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2025 年 1 月“八省联考”考前猜想卷 02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知复数 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
4．已知集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ， ，则球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的图象向左平移 后所得的函数为奇函数，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 在 轴上的投影为点 ，则 的
学科网（北京）股份有限公司最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知定义域为 的函数 为偶函数，且 在区间 上单调递减，则下列选项正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的
提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测
数据，则（ ）
A．2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长
B．2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元
C．逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大
D．2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合
10．已知 中，角 所对的边分别为 的面积记为 ，若 ，则（ ）
A．
B． 的外接圆周长为C． 的最大值为
D．若 为线段 的中点，且 ，则
11．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲
学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而
今我们称 为正数a，b的算术平均数， 为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式
叫做基本不等式.已知实数a，b满足 ， ，a+b=2，则下列结论正确的
有（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值为3
C． 的最大值为3 D． 的最小值是2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ．
13．若动直线 ，圆 ，则直线 与圆 相交的最短弦长为
．
14．已知函数 ，若 对 恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的
视力具有不可替代的重要作用．某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了“爱眼
护眼”有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为 两组，规定每名学生从 两组题目中各随机
抽取2道题作答．已知该班学生甲答对 组题的概率均为 ，答对 组题的概率均为 ．假设学生甲
每道题是否答对相互独立．
学科网（北京）股份有限公司(1)求学生甲恰好答对3道题的概率；
(2)设学生甲共答对了 道题，求 的分布列及数学期望．
16．（15分）如图，在三棱柱 中， 平面 ， 是等边三角形，且D为棱AB的
中点．
(1)证明： 平面 ．
(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
17．（15分）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)若关于 的方程 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 ，求证： ．
18．（17分）已知动圆M经过定点 ，且与圆 内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线
于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为 ， .
（i）求证： 为定值；
（ii）设直线 ，证明：直线PQ过定点.19．（17分）已知数列 的前 项积为 ．定义：若存在 ，使得对任意的 ， 恒
成立，则称数列 为“ 数列”．
(1)若 ，且 为“2数列”，求 ．
(2)若 ，且 为“ 数列”， 的前 项的平方和为 ，数列 是各项均为正数的等比数
列，满足 ，求 的值和 的通项公式．
(3)若 ， ，且 为“ 数列”， 的前 项和为 ，证明： ．
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