文档内容
绝密★启用前
2006 年普通高等学校招生全国统一考试（上海
卷）
数学试卷
（理工农医类）
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意
1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形
码贴在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷
上作答一律不得分.
4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一．填空题（本大题满分48分）
1．已知集合A＝ －1，3，2 －1 ，集合B＝ 3， ．若B A，则实数
＝ ．
2．已知圆 －4 －4＋ ＝0的圆心是点P，则点P到直线 － －1＝0的距离
是 ．
3．若函数 ＝ （ ＞0，且 ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则 ＝
．
4．计算： ＝ ．
5．若复数 同时满足 － ＝2 ， ＝ （ 为虚数单位），则 ＝ ．
6．如果 ＝ ，且 是第四象限的角，那么 ＝ ．
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 ，0），且长轴长是短轴长的2倍，
则该椭圆的标准方程是 ．
8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4， ），B（5，－ ），则△OAB的
面积是 ．
9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它
们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用
分数表示）．
10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面
对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正
交线面对”的个数是 ．
第1页 | 共7页11．若曲线 ＝| |＋1与直线 ＝ ＋ 没有公共点，则 、 分别应满足的条
件是 ．
12．三个同学对问题“关于 的不等式 ＋25＋| －5 |≥ 在[1，12]上恒成立，
求实数 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的取值范围是
．
二．选择题（本大题满分16分）
13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）
（A） ＝ ；（B） ＋ ＝ ； D C
（C） － ＝ ；（D） ＋ ＝ ．
A B
14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一
平面上”的 [答]（ ）
（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非
必要条件．
15．若关于 的不等式 ≤ ＋4的解集是M，则对任意实常数 ，总有
[答]（ ）
（A）2∈M，0∈M； （B）2 M，0 M； （C）2∈M，0 M； （D）2 M，
0∈M．
16．如图，平面中两条直线 和 相交于点O，对于平面上任意一点M，若 、
分别是M到直线 和 的距离，则称有序非负实数对（ ， ）是点M的“l距离
坐标”．已知常数 ≥0， ≥0，给出下列命题： 1
①若 ＝ ＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个； M（，）
l
②若 ＝0，且 ＋ ≠0，则“距离坐标”为
2
（ ， ）的点有且仅有2个； O
③若 ≠0，则“距离坐标”为（ ， ）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的
步骤．
17．（本题满分12分）
求函数 ＝2 ＋ 的值域和最小正周期．
[解]
第2页 | 共7页18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇
险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ，相距10
海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度
精确到1 ）？
[解]
北
B
A 20
•
10
•C
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8
分）
在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC
与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积； P
（2）若E是PB的中点，求异面直线
DE与PA所成角的大小（结果用反
三角函数值表示）．
[解]（1）
D
E
A C
O
B
（2）
第3页 | 共7页20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8
分）
在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线 过点T（3，0），那么 ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）
（2）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6
分，第3小题满分6分）
已知有穷数列 共有2 项（整数 ≥2），首项 ＝2．设该数列的前
项和为 ，且 ＝ ＋2（ ＝1，2，┅，2 －1），其中常数 ＞1．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ＝2 ，数列 满足 ＝ （ ＝1，2，┅，2
），求数列 的通项公式；
（3）若（2）中的数列 满足不等式| － |＋| － |＋┅＋| － |＋|
－ |≤4，求 的值．
[解]（1）
（2）
第4页 | 共7页（3）
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6
分，第3小题满分9分）
已知函数 ＝ ＋ 有如下性质：如果常数 ＞0，那么该函数在 0， 上
是减函数，在 ，＋∞ 上是增函数．
（1）如果函数 ＝ ＋ （ ＞0）的值域为 6，＋∞ ，求 的值；
（2）研究函数 ＝ ＋ （常数 ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数 ＝ ＋ 和 ＝ ＋ （常数 ＞0）作出推广，使它们都是你所
推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），
并求函数 ＝ ＋ （ 是正整数）在区间[ ，2]上的最大
值和最小值（可利用你的研究结论）．
[解]（1）
第5页 | 共7页（2）
（3）
第6页 | 共7页第7页 | 共7页
