2006年上海高考数学试卷（理）（自主命题）（解析卷）_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_上海

绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形 码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷 上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分48分） 1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若BA，则实数m ＝ ． 2．已知圆x2－4x－4＋y2＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离 是 ． 3．若函数 f(x)＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ ． C3 4．计算：lim n ＝ ． nn3 1   5．若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ． 1  6．如果cos＝ ，且是第四象限的角，那么cos( )＝ ． 5 2 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 3，0），且长轴长是短轴长的2倍 ，则该椭圆的标准方程是 ．  5 8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4， ），B（5，－ ），则△OAB的面 3 6 积是 ． 9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们 任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对 ”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交 第1页 | 共14页线面对”的个数是 ． 11．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的 条件是 ． 12．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2 |≥ax在[1，12]上恒成立 ，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ． 二．选择题（本大题满分16分） 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）      D C （A）AB＝DC ；（B）AD＋AB＝AC；       （C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0． A B 14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一 平面上”的 [答]（ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非 必要条件． 15．若关于x的不等式(1k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有[ 答]（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M． 16．如图，平面中两条直线l 和l 相交于点O，对于平面上任意一点M，若 p、 1 2 q分别是M到直线l 和l 的距离，则称有序非负实数对（ p，q）是点M的“距 1 2 l 离坐标”．已知常数 p≥0，q≥0，给出下列命题： 1 ①若 p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有1个； M（ p，q） l ②若 pq＝0，且 p＋q≠0，则“距离坐标”为 2 O （ p，q）的点有且仅有2个； ③若 pq≠0，则“距离坐标”为（ p，q）的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步 骤． 17．（本题满分12分）   求函数y＝2cos(x )cos(x )＋ 3sin2x的值域和最小正周期． 4 4 [解] 第2页 | 共14页18．（本题满分12分） 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船 遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角 度精确到1）？ [解] 北 B A 20 • 10 •C 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与 BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． P （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． D [解]（1） E A C O B （2） 第3页 | 共14页20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．   （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OAOB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1） （2） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第 3小题满分6分） 已知有穷数列{ a }共有2k项（整数k≥2），首项a ＝2．设该数列的前n n 1 项和为S ，且a ＝(a1)S ＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1 n n1 n ． （1）求证：数列{ a }是等比数列； n 2 1 （2）若a＝22k1，数列{b }满足b ＝ log (a a a )（n＝1，2，┅，2 n n n 2 1 2 n k），求数列{b }的通项公式； n 3 3 3 （3）若（2）中的数列{b }满足不等式|b － |＋|b － |＋┅＋|b － |＋| n 1 2 2 2 2k1 2 3 b － |≤4，求k的值． 2k 2 [解]（1） 第4页 | 共14页（2） （3） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第 3小题满分9分） a 已知函数y＝x＋ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0， a x ]上是减函数，在[ a ，＋∞)上是增函数． 2b （1）如果函数y＝x＋ （x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值； x c （2）研究函数y＝x2＋ （常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； x2 a a （3）对函数y＝x＋ 和y＝x2＋ （常数a＞0）作出推广，使它们都是你 x x2 所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） 1 1 1 ，并求函数F(x)＝(x2  )n＋(  x)n（n是正整数）在区间[ ，2]上的 x x2 2 第5页 | 共14页最大值和最小值（可利用你的研究结论）． [解]（1） （2） （3） 第6页 | 共14页上海数学(理工农医类)参考答案 2006年高考上海 数学试卷（理） 一．填空题 1． 解：由m22m1m1，经检验，m1为所求； 2． |201| 2 解：由已知得圆心为：P(2,0)，由点到直线距离公式得：d  ； 11 2 1 3． 解：由互为反函数关系知， f(x)过点(1,2)，代入得：a12a ； 2 4． 解： 3 2 1  lim C n 3 lim n(n1)(n2) lim n33n22n lim n n2  1 ； nn31 n (n31)  3! n (n31)  3! n(1 1 ) 3! 6  n3 2i 5． 解：已知ZiZ2iZ i1； 1i  2 6 6． 解：已知cos( )sin( 1cos2) ； 2 5 7． b24  a2b,c2 3   x2 y2 解：已知 a216   1为所求； a2b2c2  16 4  F(2 3,0) 8． 解：如图△OAB中，  5 5 OA4,OB5,AOB2( ( )) 3 6 6 1 5 S AOB  2  4  5  sin 6 5 (平方单位)； 9． 解：分为二步完成： 1) 两套中任取一套，再作全排列，有C 2 1  P 4 种方法； 2) 剩下的一套全排列，有 P 种方法； 4 C1P P 1 所以，所求概率为： 2 4 4  ； P 35 8 10．解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对 ”；而正方 体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12 个“正交线 面对”，所以共有36个“正交线面对”； 11．解：作出函数 y2|x|1的图象， 如右图所示： 第7页 | 共14页所以，k0,b(1,1)； 25 12．解：由x2＋25＋|x3－5x2 |≥ax,1x12ax |x25x|， x 25 25 而x 2 x  10，等号当且仅当x5[1,12]时成立； x x 且|x25x|0，等号当且仅当x5[1,12]时成立； 25 所以，a[x |x25x|] 10，等号当且仅当x5[1,12]时成立；故 x min a(,10]； 二．选择题（本大题满分16分）    D C 13． 解：由向量定义易得， （C）选项错误；ABADDB； 14．解： 充分性成立： “这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况： A B 1）第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面 上”； 2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一 个平面内”； 必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直 线上”； 故选（A） 15．解：选（A） 方法1：代入判断法，将x2,x0分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解 集是否为R； 方法2：求出不等式的解集； 16．解：选（D） ① 正确，此点为点O ② 正确，注意到 p,q为常数，由 p,q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且 仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或 p）； ③ 正确，四个交点为与直线l 相距为 p的两条平行线和与直线l 相距为q的两条平 1 2 行线的交点； 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步 骤． 17．（本题满分12分） 第8页 | 共14页  求函数 y2cos(x )cos(x ) 3sin2x的值域和最小正周期． 4 4   [解] y2cos(x )cos(x ) 3sin2x 4 4 1 1 2( cos2x sin2x) 3sin2x 2 2 cos2x 3sin2x  2sin(2x ) 6 ∴   函数 y2cos(x )cos(x ) 3sin2x的值域是[2,2],最小正周期是； 4 4 18．（本题满分12分） 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船 遇险等待 营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海 里C处的乙 船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1 ）？ [解] 连接BC,由余弦定理得 BC2=202+102－2×20×10COS120°=700. 于是,BC=10 7 . sin ACB sin120 3 ∵  , ∴sin∠ACB= , 20 10 7 7 ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援. 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与 BD相交 于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． P （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的大小（结果用 D E 反三角函数值表示）． [解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得 A O C B 第9页 | 共14页∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60°= 3,而底面菱形的面积为2 3. 1 ∴四棱锥P-ABCD的体积V= ×2 3× 3=2. 3 （2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、 OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立 空间直角坐标系. 在Rt△AOB中OA= 3,于是,点A、B、 D、P的坐标分别是A(0,－ 3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3). 1 3 3 3 E是PB的中点,则E( ,0, ) 于是DE=( ,0, ),AP=(0, 3, 3). 2 2 2 2 3 2 2 2 设DE与AP的夹角为θ,有cosθ=  ,θ=arccos , 9 3 4 4   33 4 4 2 ∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos ； 4 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF. 由E是PB的中点,得EF∥PA， ∴∠FED是异面直线DE与PA所成 角(或它的补角)， 在Rt△AOB中AO=ABcos30°= 3=OP， 于是, 在等腰Rt△POA中， 6 PA= 6 ，则EF= . 2 在正△ABD和正△PBD中,DE=DF= 3， 1 6 EF 2 4 2 cos∠FED=  = DE 3 4 2 ∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos . 4 第10页 | 共14页20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．   （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OAOB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由 ． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x ,y )、B(x ,y ). 1 1 2 2 当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交 于点A(3, 6 )、B(3,－ 6 ). ∴OAOB=3； 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为 yk(x3)，其中k0， y22x 由 得 ky22y6k0 y y 6 1 2 yk(x3) 1 1 又 ∵ x  y 2,x  y 2， 1 2 1 2 2 2   1 ∴OA  OBx 1 x 2 y 1 y 2  4 (y 1 y 2 )2y 1 y 2 3， 综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么OAOB=3”是真命题； (2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果OAOB=3,那么该直 线过点T(3,0).该命题是假命题. 1   例如：取抛物线上的点A(2,2)，B( ,1)，此时OA  OB=3, 2 2 直线AB的方程为： y (x1)，而T(3,0)不在直线AB上； 3 说明：由抛物线y2=2x上的点A (x ,y )、B (x ,y ) 1 1 2 2 满足OAOB=3，可得y y =－6， 1 2 或y y =2，如果y y =－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y y =2， 1 2 1 2 1 2 可证得直线 AB过点(－1,0),而不过点(3,0). 21．（本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第 3小题 满分6分） 第11页 | 共14页已知有穷数列{ a }共有2k项（整数k≥2），首项a ＝2．设该数列的前n n 1 项和为S ，且a ＝(a1)S ＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a n n1 n ＞1． （1）求证：数列{ a }是等比数列； n 2 1 （2）若a＝22k1，数列{b }满足b ＝ log (a a a )（n＝1，2 n n n 2 1 2 n ，┅，2k）， 求数列{b }的通项公式； n 3 3 （3）若（2）中的数列{b }满足不等式|b － |＋|b － |＋┅＋|b － n 1 2 2 2 2k1 3 3 |＋|b － | 2 2k 2 ≤4，求k的值． a (1) [证明] 当n=1时,a =2a,则 2 =a； 2 a 1 2≤n≤2k－1时, a =(a－1) S +2, a =(a－1) S +2, n+1 n n n－1 a a －a =(a－1) a , ∴ n1 =a, ∴数列{a }是等比数列. n+1 n n n a n n(n1) n(n1) n (2) 解：由(1) 得a =2a n1 , ∴a a …a =2 n a 12(n1) =2 n a 2 =2 2k1 , n 1 2 n 1 n(n1) n1 b = [n ] 1(n=1,2,…,2k). n n 2k 1 2k 1 3 1 3 （3）设b ≤ ,解得n≤k+ ,又n是正整数,于是当n≤k时, b < ； n n 2 2 2 3 当n≥k+1时, b > . n 2 3 3 3 3 3 原式=( －b )+( －b )+…+( －b )+(b － )+…+(b － ) 1 2 k k+1 2k 2 2 2 2 2 =(b +…+b )－(b +…+b ) k+1 2k 1 k 1 1 (k 2k 1)k (0k 1)k 2 2 k2 =[ k][ k]= . 2k 1 2k 1 2k 1 k2 当 ≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2 3≤k≤4+2 3,又k≥2, 2k 1 ∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立. 第12页 | 共14页22．（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第 3小题 满分9分） a 已知函数y＝x＋ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0， a x ]上是减函数，在[ a ，＋∞)上是增函数． 2b （1）如果函数y＝x＋ （x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值； x c （2）研究函数y＝x2＋ （常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理 x2 由； a a （3）对函数y＝x＋ 和y＝x2＋ （常数a＞0）作出推广，使它们都 x x2 是你所推广的 函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） ，并求函数F(x) 1 1 1 ＝(x2  )n＋(  x)n（n是正整数）在区间[ ，2]上的最大值和 x x2 2 最小值（可利 用你的研究结论）． 2b [解]（1）函数y=x+ (x>0)的最小值是2 2b ，则2 2b =6, ∴b=log 9. 2 x c c c (2) 设0y , 函数y=x2  在[4 c,+∞)上是增函数； 1 2 2 1 x2 c 当00),其中n是正整数. xn a 当n是奇数时,函数y=xn  在(0,2na]上是减函数,在[2na,+∞) 上是增函数, xn 在(－∞,－2na]上是增函数, 在[－2na,0)上是减函数； 第13页 | 共14页a 当n是偶数时,函数y=xn  在(0,2na]上是减函数,在[2na,+∞) 上是增函数, xn 在(－∞,－2na]上是减函数, 在[－2na,0)上是增函数； 1 1 F(x)=(x2  )n +(  x)n x x2 = 1 1 1 1 C0(x2n  )C1(x2n3  ) Cr(x2n3r ) Cn(xn  ) n x2n n x2n3  n x2n3r  n xn 1 因此F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 2 1 9 9 所以，当x= 或x=2时，F(x)取得最大值( )n+( )n； 2 2 4 当x=1时F(x)取得最小值2n+1； 第14页 | 共14页