0，曲线y=cosωx与y=cos ωx− 相邻的三个交点构成一个直角三角
3
形，则ω=
√3 √2
A． π B． π C．√2π D．√3π
3 2
8．定义域为R的偶函数f (x)在(−∞,0]上单调递减，且f (3)=0，若关于x的不等式
(mx−2)f (x−2)≥(nx+3)f (2−x)的解集为[−1,+∞)，则em−2n+en+1的最小值为
A．2e3 B．2e2 C．2e D．2√e
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某位射击运动员的两组训练数据如下：
第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则
A．两组数据的平均数相等 B．第一组数据的方差大于第二组数据的方差
C．两组数据的极差相等 D．第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数
4−x
10．已知函数f (x)=ln +ax在x=3处取得极大值，f (x)的导函数为f′(x)，则
x
4
A．a=
3
B．当0f (x2)
C．f′(2+x)=f′(2−x)
16
D．当1≤x ≤x ≤3且x +x <4时，f (x )+f (x )<
1 2 1 2 1 2 3
11．如图，半径为1的动圆C沿着圆O:x2+ y2=1外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点
P(a,b)形成的外旋轮线Γ，因其形状像心形又称心脏
线．已知运动开始时点P与点A(1,0)重合．以下说法正
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学科网（北京）股份有限公司确的有
A．曲线Γ上存在到原点的距离超过2√3的点
B．点(1,2)在曲线Γ上
C．曲线Γ与直线x+ y−2√2=0有两个交点
3√3
D．|b|≤
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
3
12．已知cosαsin(α−β)−sinαcos(β−α)= ，则sinβ=_______．
5
13．将1,2,3,⋯,9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到
右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置
上，则填写方格表的方法共有_______种．
14．在正三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=3√2,AB=6，点D在△ABC内部运动（包
括边界），点D到棱PA,PB,PC的距离分别记为d ,d ,d ，且d2+d2+d2=20，则
1 2 3 1 2 3
点D运动路径的长度为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=a(1+2cosB)．
（1）求证：B=2A；
（2）若a=3,b=2√6，求△ABC的面积．
16．（15分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=2，侧面PCD是等
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学科网（北京）股份有限公司√3
边三角形，三棱锥A−PBD的体积为 ，点E是棱CP的中点．
3
（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；
（2）求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值．
17．（15分）
n(n∈N∗,n≥3)个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给
乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的n−1个人中的任何一个．第一次传球由甲手
中传出，第k(k∈N∗)次传球后，球在甲手中的概率记为A (k)，球在乙手中的概率记为
n
B (k)．
n
（1）求A (2),B (2),A (3),B (3)；
5 5 5 5
（2）求A (k)；
n
n−2
（3）比较B (k+1)与 A (k)的大小，并说明理由．
n n−1 n
18．（17分）
(1 ) 1
已知动点P到点F ,0 的距离等于它到直线x=− 的距离，记动点P的轨迹为曲
2 2
线C．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求C的方程；
（2）O为坐标原点，过点M(2,0)且斜率存在的直线l与C相交于A,B两点，直线
AO与直线x=−2相交于点D，过点B且与C相切的直线交x轴于点E．
（i）证明：直线DE//l；
（ii）满足四边形ABDE的面积为12的直线l共有多少条？说明理由．
19．（17分）
已知n∈N∗且n≥3，集合A ={a ,a ,⋯,a }，其中0
