文档内容
2025 届高三年级期初阳光调研试卷
数学
2024.9
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填
空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120
分钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡
的规定位置.
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用
0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若i是虚数单位，则
A. B. C. D.
2.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
3.将函数 的图象先向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变
为原来的 ，得到函数 的图象，则
A. B.1 C. D.－1
4.已知向量 ， ，则“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.“绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某
校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成
绩不小于80分的人数的说法正确的是
A.至少为300人 B.至少为200人 C.至多为300人 D.至多为200人
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司6.已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7.已知函数 （e为自然对数的底数）， 的零点分别为 ， ，
则 的最大值为
A.e B. C.1 D.
8.在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线 右支上两点，若 ，则AB中点横坐标的
最小值为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知二项式 的展开式，则
A.二项式系数最大的项为第3项 B.常数项为第5项
C.展开式中含 的项为 D.展开式中所有项的系数和为64
10.如图，已知直线 ，A是 ， 之间的一定点，A到 的距离 ，A到 的距离 .B，C
分别在 ， 上，设 ，则
A.若 ，AB⊥AC，则AB=2 B.若AB⊥AC，则△ABC面积的最小值为2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C.若△ABC为等边三角形，则 D.若∠BAC=60°，则 的最大值为1
11.若数列 满足： ，对 ， 有 成立.则
A.
B. ，使得
C.对 ，都有
D.对 ，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=30°， ，c=2，则a=________.
13.已知直线 （其中k为常数），圆 ，直线l与圆O相交于A，B两
点，则AB长度最小值为________.
14.如图，线段AD，BC相交于O，且AB，AD，BC，CD长度构成集合 ，∠ABO=∠DCO=90°，
则x的取值个数为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以
及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志
愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场
举行.
（1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500
米服务的概率；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加
5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务
的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望.
16.（15分）
如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，
E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD.
（1）求证：AD⊥平面BEF；
（2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值.
17.（15分）
已知函数 ，e为自然对数的底数，函数 .
（1）若 在 处的切线也是 的切线，求实数a的值；
（2）求 在 上的零点个数.
18.（17分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率为 ，A为椭圆左顶点，已知点
，且直线PA的斜率为 .过点 作直线l交椭圆于B，C两点（B在x轴上方，C在x轴下
方），设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E分别在线段PD，PC上）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当 时，若l的斜率小于零，且△PBC的面积为 ，求证：∠BMD=∠DPC；
（3）若存在实数 ，使得 ，求此时直线DC的斜率.
19.（17分）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司如果数列 满足 ，则称之为凸数列.
现给定函数 及凸数列 ，它们满足以下两个条件：
① ；
②对 ，有 （ 为正常数）.
（1）若数列 满足 ， ，且数列 满足 ，请判断 是否为凸
数列，并说明理由；
（2）若 ，求证： ；
（3）对任何大于等于2的正整数i，j且 ，求证： .
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