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2024 届高三 11 月模拟测试数学试题
总分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知 为锐角， ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ， ， （ ， ）， 为其前 项和，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游. 除常见的五个旅游热门地北
京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全
不相同的方法种数共有（ ）
A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360
6. 对于两个函数 与 ，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为 ，
，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 ： 的右焦点为 ，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支
上， ， ，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知曲线 与曲线 交于点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。9. 已知函数 ，把 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则（ ）
A. 是奇函数
B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上单调递增
D. 不等式 的解集为
10. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球. 记录每
次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A. 可能取到数字4 B. 中位数可能是2
C. 极差可能是4 D. 众数可能是2
11. 如图，圆锥 的底面圆 的直径 ，母线长为 ，点 是圆 上异于 ， 的动点，则下列结论正确
的是（ ）
A. 与底面所成角为45°
B. 圆锥 的表面积为
C. 的取值范围是
D. 若点 为弧 的中点，则二面角 的平面角大小为45°
12. 曲线C是平面内与两个定点 ， 的距离的积等于 的点P的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于坐标轴对称 B. 点P到原点距离的最大值为
C. 周长的最大值为 D. 点P到y轴距离的最大值为
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若 ，则 的值为
14. 二项式 展开式的常数项为 .
15. 已知数列 ，对任意正整数 ， ， ， 成等差数列，公差为 ，则 .16. 设 ，函数 ，若函数 恰有3个零点，则实数 的取值范围为 .
四、解答题：共70分。
17. （10分）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求B；
(2)已知 ，D为边 上的一点，若 ， ，求 的长.
18. （12分）已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，若 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
19. （12分）图1是由正方形 和正三角形 组成的一个平面图形，将 沿 折起，使点 到达点
的位置， 为 的中点，如图2.
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.20. （12分）某校20名学生的数学成绩 和知识竞赛成绩 如下表：
学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77
知识竞赛成绩 20
290 160 220 65 70 90 100 60 270
0
学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35
知识竞赛成绩
45 35 40 50 25 30 20 15 10 5
计算可得数学成绩的平均值是 ，知识竞赛成绩的平均值是 ，并且 ，
， .
(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)设 ，变量 和变量 的一组样本数据为 ，其中 两两不相同，
两两不相同.记 在 中的排名是第 位， 在 中的排名是第 位，
.定义变量 和变量 的“斯皮尔曼相关系数”（记为 ）为变量 的排名和变量 的排名的样本相关
系数.
（i）记 ， .证明： ；
（ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼
相关系数”在分析线性相关性时的优势.
注：参考公式与参考数据.
； ； .
21. （12分）动点P与定点 的距离和它到直线 的距离的比是常数 ，记点P的轨迹为E.
(1)求E的方程；(2)已知 ，过点 的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线
， 分别与x轴交于C，D两点，求四边形 面积的最大值.
22. （12分）已知函数 .
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)已知函数 ，当 时，关于 的方程 有两个实根 ，求证：
.（注： 是自然对数的底数）2024 届高三 11 月模拟测试数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C B B B B B AB BD AC ABC
解析：
1. 由题意知： ， ，
所以： ，故D项正确.
2. 解：由题意，∵ ，
∴ ，解得： .
3. 因为
所以 ，
当 时，
， 为锐角，不合题意，舍去；
当 时，
，满足题意；
所以 .
4. 由 （ ， ）可得 ，
已知 ， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 是一个以3为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
， ， ， ， ，
，
5. ①恰有2个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的2个部门取出，有 种；
第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有 种，
根据分步计数原理可得，方法有 种；
②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有 种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有
种.
6. ， ， ， 的值域是 ，
设 ，则 ，
， ， ， ，
所以 ，
设 ，
，
设 ，则 ， 是增函数，
又 ，因此 时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 ，
所以 的最小值是 ，
7. 由题设 ，令 且 ， ，则 ，且 ①，由 ，即 ②，
由 ，即 ，
又C在双曲线上，则 ③，
由①得： ，代入③并整理得： ，
由①②及 得： ，
所以 ，即 ，
显然 ，则 .
8. 令 ，
则 ，
，
， 关于 中心对称；
， 关于 中心对称；
，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
极小值为 ，极大值为 ；
当 时， 单调递减，且 ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ；
作出 与 在 时的图象如下图所示，
由图象可知： 与 在 上有且仅有两个不同的交点，
由对称性可知： 与 在 上有且仅有两个不同的交点，
.
9. A选项， ，
由于 的定义域为R，且 ，
故 为奇函数，A正确；
B选项， ，故 的图象关于直线 对称，B正确；
C选项， 时， ，其中 在 上不单调，
故 在 上不单调，故C错误；
D选项， ，则 ，则 ，
故 ，D错误.
10.设这5个数字为 ，
对于A：若取到数字4，不妨设为 ，
则 ，可得 ，可知这4个数中至少有2个1，不妨设为 ，
则这5个数字的方差
，
不合题意，故A错误；
对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为 ，
若极差是4，这最大数为5，不妨设为 ，
则这5个数字的平均数 ，
则 ，可知这3个数有2个1，1个2，
此时这5个数字的方差 ，
不合题意，故C错误；
对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，
且中位数是2，众数是2，故BD正确；
11. 对于A，因为 面 ，所以 是 与底面所成角，
在 中，圆锥的母线长是 ，半径 ，
则 ，所以 ，则A正确；
对于B，圆锥 的侧面积为 ，表面积为 ，则B错误；
对于C，当点 与点 重合时， 为最小角，
当点 与点 重合时 ，达到最大值，
又因为 与 ， 不重合，则 ，
又 ，可得 ，则C正确；
对于D，如图所示，
，
取 的中点 ，连接 ， ，又 为 的中点，则 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，又 面 ， 面 ，所以 ，
又 ， 面 ，故 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为点 为弧 的中点，所以 ， ，则 ，则D错误.
12. 设 ，由 ，得 ，整理得 ，
若点 在曲线C上，显然 ， 都满足方程，即点 ， 也在曲线C上，
因此曲线C关于坐标轴对称，A正确；
由 ，得 ，解得 ，当且仅当 时取等号，
因此点P到原点 的距离 ，
于是当 时，点P到原点距离取得最大值 ，B正确；
显然 的周长为 ，当且仅当 时取等号，C正确；
由曲线 的方程 ，得 ，
当 时， ，即 ，两边平方解得 ，
即当曲线 的点 满足 时，点 到 轴距离 ，D错误.
13. 14. 60 15. 16.
13.由 ，得 ，
所以 .
14. 展开式的通项为 ，
取 ，解得 ，常数项为 .
15. 因为 ，对任意正整数 ， ， ， 成等差数列，公差为 ，所以
当 时，可得
，
当 时，
所以当 时，
16. 设 ，当 时， ，此时 ，
由 ，得 ，即 ，解得 或 ，
即 在 上有2个零点；
若 ， ，其图象对称轴为 ，
函数 的大致图像如图：
则此时 ，即 ，则 ，
即 无解，则 无零点，此时 无零点，不符合题意；
故需 ，此时函数 的大致图像如图：
由 得 或 ，
要使得函数 恰有3个零点，需满足 在 上有一个零点
此时 只有一个解，故只需 与函数 在y轴左侧图象无交点，
学科网（北京）股份有限公司则需 ，解得 ，结合 ，
可得 ，
17. （1）∵ ，根据正弦定理得， ，
即 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ， ， ，根据余弦定理得
，∴ .
∵ ，∴ .
在 中，由正弦定理知， ，∴ ，
∴ ， ，所以
∴ ，∴ .
18. （1）设 的公比为 ，
因为 ，即 ，
且 ，可得 ，解得 或 （舍去）.
又因为 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）可得： ，
所以，
所以 .
19. （1）证明：连 交 于点 ，连 .
由 为正方形知 为 中点，又 为 中点，故 ，
又 平面 且 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 中点 ，连 ，由 为等边三角形得 .
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ，则 ， ，
平面 就是坐标平面 ，故可取其法向量 ，
设平面 一个法向量为 ，
即 ，则 ，
令 ，则 ，得 ，
记平面 与平面 夹角为 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
20. 1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为
；
（2）（i）证明：因为 和 都是1，2， ， 的一个排列，所以
，
，
从而 和 的平均数都是 .
因此， ，
同理可得 ，
由于
，
所以 .
（ii）这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是0.91，
答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样
本相关系数更能刻画某种线性关系；
答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关. 如果一组
数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系.
21. （1）设点 ，依题意可得 ，
所以 ，化简得 ，即E的方程为 .
（2）如图所示：
设直线 的方程为 ， ， ， ，
联立方程组 ，可得 ，
则
，
由韦达定理有 ， ，
且由求根公式有 ，
直线 的方程为 ， ，同理 ，
∵ ， ，∴ ，
，
∴
，
又 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 时，四边形 的面积最大，最大值为4.
22. （1）由已知函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，
令函数 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 单调递减，
所以 ，
因为 ，
可知函数 的图象如下所示：
所以当 时，函数 的零点个数为0个，当 或 时，函数 的零点个数为1个，当
时，函数 的零点个数为2个.
（2）由题设方程 ，即 ，
所以 ，
令 ，得 ，
又 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，
由已知，方程 有两个实根 ，即 有两个实根 ，由（1）得 .
令 ，
所以
令 ，所以 有两个实根 ，
先证 .
因为 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，要证 ，即证 ，
因为 在 上单调递减，只需证 ，
即证 .
令 ，
，
因为 ，
令 ，
可知函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以 ，即 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 成立，
学科网（北京）股份有限公司即 成立，又 ，且 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，即 .
