2006年辽宁高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_辽宁

2006 年辽宁高考理科数学真题及答案
第I卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B） S 4R2
如果事件A、B相互独立，那么 球的体积公式
P（A·B）=P（A）·P（B） 4
V  R3
如果事件A在一次试验中发生的概率P，那 球 3
么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其 中 R 表 示球的半径
P (k)CkPk(1P)nk
n n
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择
一个符合题目要求的选项.
（1）设集合A={1,2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）8
（2）设 f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是
（A） f(x) f(x)是奇函数 （B） f(x)| f(x)| 是奇函数
（C） f(x)－ f(x)是偶函数 （D） f(x)+ f(x)是偶函数
（3）给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线l ,l 与同一平面所成的角相等，则l ,l 互相平行.
1 2 1 2
④若直线l ,l 是异面直线，则与l ,l 都相交的两条直线是异面直线.
1 2 1 2
其中假命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（4）双曲线x2  y2  4的两条渐近线与直线x 3围成一个三角形区域，表示该区域的不
等式组是
x y 0 x y 0 x y 0 x y 0
   
（A）x y 0 （B）x y 0 （C）x y 0 （D）x y 3
   
0 x 3 0 x 3 0 x 3 0 x 3
   
（5）设○+ 是R上的一个运算，A是R的非空子集. 若对任意a,bA,有abA，则称
A对运算○+ 封闭. 下列数集对加法、减法、乘法和法（除数不等于零）四则运算都封闭的是
第1页 | 共15页（A）自然数集 （B）整数集 （C）有理数集 （D）无理数集
（6）△ABC的三内角A，B，C，所对边的长分别为a,b,c，设向量p(ac,b)、q=(ba,ca).
若p∥q，，则角C的大小为
   2
（A） （B） （C） （D）
6 3 2 3
（7）与方程y e2x 2ex 1 (x 0)的曲线关于直线y  x对称的曲线的方程为
（A）y ln(1 x) （B）y ln(1 x)
（C）y  ln(1 x) （D）y  ln(1 x)
x2 y2 x2 y2
（8）曲线  1(m6)与曲线  1(5 n9)的
10m 6m 5n 9n
（A）焦距相等 （B）离心率相等 （C）焦点相同 （D）准线相同
（9）在等比数列{a }中，a  2,前n项和为S ，若数列{a 1}也是等比数列，则S 等
n 1 n n n
于
（A）2n1 2 （B）3n （C）2n （D）3n 1
（10）直线y  2k与曲线9k2x2  y2 18k2 | x|(kR,且k  0)的公共点的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
1 1
（11）已知函数 f(x)  (sinxcosx) |sinxcosx|,则 f(x)的值域是
2 2
2 2 2
（A）[－1，1] （B）[ ,1] （C）[1, ] （D）[1, ]
2 2 2
（12）设O（0，0），A（1，0），B（0，1），点P是线段AB上的一个动点，AP AB.
若OPAB  PAPB，则实数的取值范围是
1 2
（A） 1 （B）1 1
2 2
1 2 2 2
（C） 1 （D）1 1
2 2 2 2
第II卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
ex,x 0, 1
（13）设g(x)   则g(g( ))  .
lnx,x 0, 2
第2页 | 共15页4 6 4 6 4 6
(  )(  ) (  )

5 7 52 72 5n 7n
（14）lim = .
n 5 4 5 4 5 4
(  )(  ) (  )

6 5 62 52 6n 5n
（15）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号
参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新
队员的排法有 种.（以数作答）
（16）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则cos= .
三．解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知函数 f(x) sin2 x2sinxcosx3cos2 x,xR.求：
（Ⅰ）求函数 f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（Ⅱ）函数 f(x)的单调增区间.
（18）（本小题满分12分）
已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记
二面角A—DE—C的大小为(0).
（Ⅰ）证明BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证
明你的结论，并求角的余弦值.
（19）（本小题满分12分）
现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后剩是1.2万元、1.18万元、1.17
1 1 1
万元的概率分别为 、 、 ；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，
6 2 3
价格下降的概率都是 p(0 p 1)，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙
项目产品价格在一年内的下降次数为ξ对乙项目每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相
应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元. 随机变量ξ，ξ 分别表示对甲、乙两项目各投
1 2
资十万元一年后的利润.
（Ⅰ）求ξ，ξ 的概率分布和数学期望Eξ，Eξ；
1 2 1 2
（Ⅱ）当Eξ<Eξ 时，求p的取值范围.
1 2
（20）（本小题满分14分）
已知点 A(x ,y ),B(x ,y )(x x  0)是抛物线 y2  2px(p 0)上的两个动点，O
1 1 2 2 1 2
第3页 | 共15页是坐标原点，向量OA,OB满足|OAOB||OAOB|. 设圆 C的方程为 x2  y2 (x  x2)x
1
(y  y )y 0.
1 2
（Ⅰ）证明线段AB是圆C的直径；
2 5
（Ⅱ）当圆C的圆心到直线x2y 0的距离的最小值为 时，求 p的值.
5
（21）（本小题满分12分）
已 知 函 数
1
f(x) ax3 bx2 cxd,其中a,b,c是以d为公差的等差数列,且a 0,d 0.
3
2b
设 x 为f(x)的极小值点. 在[1 ,0]上， f (x)在x 处取得最大值，在 x 取得最小
0 m 1 2
值. 将(x , f(x )),(x , f (x )),(x , f (x ))依次记为A,B,C.
0 0 1 1 2 2
（Ⅰ）求x 的值；
0
（Ⅱ）若△ABC有一条边平行于x轴，且面积为2+ 3，求a,d 的值.
（22）（本小题满分2分）
f  (x)
已知 f (x)  xn, f (x)  n1 ,其中k  n(n,kN ). 设
0 1 f (1) 
n1
F(x) C0 f (x2)C1 f (x2) Cm f (x2) Cn f (x2),x[1,1].
n 0 n 1  n m  n n
（Ⅰ）写出 f (1)；
1
（Ⅱ）证明：对任意的x ,x [1,1]，情有|F(x )F(x )| 2n1(n2)n1.
1 2 1 2
2006年辽宁高考理科数学真题参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
（1）C （2）D （3）D （4）A （5）C （6）B
（7）A （8）A （9）C （10）D （11）C （12）B
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
1 6
（13） （14）－1 （15）48 （16）
2 3
三、解答题
第4页 | 共15页（17）本小题考查三角公式、三角函数的性制裁及已知三角函数值求角等基础知识，考查综
合运用三角函数有关知识的能力. 满分12分
1cos2x 3(1cos2x)
（I）解法一： f(x)  sin2x

2 2
 2sin2xcos2x

 2 2sin(2x ). ……
4
4分
  
当2x  2k ,即x  k (kZ)时, f(x)取得最大值2 2.
4 2 8

因此， f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x| x  k ,kZ}. ……8分
8
解法二： f(x) (sin2 xcos2 x)2sin2x2cos2 x

1sin2x1cos2x

=2 2sin(2x ). ……4分
4
  
当2x 2k ,即x k (kZ)时, f(x)取得最大值2 2.
4 2 8

因此， f(x)取得最大值的自变量x的集合是{x| x  k ,kZ}. ……8分
8

（II）解： f(x)  2 2sin(2x ).
4
  
由题意得2k  2x  2k (kZ),即
2 4 2
3 
k  x  k (kZ).
8 8
3 
因此， f(x)的单调增区间是[k ,k ]. …………12分
8 8
（18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维
能力.
满分12分.
（I）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点.
∴ED∥FD，且EB=FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴EF∥ED.
∵BD平面AED，而BF平面AED.
∴BF∥平面AED. …………4分
（II）解法一：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过点A用AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD.
∵△ACD为正三角形.
∴AC=AD，
∴GC=GD，
∴G在CD的垂直平分线上，
第5页 | 共15页又∵EF是CD的垂直平分线，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上. …………4分
过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE.
∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.
设除正方形ABCD的边长为2a，连结AF.
在折后图的△AEF中，AF= 3 a，EF=2AE=2 a，
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF，
3
∴AC= a.
2
在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
2a a GH 1
∴AH= ，∴GH  ∴cos  . ………12分
5 2 5 AH 4
解法二：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
连结AF，在平面AEF内过点A作AG⊥EF，垂足为G′
∵△ACD为正三角形，F为CD的中点，
∴AD⊥CD.
又∵EF⊥CD，
∴CD⊥平面AEF，
∵A G′平面AEF，
∴CD⊥A G′，
又∵A G′⊥EF，且CD∩EF=F，CD平面BCDE，EF平面BCDE，
∴AC⊥平面BCDE，
∴G为A在平面BCDE内的射影G，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过G作CH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE …………8分
∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.
设原正方形ABCD的边长为2a.
在折后图的△AEF中，AF= 3a，EF=2AE=2a，
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF
3
∴AC= a.
2
在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
2a a GH 1
∴AH= ，∴GH  ∴cos  . ………12分
5 2 5 AH 4
解法三：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.
连结AF，在平面AEF内过点A作AG⊥EF，垂足为G′
∵△ACD为正三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
第6页 | 共15页又∵EF⊥CD，
∴CD⊥平面AEF，
∵CD平面BCDE，
∴平面AEF⊥平面BCDE.
又∵平面AEF∩平面BCDE=DEF，A G′⊥EF.
∴A G′⊥平面BCDE，即G′为A在平面BCDE内的射影G，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.……………………8分
过G作GH⊥DE，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE，
∴∠AHG是二面角A—DE—C的平面角，即∠AHG=θ.
∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF
3
∴AC= a.
2
在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE，
2a a GH 1
∴AH= ，∴GH  ∴cos  . ………12分
5 2 5 AH 4
（19）本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识，考查学生运用概率知识解
决实际问题的能力.满分12分.
（I）解法一：ξ 的概率分布为
1
ξ 1.2 1.18 1.17
1
1 1 1
P
6 2 3
1 1 1
Eξ=1.2× +1.18× +1.17×
1
6 2 3
=1.18. …………3分
由题设得B(2, p)，即ξ的概率分布为
ξ 1.3 1.25 0.2
2
P (1 p)2 2p(1 p) p2 …………6分
所以ξ 的数学
2
Eξ=1.3×(1 p)2+1.25×2p(1 p)+0.2× p2
2
=1.3－(12p p2)+2.5×(p p2)+0.2× p2
=－ p2－0.1p+1.3. …………9分
解法二：ξ 的概率分布为
1
ξ 1.2 1.18 1.17
1
1 1 1
P
6 2 3
1 1 1
Eξ=1.2× +1.18× +1.17×
1
6 2 3
=1.18. …………3分
设A表示事件“第i次调整，价格下降”（i=1,2），则
i
第7页 | 共15页P(0) P(A )P(A )(1 p)2.
1 2
P(1) P(A )P(A )P(A )P(A )
1 2 1 2
2p(1 p).
P(3) P(A )P(A ) p2.
1 2
故ξ 的概率分布为
2
ξ 1.3 1.25 0.2
2
P (1 p)2 2p(1 p) p2 …………6分
所以ξ 的数学
2
Eξ=1.3×(1 p)2+1.25×2p(1 p)+0.2× p2
2
=1.3－(12p p2)+2.5×(p p2)+0.2× p2
=－ p2－0.1p+1.3. …………9分
（II）解：由E  E ，得 p2 0.1p1.31.18，
1 2
整理得(p0.4)(p0.3)0，
解得0.4 p 0.3.
因为0 p 1,所以，当E  E 时，p的取值范围是0 p 0.3.…………12
1 2
分
（20）本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知
识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力，满分14分.
（I）证法一： |OAOB||OAOB|,

(OAOB)2 (OAOB)2,即
2 2 2 2
OA 2OAOBOB OA 2OAOBOB ,整理得
OAOB 0.
x x  y y 0. ① ……3分
1 2 1 2
设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
MAMB 0.
即(xx )(xx )(y y )(y y ) 0.
1 2 1 2
展开上式并将①代入得x2  y2 (x  x )x(y  y ) 0.
1 2 1 2
故线段AB是圆C的直径.
证法二： |OAOB||OAOB|,

第8页 | 共15页(OAOB)2 (OAOB)2,即
2 2 2 2
OA 2OAOBOB OA 2OAOBOB ,整理得
OAOB 0.
x x  y y 0. ① ……3分
1 2 1 2
若直线（x，y）在以线AB为直径的圆上，则
y y y y
1  2  1(x  x ,x  x )
xx xx 1 2
1 2
去分母得(xx )(xx )(y y )(y y ) 0,
1 2 1 2
点(x ,y ),(x ,y ),(x ,y ),(x ,y )满足上方程，展开并将①代入得
1 1 1 2 2 1 2 2
x2  y2 (x  x )x(y  y )y 0，
1 2 1 2
所以线AB是圆C的直径.……6分
证法三： |OAOB||OAOB|,

(OAOB)2 (OAOB)2,即
2 2 2 2
OA 2OAOBOB OA 2OAOBOB ,整理得
x x  y y 0. ① ……3分
1 2 1 2
以AB为直径的圆的方程是
x x y  y 1
(x 1 2)2 (y 1 2)2  [(x x )(y  y )2] ，
2 2 4 1 2 1 2
展开，并将①代入得x2  y2 (x  x )x(y  y )y 0.
1 2 1 2
所以线段AB是圆C的直径………………6分
（II）解法一：设圆C的圆心为C（x，y），则
 x  x
x  1 2 ,

 2

y  y
 y  1 2 .

 2
y2  2px ,y2  2px (p 0),
 1 1 2 2
y2y2
x x  1 2 ,
1 2 4p2
又 x x  y y 0,
 1 2 1 2
x x  y y ,
1 2 1 2
第9页 | 共15页y2y2
y y  1 2 x x  0, y y  4p2.
1 2 4p2  1 2 1 2
x  x 1
y  1 2  (y2  y2)
2 4p 1 2
1 y y 1
 (y2  y2 2y y ) 1 2  (y2 2p2),
4p 1 2 1 2 2p p
所以圆心的轨迹方程为：y2  px2p2. ………………11分
设圆心C到直线x2y 0的距离为d，则
1
| (y2 2p2 2y|
| x2y| p |(y p)2  p2 |
d   
5 5 5p
p p 2 5
当y  p时,d有最小值 ，由题设得  ，p  2.……14分
5 5 5
解法二：设圆C的圆心为C（x，y），则
 x  x
x  1 2 ,

 2

y  y
 y  1 2 .

 2
y2  2px ,y2  2px (p 0),
 1 1 2 2
y2y2
x x  1 2 ,
1 2 4p2
又 x x  y y 0,
 1 2 1 2
x x  y y ,
1 2 1 2
x x  0, y y  4p2. ………………9分
 1 2 1 2
x  x 1
x  1 2  (y2  y2)
 2 4p 1 2
1 y y 1
 (y2  y2 2y y ) 1 2  (y2 2p2),
4p 1 2 1 2 2p p
所以圆心的轨迹方程为：y2  px2p2. ………………11分
2 5
设直线x2y20与x2y 0的距离为 ，则
5
第10页 | 共15页m  2.
因为x2y2 0与y2  px2p2的公共点.
所以当x2y2 0与y2  px2p2仅有一个公共点时，
2 5
该点到x2y 0的距离最小，最小值为 ，
5
x2y20,
 ②
y2  px2p2. ③
将②代入③得
y2 2py2p2 2p 0,有
  4p2 4(2p2 2p) 0.
p 0, p  2. ………………14分

解法三：设圆C的圆心为C（x，y），则
 x x
x 1 2 ,

 2

y  y
y 1 2.
 2
若圆心C到直线x2y 0的距离为d，那
x x
| 1 2 (y  y )|
2 1 2
d 
5
y2  2px ,y2  2px (p 0)
 1 1 1 2
y2y2
x x  1 2 又 x x  y y  0, x x  y y ,
1 2 4p2  1 2 1 2 1 2 1 2
x x  0,y y  4p2.……………………9分
 1 2 1 2
x  x 1
y  1 2  (y2  y2)
2 4p 1 2
1 y y 1
 (y2  y2 2y y ) 1 2  (y2 2p2),
4p 1 2 1 2 2p p
第11页 | 共15页1
| (y2  y2)4p(y  y )|
4p2 1 2 1 2
d 
5
| y2  y2 2y y 4p(y  y )8p2 |
 1 2 1 2 1 2
4 5p
(y  y 2p)2 4p2
 1 2 .
4 5p
p p 2 5
当y  y  2p时,d有最小值 ，由题设得  ，p  2.……14
1 2 5 5 5
分
（21）本小题考查函数的导数，函数，函数极值的判定，闭区间上二次函数的最值，等差数
列等基础知识的综合运用，考查用数形结合的数学思想分析问题，解决问题的能力.
满分12分.
（I）解： 2b  ac

 f (x)  ax2 2bxc  ax2 (ac)xc (x1)(axc).
c
令 f (x) 0,得x 1或x   . …………2分
n a
c c
a 0,d 0. 0 a bc,  1,  1.

a a
c
当  x  1时, f (x)0,
a
当x  1时, f (x) 0,
所以 f(x)在x=－1处取极小值，即x  1. ………………6分
0
（II）解法一： f (x)  ax2 2bxc,a 0,

b
 f (x)的图象开口向上，对称轴方程是x   ，
a
b 2b b b
1，知|(1 )( )||0( )|，
a a a a
2b
 f (x)在[1－ ，0]上的最大值为 f (0) c，即x 0，
a 1
b b b
又由 1，知 [1 ,0]，
a a a
b b d2
当x   时, f (x)取得最小值f ( )   ，即
a a a
b 1
x   ， f(x )  f(1)   a，
2 a  0 3
第12页 | 共15页1 b d2
A(1, a),B(0,c),c( , ).……………………9分
3 a a
由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以
1 d2
 a   ，即 a2 3d2. ①
3 a
又由△ABC的面积为2 3 ，得
1 b a
(1, )(c )  2 3，
2 a 3
2 d2
利用b  ad,c  a2d ，得 d   2 3. ②
3 a
联立①，②可得d 3,a 3 3. ……………………12分
解法二： f (x)  ax2 2bxc,a 0.

2b
 f (1 ) 0, f 0) c.
a
2b
由c 0知f (x)在[1 ,0)上的最大值为 f (0) c. 即x 0
a 1
b b b
由 1，知 [1 ,0]，
a a a
b b d2
当x   时, f (x)取得最小值f ( )   ，即
a a a
b 1
x   ， f(x )  f(1)   a，
2 a  0 3
1 b d2
A(1, a),B(0,c),c( , ).……………………9分
3 a a
由△ABC有一条边平行于x轴，得AC平行于x轴，所以
1 d2
 a   ，即 a2 3d2. ①
3 a
又由△ABC的面积为2 3 ，得
1 b a
(1, )(c )  2 3，
2 a 3
2 d2
利用b  ad,c  a2d ，得 d   2 3. ②
3 a
联立①，②可得d 3,a 3 3. ……………………12分
第13页 | 共15页（22）本小题主要考查导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知
识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.
（I）解：由已知推得 f (x) (nk 1)xn1，从而有
1
f (1)  nk 1. …………3分
1
（II）证法一：当1 x 1时，
F(x) x2n nC1x2(n1) (n1)C2x2(n2)  (nk1)Ckx2(nk)  2Cn1x2 1,
n n  n  n
当x 0时,F(x) 0,所以,F(x)在[1,1],恒有
| F(x )F(x )| F(1)F(0),………………………………7分
1 2
F(1)F(0) C0 nC1 (n1)C2  (nk 1)C1  2Ck1
n n n  n  n
 nCn1 (n1)Cn2  (nk 1)Cn1  2C1 2C
n n  n  n
(nk 1)Cnk (nk)Cnk Cn1
 n n n
n!
=(nk) Ck
(nk)!k! n
(n1)!
=n Ck
(n1k)!k! n
 nCk Ck (k 1,2, n1),………………10分
n1 n 
F(1)F(0)  n(C1 C2  Cn1)(C1 C2  Cn1)C0
n1 n1  n1 n n  n n
 n(2n1 1)2n 1
 2n1(n2)n1.…………………………12分
因此结论成立.
证明法二：当1 x 1时，
F(x) x2n nC1x2(n1) (n1)C2x2(n2)  (nk1)Ckx2(nk)  2Cn1x2 1,
n n  n  n
当x 0时,F(x) 0,所以,F(x)在[0,1]是增函数.
又F(x)是偶函数，所以F(x)在[－1，0]上是减函数
所以对于任意的x ,x 在[－1,1]，恒有
1 2
| F(x )F(x )| F(1)F(0),………………………………7分
1 2
F(1)F(0) C0 nC1 (n1)C2  (nk 1)C1  2Cm1
n n n  n  n
又 F(1)F(0)  2C1 3C2  nCn1 C0
 n n  n n
2(F(1)F(0)) (n2)(C1 C2  Cn1)2.………………10分
n n  n
1
F(1)F(0)  2 (n2)(C1 C2  Cn1)1
n n  n
2n 2
(n2) 1
2
 2n1(n2)n1.…………………………12分
因此结论成立.
证法三：当1 x 1时，
第14页 | 共15页F(x) x2n nC1x2(n1) (n1)C2x2(n2)  (nk1)Ckx2(nk)  2Cn1x2 1,
n n  n  n
当x 0时,F(x) 0,所以,F(x)在[0,1]上是增函数.
又F(x)是偶函数，所以F(x)在[－1，0]上是减函数
所以对于任意的x ,x 在[－1,1]，恒有
1 2
| F(x )F(x )| F(1)F(0),………………………………7分
1 2
Ck f (x2) (nk 1)Ckx2(xk)
n n n
(nk)Cnkx2(nk) Cnkx2(nk)
n n
n!
由(nk)Cnk (nk)  n (n1)! nCn1k，得
n (nk)!k! (n1k)!k! nk
F(x)  x2n[Cn2x2(n2) Cn3x2(n1)  C2 ] x2n Cn3x2(n1)  C0
n1 n1  n1 n1  n
 nx2[(1x2)n1 x2(n1)](1 x2)n. ………………10分
F(1)F(0)  n(2n1 1)2n 1  2n1(n2)n1.…………………12分
因此结论成立.
证法四：当1 x 1时，
F(x) x2n nC1x2(n1) (n1)C2x2(n2)  (nk1)Ckx2(nk)  2Cn1x2 1,
n n  n  n
当x 0时,F(x) 0,所以,F(x)在[0,1]上是增函数.
又F(x)是偶函数，所以F(x)在[－1，0]上是减函数
所以对于任意的x ,x 在[－1,1]，恒有
1 2
| F(x )F(x )| F(1)F(0),………………………………7分
1 2
x[(1x)n xn] x[C1xn1C2xn2  C1xn1 Cn2x2 Cn1x1].
 n n  n  n n
=C1xn C2xn1  Ckxnk1  Cn2x3 Cn1x2  x
n n  n  n n
对上式两边求导，得
[(1x)n xn]x[n(1x)n1nxn1]
nC2xn1(n1)C2xn2  (nk1)C1xnk  3Cn2xn 2Cn1x1,
n n  n  n n
(1x)n x[n(1x)n1 nxn1]
 xn nC1xn (n1)C2xn2  (nk1)C1xnk  3Cn2xn 2Cn1x1,
n n  n  n n
F(x) (1 x2)n  x2[n(1 x2)n1 nx2(n1)].………………………10分
F(1)F(0)  2n1(n2)n1.…………………12分
因此结论成立.
第15页 | 共15页