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2025 年 1 月“八省联考”考前猜想卷
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D B C A D D C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ACD BD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．-1
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分【答案】(1)证明见解析;(2) 或
【解析】（1）点 在边 上，且满足 ,
所以 ，……………………………………………………3分
，……………………………………………………………4分
故 ，即 ；……………………………………………………………6分
（2）由图可知 ，
……………7分
可得 ，解得 或 ，……………9分
试卷第1页，共5页
学科网（北京）股份有限公司1°当 时， ， ；…………………11分
2°当 时， ， ；……………12分
综上所述 或 .……………………………………………………………13分
16．【答案】(1)0.025，4000人;(2)众数为85.0，平均数80.7;(3)212500
【解析】（1）有频率分布直方图知
即 ，解得 ……………………………………………………2分
设总共调查了 人，则 ，
解得 ，即调查的总人数为4000人；……………………………………………5分
（2）最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为 ，……………7分
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，
所以设平均数为 ，
则 ……………11分
（3）由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为 ……………13分
所以估计该市居民评分在85分以上的人数为: ……………15分
17．【答案】(1) (2)
【解析】（1） ，
试卷第2页，共5页离心率为 .…………………………………………………………5分
（2）由（1）可知椭圆的方程为 ，
易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，…………………………………6分
联立 得 ，………………………………8分
由 ，①………………………9分
， ，…………………………………………………11分
由 可得 ，②…………………………………………………12分
由 可得 ，③…………………………………………………13分
联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．………15分
18．【答案】(1)见解析;(2)
【解析】（1）由四边形 是直角梯形， ， ， ，
可得 ， ，从而 是等边三角形， ， 平分 ．
为 的中点， ， ，…………………………………3分
又 ， ， 平面 ， 平面 ………………4分
平面 ，……………………………………………………………………5分
平面 ，所以平面 平面 .…………………………………6分
（2）在平面 内作 于 ，连接 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ．
因为平面 平面 ， 平面 ， 平面
试卷第3页，共5页
学科网（北京）股份有限公司为 与平面 所成的角，则 ，
由题意得
， ， 为 的中点， ．…………………………8分
以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，……………………………9分
假设在侧面 内存在点 ，使得 平面 成立，
设 ，
由题意得 ，……………………………………………10分
， ， ，
由 ，得 ，……………………………………11分
解得 ，满足题意， ， ，……………12分
取 ， ， ，
， ，
，…………………………………………………………15分
试卷第4页，共5页求出点N到直线PD的距离为： .…………………………16分
所以N点直线PD的距离为 .…………………………………………………………17分
19．【答案】(1) ;(2)1;(3)零点个数为2，证明见解析
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，………………1分
所以 ，………………………………………………3分
.………………………………………………………………5分
（2）由 ， ，则 ，………………………6分
，令 ，则 ，故 ，…………7分
设 ，则 ，……………8分
在 时 ， 递减，所以 ， 最大值为1.……………10分
（3）因为 ， ，则 .
①当 时，因为 ，
所以 在 上单调递减.所以 .
试卷第5页，共5页
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上无零点.……………………………………………………………12分
②当 时，因为 单调递增，且 ， ，
所以存在 ，使 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 .
所以 .设 ， ，
， ,……………………………………………14分
所以φ(x)在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
所以 ，所以 .
所以 在 上存在一个零点.
所以 在 有2个零点.……………………………………………………………16分
综上所述， 在 上的零点个数为2…………………………………………17分
试卷第6页，共5页
