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河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025 学年高二上期期中测试
数学试题
命题人：高军 审题人：杨立雅
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
的
1. 已知直线 经过点 ，且方向向量 ，则 方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A. 5 B. C. 3 D. 4
3. “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 以点 为圆心，并与 轴相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 空间四边形 中， ，点 在 上， 点 为 的中点，则
（ ）
A. B.C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点， 为坐标原点， ，则 （
）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
7. 已知椭圆 两个焦点分别为 ，上的顶点为P，且 ，
的
则此椭圆长轴为（ ）
A. B. C. 6 D. 12
8. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 的右支上， 与
的一条渐近线平行，交 的另一条渐近线于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 与 垂直 B. 与 共线
C. 与 所成角为锐角 D. ， ， ，可作为空间向量的一组基底
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 的倾斜角为B. 若直线 经过第三象限，则 ，
C. 点 在直线 上
D. 存在 使得直线 与直线 垂直
11. 如图，已知正方体 的棱长为 ，则下列选项中正确的有（ ）
A. 异面直线 与 夹角的正弦值为
的
B. 二面角 的平面角的正切值为
C. 四棱锥 的外接球体积为
D. 三棱锥 与三棱锥 体积相等
的
12. 在平面直角坐标系 中，已知圆 动弦 ，圆 ，
则下列选项正确的是（ ）
A. 当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为
B. 的面积最大值为1
C. 若原点 始终在动弦 上，则 不是定值
D. 若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13. 两条平行直线 与 之间的距离是_______．
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，离心率为 ， 为双曲线上一点，
（ 为坐标原点），则 的面积为______.
15. 已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且 ，若
的面积为9，则 的值为______．
16. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 _______
四．解答题（共6小题，满分70分）
17. 已知等腰 的一个顶点 在直线 ： 上，底边 的两端点坐标分别为 ，
．
（1）求边 上的高 所在直线方程；
（2）求点 到直线 的距离．
18. 已知圆C的方程为： ．
（1）若直线 与圆C相交于A、B两点，且 ，求实数a的值；
（2）过点 作圆C的切线，求切线方程．
19. 已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的 倍.
的
（1）求 方程；（2）若倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，线段 的中点坐标为 ，求 .
20. 如图，已知 平面 ，底面 为正方形， ，M，N分别为 ，
的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
21. 设抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 是抛物线 上位于第一象限的一点，且
.
（1）求抛物线 的方程；
（2）如图，过点 作两条直线，分别与抛物线 交于异于 的 ， 两点，若直线 ， 的斜率
存在，且斜率之和为0，求证：直线 的斜率为定值.
22. 已知四棱柱 中，底面 为梯形， 平面 ，其中 . 是 的中点， 是 的中点．
（1）求证 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．河南省信阳高级中学北湖校区
2024-2025 学年高二上期期中测试
数学试题
命题人：高军 审题人：杨立雅
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
的
1. 已知直线 经过点 ，且方向向量 ，则 方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可；
【详解】因为直线的方向向量 ，所以直线的斜率为2，
又直线 经过点 ，所以直线方程为 ，即 ，
故选：B.
2. 已知 ，且 ，则 的值为（ ）
A. 5 B. C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，代入坐标计算可得答案．
【详解】由题意可得 ，则 ，解之可得 .
故选：D．
3. “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 根 据 直 线 平 行 的 条 件 ， 判 断 “ ” 和 “ 直 线 与 直 线
平行”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当 时，直线 与 平行；
当直线 与直线 平行时，
有 且 ，解得 ，
故“ ”是“直线 与直线 平行”的充要条件.
故选：A.
4. 以点 为圆心，并与 轴相切 的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.
【详解】解：由题意，圆心坐标为点 ，半径为 ，
则圆的方程为 ．
故选：D．
5. 空间四边形 中， ，点 在 上， 点 为 的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量．
【详解】点 为 的中点，则有 ，
所以 .
故选：B.
6. 已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点， 为坐标原点， ，则 （
）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设 ，结合 与抛物线方程，得到 ，
由焦半径公式得到答案.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，设 ，则 ，解得 或 （舍去），
则 ．
故选：B．
7. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ，上的顶点为P，且 ，
则此椭圆长轴为（ ）
A. B. C. 6 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据焦点坐标得到c，再由 得到a，c的关系求解.
【详解】因为椭圆 的两个焦点分别为 ，则 ，
又上顶点为P，且 ，所以 ，所以 ，故长轴长为12.
故选：D
8. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 的右支上， 与
的一条渐近线平行，交 的另一条渐近线于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A【解析】
【分析】设出直线 的方程，与渐近线的方程联立，求出 的坐标，由 为 的中点， ，
得 为 的中点，求出 的坐标，代入双曲线的方程求解即可.
【详解】令 ，由对称性，不妨设直线 的方程为 ，
由 ，解得 ， ，即点 的坐标为 ，
由 为 的中点， ，得 为 的中点，则点 的坐标为 ，
代入双曲线的方程，有 ，
即 ， ，
解得 ，所以双曲线 的离心率为 ．
故选：A
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9. 已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 与 垂直 B. 与 共线
C. 与 所成角为锐角 D. ， ， ，可作为空间向量的一组基底
【答案】BC
【解析】
【分析】对A：计算出 即可得；对B：由向量共线定理计算即可得；对 C：计算 并判断 与 是
否共线即可得；对D：借助空间向量基本定理即可得.【详解】对A： ，故 与 不垂直，故A错误；
对B：由 、 ，有 ，故 与 共线，故B正确；
对C： ，且 与 不共线，
故 与 所成角为锐角，故C正确；
对D：由 与 共线，故 ， ， 不可作为空间向量的一组基底，故D错误.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线 的倾斜角为
B. 若直线 经过第三象限，则 ，
C. 点 在直线 上
D. 存在 使得直线 与直线 垂直
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断 A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可
判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D.
【详解】对于A：直线 的斜率 ，所以该直线的倾斜角为 ，故A正确；
对于B：当 ， 时，直线 经过第三象限，故B错误；
对于C：将 代入方程，则 ，即点 在直线上，故C正确；
对于D：若两直线垂直，则 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD.11. 如图，已知正方体 的棱长为 ，则下列选项中正确的有（ ）
A. 异面直线 与 的夹角的正弦值为
B. 二面角 的平面角的正切值为
C. 四棱锥 的外接球体积为
D. 三棱锥 与三棱锥 体积相等
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A：根据异面直线的夹角分析求解；对于B：分析可知 为二面角 的
平面角，运算求解即可；对于C：四棱锥 的外接球即为正方体的外接球，求正方体的外接球
即可；对于D：根据锥体的体积公式分析判断即可.
【详解】对于A：因为 ，
在 中， 就是异面直线所成的角，
且 ，则 ，故A正确；
对于B：连接 交 于点O，连接 ，因为 平面ABCD，BD平面ABCD，则 BD，
又因为BD⊥AO， ， 平面 ，可得BD⊥平面 ，
且 平面 ，则BD⊥ ，
可知 为二面角 的平面角，
在 中， ，故B错误；
对于C，显然四棱锥 的外接球即为正方体的外接球，
因为正方体外接球的半径 ，
所以正方体的外接球体积为 ，故C正确；
对于D，因为 ，
三棱锥 的高 与三棱锥 的高 相等，底面积 ，
故三棱锥 与三棱锥 体积相等，故D正确.
.
故选：ACD
12. 在平面直角坐标系 中，已知圆 的动弦 ，圆 ，
则下列选项正确的是（ ）A. 当圆 和圆 存在公共点时，则实数 的取值范围为
B. 的面积最大值为1
C. 若原点 始终在动弦 上，则 不是定值
D. 若动点 满足四边形 为矩形，则点 的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据两圆位置关系列不等式求解实数 的范围判断A，根据三角形面积结合正弦函数可求出面积
最大值判断B，分类讨论，设直线方程，利用韦达定理结合数量积数量积坐标运算求解判断C，先根据矩
形性质结合垂径定理得到点 的轨迹，然后利用圆的周长公式求解判断D.
【详解】对于A，圆 的圆心为(1,0)，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
当圆 和圆 存在公共点时， ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 ，正确；
对于B， 的面积为 ，
当 时， 的面积有最大值为1，正确；
对于C，当弦 垂直x轴时， ，所以 ，
当弦 不垂直x轴时，设弦 所在直线为 ，
与圆 联立得， ，
设 ，则 ， ，
综上 ，恒为定值，错误；
对于D，设P(x ,y )，OP中点 ，该点也是AB中点，且 ，
0 0
又 ，所以 ，
化简得 ，所以点 的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为 的圆，
其周长为长度为 ，正确.
故选：ABD
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13. 两条平行直线 与 之间的距离是_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】将直线 的方程可化为 ，利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】直线 的方程可化为 ，且直线 的方程为 ，
所以，平行直线 与 之间的距离为 .
故答案为： .
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，离心率为 ， 为双曲线上一点，
（ 为坐标原点），则 的面积为______.【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的离心率可求得 的值，可求得 的值，推导出 为直角，利用勾股定理结合
双曲线的定义可求出 的值，再利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】如图所示：因为双曲线 的离心率 ，所以 ， ，
设点 在双曲线的右支上，由 ，
可得 ， ，
所以， ，
由双曲线定义可得 ，由勾股定理可得 ，
所以 ，可得 ，
因此 的面积为 .
故答案为： .
15. 已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且 ，若
的面积为9，则 的值为______．
【答案】3【解析】
【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可.
【详解】
，
，①
又
②
①-②得： ，
的面积为9，
，
故答案为：3.
16. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 _______
【答案】 ##
【解析】
【分析】由题意可得： ，根据空间向量的数量积运算求解.【详解】由题意可知： ，且 ，
因为M为BC中点，N为AD中点，
则 ，
所以
.
故答案为：
四．解答题（共6小题，满分70分）
17. 已知等腰 的一个顶点 在直线 ： 上，底边 的两端点坐标分别为 ，
．
（1）求边 上的高 所在直线方程；
（2）求点 到直线 的距离．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）求出 的中点 的坐标，利用垂直关系得到高 所在直线的斜率，得到高 所在直
线方程；
（2）联立两直线得到点 的坐标，利用点到直线距离公式求出答案.
【小问1详解】
由题意可知， 为 的中点，
， ，
．
又 ，
．
所在直线方程为 ，即 ．
【小问2详解】
由 ，解得 ，所以 ．
又直线 方程为 ，即 ．
点 到直线 的距离 ．
18. 已知圆C的方程为： ．
（1）若直线 与圆C相交于A、B两点，且 ，求实数a的值；（2）过点 作圆C的切线，求切线方程．
【答案】（1） 或 ；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解；
（2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解．
【小问1详解】
圆 的方程为： ，
则圆 的圆心为 ，半径为2，
直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，
则 ，解得 或 ；
【小问2详解】
当切线的斜率不存在时，直线 ，与圆 相切，
切线的斜率存在时，可设切线为 ，即 ，
由切线的定义可知， ，解得 ，
故切线方程为 ，
综上所述，切线方程为 或 ．
19. 已知椭圆 ： 的长轴长是短轴长的 倍.
（1）求 的方程；
（2）若倾斜角为 的直线 与 交于 ， 两点，线段 的中点坐标为 ，求 .【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件确定 的值，即得椭圆的标准方程；
（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.
【小问1详解】
由题意可得 ，得 ，所以 的方程为 .
【小问2详解】
由题意得 .
设 ， ，依题意可得 ，且 ，
由 得 ，
则 ，解得 .
经检验，点 在椭圆 内.
所以 为所求.
20. 如图，已知 平面 ，底面 为正方形， ，M，N分别为 ，
的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可
得出结果；
【小问1详解】
为
以 原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，因为 ，所以 平面 ；
【小问2详解】
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为：
．
21. 设抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 是抛物线 上位于第一象限的一点，且
.
（1）求抛物线 的方程；
（2）如图，过点 作两条直线，分别与抛物线 交于异于 的 ， 两点，若直线 ， 的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线 的斜率为定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求 ，即可求抛物线的标准方程；
（2）首先根据（1）的结果求点 的坐标，设直线 和 的直线方程与抛物线方程联立，求得点
的坐标，并表示直线 的坐标，即可证明.
【小问1详解】
由抛物线的定义知 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
【小问2详解】
因为点 的横坐标为2，即 ，解得 ，
故 点的坐标为 ，
由题意可知，直线 ， 不与 轴平行，设 ， ，
设直线 ： ，即 ，
代入抛物线的方程得 ，即 ，
则 ，故 ，
所以 ，
即
设直线 ： ，即 ，同理可得 ，则 ，
即
直线 的斜率 ，
所以直线 的斜率为定值.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线 与 的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两
根之和公式求点 的坐标.
22. 已知四棱柱 中，底面 为梯形， 平面 ，
其中 . 是 的中点， 是 的中点．
（1）求证 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角余弦值；
（3）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，借助中位线的性质可得四边形 是平行四边形，
再利用平行四边形的性质结合线面平行的判定定理计算即可得；
（2）建立适当空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量后结合空间向量夹角公式计算即
可得；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ， ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
则有 、 ，
故四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
【小问2详解】
以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A(0,0,0)、 、 、 、C(1,1,0)、 ，则有 、 、 ，
设平面 与平面 的法向量分别为⃗m=(x ,y ,z )、⃗n=(x ,y ,z )，
1 1 1 2 2 2
则有 ， ，
分别取 ，则有 、 、 、 ，
即 ， ，
则 ，
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ；
【小问3详解】
由 ，平面 的法向量为 ，
则有 ，
即点 到平面 的距离为 ．
