2006年上海高考数学试卷（理）（自主命题）（空白卷）_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_上海

绝密★启用前 2006年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形 码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷 上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．填空题（本大题满分48分） 1．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若BA，则实数m ＝ ． 2．已知圆x2－4x－4＋y2＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离 是 ． 3．若函数 f(x)＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ ． C3 4．计算：lim n ＝ ． nn3 1   5．若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝ ． 1  6．如果cos＝ ，且是第四象限的角，那么cos( )＝ ． 5 2 7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2 3，0），且长轴长是短轴长的2倍 ，则该椭圆的标准方程是 ．  5 8．在极坐标系中，O是极点，设点A（4， ），B（5，－ ），则△OAB的面 3 6 积是 ． 9．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们 任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）． 10．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对 ”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交 第1页 | 共7页线面对”的个数是 ． 11．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的 条件是 ． 12．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2 |≥ax在[1，12]上恒成立 ，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是 ． 二．选择题（本大题满分16分） 13．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 [答]（ ）      D C （A）AB＝DC ；（B）AD＋AB＝AC；       （C）AB－AD＝BD；（D）AD＋CB＝0． A B 14．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一 平面上”的 [答]（ ） （A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充要条件；（D）非充分非 必要条件． 15．若关于x的不等式(1k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有[ 答]（ ） （A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M． 16．如图，平面中两条直线l 和l 相交于点O，对于平面上任意一点M，若 p、 1 2 q分别是M到直线l 和l 的距离，则称有序非负实数对（ p，q）是点M的“距 1 2 l 离坐标”．已知常数 p≥0，q≥0，给出下列命题： 1 ①若 p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点 有且仅有1个； M（ p，q） l ②若 pq＝0，且 p＋q≠0，则“距离坐标”为 2 O （ p，q）的点有且仅有2个； ③若 pq≠0，则“距离坐标”为（ p，q）的点有且仅有4个． 上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步 骤． 17．（本题满分12分）   求函数y＝2cos(x )cos(x )＋ 3sin2x的值域和最小正周期． 4 4 [解] 第2页 | 共7页18．（本题满分12分） 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船 遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角 度精确到1）？ [解] 北 B A 20 • 10 •C 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与 BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60． P （1）求四棱锥P－ABCD的体积； （2）若E是PB的中点，求异面直线 DE与PA所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． D [解]（1） E A C O B （2） 第3页 | 共7页20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．   （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OAOB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1） （2） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第 3小题满分6分） 已知有穷数列{ a }共有2k项（整数k≥2），首项a ＝2．设该数列的前n n 1 项和为S ，且a ＝(a1)S ＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1 n n1 n ． （1）求证：数列{ a }是等比数列； n 2 1 （2）若a＝22k1，数列{b }满足b ＝ log (a a a )（n＝1，2，┅，2 n n n 2 1 2 n k），求数列{b }的通项公式； n 3 3 3 （3）若（2）中的数列{b }满足不等式|b － |＋|b － |＋┅＋|b － |＋| n 1 2 2 2 2k1 2 3 b － |≤4，求k的值． 2k 2 [解]（1） 第4页 | 共7页（2） （3） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第 3小题满分9分） a 已知函数y＝x＋ 有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0， a x ]上是减函数，在[ a ，＋∞)上是增函数． 2b （1）如果函数y＝x＋ （x＞0）的值域为[6，＋∞)，求b的值； x c （2）研究函数y＝x2＋ （常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； x2 a a （3）对函数y＝x＋ 和y＝x2＋ （常数a＞0）作出推广，使它们都是你 x x2 所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） 1 1 1 ，并求函数F(x)＝(x2  )n＋(  x)n（n是正整数）在区间[ ，2]上的 x x2 2 第5页 | 共7页最大值和最小值（可利用你的研究结论）． [解]（1） （2） （3） 第6页 | 共7页第7页 | 共7页