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2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题
一、单选题
1． ，则 （ ）
A． B．2 C． D．6
2．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数 在 上连续，且在 上可导，则必有 ，
使得 ．已知函数 ，那么实数 的最大
值为（ ）
A．1 B． C． D．0
3．对于函数 ，部分x与y的对应关系如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3 7 5 9 6 1 8 2 4
数列 满足： ，且对于任意 ，点 都在函数 的图象上，则
（ ）
A．7569 B．7576 C．7584 D．7590
4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》书中提出高阶等差数列前后两项之差不相等，
但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前6项分别是1，6，13，24，41，66，则
该数列的第7项为（ ）
A．91 B．99 C．101 D．113
5．在等比数列 中， ， 是方程 的两个根，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
6．已知 ， ，则a，b的等差中项为（ ）A． B． C．1 D．
7．数列 ， ， ，…， ，…的第10项是（ ）
A． B． C． D．
8．已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足 ，AB是正方体的一条棱，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图是导函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A． 为函数 的单调递增区间
B． 为函数 的单调递减区间
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
10．甲、乙、丙、丁四名志愿者到A，B，C三所山区学校参加支教活动，每个志愿者仅在一所学校支教，
要求每所学校至少安排一名志愿者，则下列结论中正确的是（ ）
A．共有72种安排方法
B．若甲被安排在A学校，则有12种安排方法
C．若A学校需要两名志愿者，则有12种安排方法
D．若甲、乙不能在同一所学校，则有30种安排方法
11．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则（ ）A．公差 B．
C． 的最大值为 D．满足 的 的最小值为16
三、填空题
12．已知 ，那么 ；
13．已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是 ．
14．设点 在抛物线 上，已知 .若 ，则 ；若 ，
则直线 斜率的最小值为 .
15．已知圆系 ，圆 过 轴上的定点 ，线段 是圆 在 轴上截得
的弦，设 ， ．对于下列命题：
①不论 取何实数，圆心 始终落在曲线 上；
②不论 取何实数，弦 的长为定值1；
③不论 取何实数，圆系 的所有圆都与直线 相切；
④式子 的取值范围是 ．
其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）
四、解答题
16．盒子内有3个不同的黑球，5个不同的白球.
（1）全部取出排成一列，3个黑球两两不相邻的排法有多少种？
（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种？
（3）若取一个白球记2分，取一个黑球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
17．“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性
别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性 女性 合计
爱好 10
不爱好 8
合计 30
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是 ．
参考公式： .
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)请将上面的列联表补充完整，根据小概率值 的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？
(2)若从这 人中的女性员工中随机抽取 人参加一活动，记爱好运动的人数为 ，求 的分布列、数学
期望．
18．已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前20项和.
19．对于正实数 有基本不等式： ，其中 ，为 的算术平均数，
，为 的几何平均数．现定义 的对数平均数：
(1)设 ，求证： ：
(2)①证明不等式： ：
②若不等式 对于任意的正实数 恒成立，求正实数 的最大值．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C A B A B ACD BCD
题号 11
答案 AC
1．C
根据导数的定义，结合导数的计算，可得答案.
【详解】∵ ， ，∴ .
故选：C.
2．C
利用导数判断单调性，求解出值
【详解】因为函数 在 上连续，且在 上可导，则必有一 ，使得 ，
又函数 ，可得 ，
所以 ，此时 ，
又 ，所以 ，因为 ，且 ，所以 ，
不妨设 ，函数定义域为 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值也是最大值，最大值 ，
则当 时，λ取得最大值，最大值为 ．
故选：C．
3．D
根据题意得到数列 是周期为 的周期数列，然后求和即可.
【详解】由题意，数列 满足 ，且点 都在函数 的图象上，可得 ，
，
，
，
则数列 是周期为 的周期数列，
即数列 满足 ，
则 .
故选：D.
4．C
根据高阶等差数列的定义，逐项作差，可推得 为等差数列，且 ，反向求解可得 ，
.
【详解】由已知可设 ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， ， ， ， .
设 ，则 ， ， ， ，
根据高阶等差数列的定义以及 的前4项可知， 为等差数列，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：C.
5．A
利用根与系数的关系和等比数列的性质求解即可【详解】由题意可得
所以 .
因为
所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：A.
6．B
先求解可得 ，然后根据等差中项的性质，即可得出答案.
【详解】由已知可得， .
设a，b的等差中项为 ，
根据等差中项的定义，有 .
故选：B.
7．A
由观察可得数列规律，即可得答案.
【详解】由题可得数列第n项为 ，则数列第10项为 .
故选：A
8．B
由空间向量的数量积运算计算可得 ，即可得 的轨迹，即可根据数量积的几何意义求解即可．
【详解】取 的中点 , ,
则 ，所以 ．
所以 在以 为球心， 为半径的球面上，如图
可知 在 上的投影数量最小值为 ，
所以 的最小值为 ，
所以 的最小值为 ．
故选：B．
9．ACD
根据 时， ，即可判断A，B；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可判断C，
D．
【详解】对于A，B，当 时， ，故 为函数 的单调递增区间，故A正确，
B错误；
对于C，当 时， ，当 时， ，故 是函数的极大值点，故C正确；
对于D，当 时， ，当 时， ，故 是函数的极小值点，故D正确．
故选：ACD．10．BCD
由分类加法计数原理，结合分步乘法计数原理以及分组分配问题，结合间接法即可求解．
【详解】对于A，共有 种安排方法，即A错误；
对于B，若甲被安排在 学校，则有 种安排方法，即B正确；
对于C，若 学校需要两名志愿者，则有 种安排方法，即C正确；
对于D，若甲、乙不能在同一所学校，则有 种安排方法，即D正确．
故选：BCD．
11．AC
根据 求出 与公差 的关系即可判断AB；再根据等差数列前 项和公式即可判断CD.
【详解】因为 ，
则 ，即 ，
则 ，故A正确；
，故B错误；
由 ，得 ，
,
因为 ，
所以数列 是递减数列，且当 时， ，当 时， ，
所以 的最大值为 ，故C正确；
，
令 ，解得 ，所以满足 的 的最小值为 ，故D错误.
故选：AC.
12．
根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；
【详解】解：因为 ，所以 ，即 ，即 ，解得 或 （舍
去）
故答案为：
13．
由函数 是 上的减函数，列出相应的不等式组，即可求解实数 的取值范围.
【详解】∵函数 是 上的减函数，
∴ ，解得 ．
∴实数 的取值范围是 ．
答案： .
14． 3 1
第一空：由两点间距离公式以及点 坐标满足抛物线方程联立列式即可求解；第二空：将直线 斜率表
达式求出来，结合基本不等式即可得解.
【详解】第一空：若 ，则 ，
又 ，所以 ，注意到 ，
所以解得 满足题意；第二空：直线 斜率为 ，若 ，
则由基本不等式得 ，等号成立当且仅当 .
故答案为：3；1.
15．②④
对于①，根据圆 的方程即可判断①，对于②，根据弦长公式即可判断②，根据圆心 到直线 的
距离即可判断③，对于④，令 求出点 和点 的坐标，根据圆 方程求出点 坐标，求出 和
，在 利用余弦定理求出 ，求出 的面积即可求出 ，根据 即可判断
④.
【详解】对于①，由圆 的方程知，圆心 在曲线 上，故①不正确．
对于②，由弦长公式得：弦 的长为 ，故②正确．
对于③，圆心 到直线 的距离等于 ，
而半径为 ，二者不一定相等，故③不正确．
对于④，在圆 方程令 ，可得 ，
或 ，即 ， ， ， ，
由圆 方程知 ， ， ，
由基本不等式得 （当且仅当 ，即 时等号成立），
中，由余弦定理得 ，
， 的面积为 ，
， ，，即 ，故④正确．
故答案为： ②④．
16．(1)14400; (2)28; (3)56.
【解析】（1）首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有 ；
（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个
白球、3个黑球和3个白球；（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球
1个黑球、3个白球2个黑球、2个白球3个黑球.
【详解】（1）首先5个白球进行排列，然后3个黑球进行插空，则3个黑球两两不相邻的排法有
种；
（2）从中任取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类：1个黑球和5个白球、2个黑球和4个
白球、3个黑球和3个白球，共有 种；
（3）从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有4类：5个白球、4个白球1个黑球、3个白球2个黑球、
2个白球3个黑球，共有 种.
17．(1)列联表见解析，认为爱好运动与否与性别没有关系
(2)分布列见解析，
（1）先完善列联表，根据题干附注公式计算 ，对比附注表格的临界值，然后得出结论；
（2） 人中，女性 人，按照步骤写出分布列中的每一条概率值，然后得到期望.
【详解】（1）由30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是 ，故爱好运动的员工共有16人，
由表中男爱好运动的员工为10人，可得女爱好运动的员工有6人，
故列联表补充如下：
男性 女性 合计
爱好 10 6 16
不爱好 6 8 14
合计 16 14 30零假设为 ：爱好运动与否与性别没有关系.
由已知数据可求得：
，
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，即接受 ，即认为爱好运动与否与
性别没有关系；
（2） 的可能取值为 ，由于女性有 人，爱好活动的 人，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
的数学期望为：
.
18．(1)
(2)5
【详解】（1）当 时，可得 ，
当 时， ，
，
上述两式作差可得 ，因为 满足 ，所以 的通项公式为 .
（2）因为 ，
所以 ，
.
+ =5
所以数列 的前20项和为5.
19．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②2
【详解】（1）令 ，则 ，
，得 在 ， 上单调递减，
又 （1） ，故当 时， ，
因此，当 时， ；
（2）（2）①证明：要证 ， ， ，只要证 ，
只要证 ，即证 ，
令 ，由（1）有 ，即得 ，
因此， ；
②由 ， ， ， 恒成立，得 恒成立，即得 恒成立，
令 ，有 恒成立，
得 恒成立， 恒成立，
令 ，有 ，
又 （1） ，
当 （1） ，即 时，
方程 有一根 大于1，一根 小于1，
可得 在 ， 上单调递增，故有 （1） ，不符合；
当 时，有 ，
，从而 在 ， 上单调递减，
故当 时，恒有 （1） ，符合．
综上所述，正实数 的取值范围为 ，
