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绵阳南山中学集团学校高 2022 级 10 月联考
数学参考答案
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)
D B D A A B B C
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.)
9.AD 10.BC 11.ACD
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)
12.2n−1 13.1 14.126
四、解答题(本题共5小题,共77分.)
15.(1)应在A组抽取 人,应在B组抽取 人.
(2)零假设为H ：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,
0
根据列联表中的数据,经计算可得 ,
根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立,即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,
此推断犯错误的概率不大于0.005.
16.(1)由题意知ax3+bx2+cx+d= a(x−x )(x−x )(x−x ),
1 2 3
展开得: ax3+bx2+cx+d=ax3−a(x +x +x )x2+a(x x +x x +x x )x−ax x x ,
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
d
比较系数得d=−ax x x ,即x x x =− .
1 2 3 1 2 3 a
(2) 令f (m)=f (n)=f (t)=s,则m,n,t是方程f (x)−s=0的三根,
即为x3−6x2+9x+1−s=0的三个不等根,由上知mnt=s−1.
f'(x)=3x2−12x+9=3(x−3)(x−1),于是
f (x)在(−∞,1)上递增,在(1,3)上递减,在(3,+∞)上递增,
且f (0)=f (3)=1,f (1)=f (4)=5,函数f (x)的大致图象如下:
y
5
s
1
O 1 3 4 x
为使得y=f (x)与y=s有三个不同的交点,
则s∈(1,5),故mnt=s−1∈(0,4).
17.如下图所示,过C作CD⊥l ,过B作BE⊥l ,垂足分别为D、E.
1 1
1l C
3
l B
2
α
l
1
F D A E
π 2π 2π
因∠CAF=α,且∠CAB= ,所以0<α< ,∠BAE= −α.
3 3 3
3 2
△ACD中,AC= ,在△ABE中,AB= .
在 sinα (2π )
sin −α
3
3 2 (2π )
(1)由 是正三角形,则AC=AB,即 = ,3sin −α =2sinα,
△ABC sinα (2π ) 3
sin −α
3
3√3 1 3√3 3 2√21
cosα= sinα,得tanα=3√3,于是sinα= ,所以边长AC= = .
2 2 2√7 sinα 3
1 π 3√3 1 3√3 1
(2)由上知,S = AB∙AC∙sin = ∙ = ∙ .
△ABC 2 3 2 sinαsin (2π −α ) 2 √3 sinαcosα+ 1 sin2α
3 2 2
√3 1 √3 1 1 1 π 1
而 sinαcosα+ sin2α= sin2α− cos2α+ = sin(2α− )+ .
2 2 4 4 4 2 6 4
2π π π 7π π π π
因为0<α< ,所以− <2α− < ,所以当2α− = ,即α= 时,
3 6 6 6 6 2 3
√3 1 3
sinαcosα+ sin2α取最大值 .
2 2 4
π 3√3 4
从而α= 时,S 取最小值 ∙ =2√3,故S 的最小值为2√3.
3 △ABC 2 3 △ABC
1 24ax2+4x−1
18.(1)f'(x)=24ax+4− = ,由条件知f'(x)≤0(x>0)恒成立,
x x
1 2 1 1 2 1 2
即24ax2+4x−1≤0⇒24a≤( ) −4× =( −2) −4,因为=( −2) −4≥−4,
x x x x
1
所以24a≤−4,则a≤− .
6
(2)上述解答不正确.
由条件知, 上只有一个变号零点.
g(x)=24ax2+4x−1在(0,1)
1
当 a=0时,g(x)=0得x= ∈(0,1), 且 f (x)在
4
1 1
(0, )上是减函数,在( ,1)上是增函数,符合题意;
4 4
2当 时,为使 上只有一个变号零点,则{ a>0
a>0 g(x)在(0,1) ,解得a>0;
g(1)≥0
当 时,为使 上只有一个变号零点,则{ a<0 1 .
a<0 g(x)在(0,1) ,解得− ≤a<0
g(1)≥0 8
1
综上,实数a取值的集合是[− ,+∞).
8
(3)因为函数 有两个极值点 所以 上的两个不等实根为
f (x) x ,x , g(x)=24ax2+4x−1=0在(0,+∞)
1 2
x ,x ,
1 2
{△=16+96a>0
1 1 1
于是 1 ⇒− 0 6 1 2 6a 1 2 24a
12a
所以
f (x )+f (x )=12ax2+4x −lnx +12ax2+4x −lnx
1 2 1 1 1 2 2 2
=12a(x2+x2)+4(x +x )−ln(x x )=12a[(x +x ) 2−2x x ]+4(x +x )−lnx x
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 1 1
=12a[ + ]− −ln(− )=1− −ln(− ).
36a2 12a 3a 24a 3a 24a
1 1
令− =t,则t> ,于是f (x )+f (x )=1+8t−lnt.
24a 4 1 2
1 1 8t−1
令ℎ(t)=1+8t−lnt(t> ), ℎ '(t)=8− = >0,
4 t t
1
所以ℎ(t)=1+8t−lnt在( ,+∞)上是增函数,
4
1
所以ℎ(t)> ℎ( )=3+2ln2,即f (x )+f (x )>3+2ln2.
4 1 2
19.(1) 。
g(x)=ex−ax−1,则g' (x)=ex−a
①若 ,则 , 在 上单调递增;
a≤0 g' (x)>0 g(x) (−∞,+∞)
②若 ,令 ,解得
a>0 g' (x)=0 x=lna
当 时, , 单调递减,当 时, , 单调递增.
x∈(−∞lna) g' (x)<0 g(x) x∈(lna,+∞) g' (x)>0 g(x)
综上,当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(−∞,+∞);
当a>0时,g(x)的单调递减区间为(−∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞).
(2)由题意易得曲线 在点 处的切线方程为 .
y=f (x) (n,f (n)) y−en=en (x−n)
设切线与x轴、y轴相交所得的横截距与纵截距分别为a ,b .
n n
则令 ,解得 ,令 ,解得 .
y=0 a =n−1 x=0 b =−en (n−1)
n n
1 1
则所围成三角形的面积S = |a b |= (n−1) 2en
n 2 n n 2
3则 S (n−1) 2en , (n−1) 2en 1 (n−1) 2 n−1 ,
c = n= lnc =ln =ln +ln +lnen=2ln +n−ln2
n n2 2n2 n 2n2 2 n2 n
n n n n n
( n−1 ) n−1
∑lnc =∑ 2ln +n−ln2 =∑2ln +∑n−∑ln2
n n n
i=2 i=2 i=2 i=2 i=2
1 (2+n)(n−1) n2+n−2
=2ln + −(n−1)ln2= −2lnn−(n−1)ln2.
n 2 2
(3)f (ax)≥sinx−cosx+2即 ,令 ,
则 ,
①当 时,因为 ,所以 , ,
令 ,则 ,则函数 单调递增,且 ,即 ;
由(1)可知当a=1时,g(x)≥g(0)=0,即f (x)≥x+1,所以 ,则
,所以函数 在 上单调递增,且 ,
即 恒成立.
②当 时, ,存在实数 ,使得 均有 ,
则函数 在 上单调递减,且 ,不符合题意,所以当 时,不符合题意.
综上,a的取值范围为 .
4
