2006年重庆高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_重庆

2006 年重庆高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是
符合题目要求的。
（1）已知集合U   1,2,3,4,5,6,7  ,A  2,4,5,7  ,B   3,4,5  ，则 ð A(ð B)＝（ ）
U U
     
（A） 1,6 （B） 4,5 （C） 2,3,4,5,7 （D）{1,2,3,6,7}
   
（2）在等差数列 a 中，若a a 12，S 是数列的 a 的前n项和，则S 的值为（ ）
n 4 6 n n 9
（A）48 (B)54 (C)60 （D）66
5
（3）过坐标原点且与圆x2  y2 4x2y 0相切的直线方程为（ ）
2
1 1
（A）y  3x或y  x （B）y 3x或y   x
3 3
1 1
（C）y  3x或y   x （D）y 3x或y  x
3 3
（4）对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线
n
 1 
（5）若3 x   的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
 
 x 
（A）－540 （B）－162 （C）162 （D）540
（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18
岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：
 
根据上图可得这100名学生中体重在 56.5,64.5 的学生人数是（ ）
（A）20 （B）30 （C）40 （D）50
 7 1  1 7
（7）与向量a  ,  ,b  , 的夹角相等，且模为1的向量是（ ）
2 2 2 2
第1页 | 共11页4 3 4 3  4 3 2 2 1
（ A ）  , （ B ）  , 或 , （ C ）  , （ D ）
 
5 5 5 5  5 5  3 3 
2 2 1  2 2 1
 , 或 , 
   
3 3 3 3
   
（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的
分配方案有（ ）
（A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种
（9）如图所示，单位圆中AB的长为x， f(x)表示弧 AB与弦AB所围成的弓形
面积的2倍，则函数y  f(x)的图像是（ ）
（10）若a,b,c0且a(abc)bc42 3,则2abc的最小值为（ ）
（A） 31 （B） 31 （C）2 32 （D）2 32
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上
12i
（11）复数 的值是 。
3i3
13 (2n1)

（12）lim  。
n 2n2 n1
3  3  12 
（13）已知,  ,  ,sin , sin( ) ，则cos( ) 。
 4  5 4 13 4
（14）在数列a 中，若a 1,a 2a 3(n1)，则该数列的通项a  。
n 1 n1 n n
（15）设a0,a1，函数 f(x)alg(x22x3)有最大值，则不等式log  x2 5x7  0的
a
解集为 。
（16）已知变量x,y满足约束条件1 x y4,2 x y2.若目标函数z ax y（其
中a 0）仅在点3,1处取得最大值，则a的取值范围为 。
三、解答题：三大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分）
第2页 | 共11页设函数 f(x) 3cos2xsinxcosx（其中0,R），且 f(x)的图象

在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为 。
6
（I）求的值。
  5
（II）如果 f(x)在区间  , 上的最小值为 3，求的值。
 
 3 6 
（18）（本小题满分13分）
某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠。若该电梯在底层
1
载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ，用表示这5位乘客在
3
第20层下电梯的人数，求：
（I）随机变量的分布列;
（II）随机变量的期望;
（19）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD ，DAB为直
角，AB//CD,ADCD2AB,E、F分别为PC、CD中点。
（I）试证：CD平面BEF;
（II）高PAkAB，且二面角 EBDC的平面角大小30，
求k的取值范围。
（20）（本小题满分13分）
已知函数 f(x)  x2 bxc  e2，其中b,cR为常数。
（I）若b2 4c1，讨论函数 f(x)的单调性；
f(x)c
（II）若b2 4(c1)，且lim 4，试证：6b2
x x
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为R的函数 f(x)满足 f  f(x)x2 x   f(x)x2 x.
（I）若 f(2)3，求 f(1);又若 f(0)a，求 f(a);
（II）设有且仅有一个实数x ，使得 f(x ) x ，求函数 f(x)的解析表达式
0 0 0
第3页 | 共11页（22）（本小题满分12分）
y2
已知一列椭圆c :x2  1,0b 1。n1,2……。若
n b2 n
n
椭圆C 上有一点 P ，使 P 到右准线l 的距离d 是p F 与
n n n n n n n
PG 的等差中项，其中F 、G 分别是C 的左、右焦点。
n n n n n
3
（I）试证：b  n1;
n 2
2n3
（II）取b  ，并用S 表示PFG 的面积，试
n n2 n n n n
证：S S 且S S n3
1 2 n n1
第4页 | 共11页2006年重庆高考理科数学真题参考答案
一、选择题：每小题5分，满分50分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C A C B B D D
（1）已知集合U   1,2,3,4,5,6,7  ,A  2,4,5,7  ,B   3,4,5  ，ð A={1，3，6}，ð B={1，
U U
2，6，7}，则 ð A(ð B)＝{1，2，3，6，7}，选D.
U U
   
（2）在等差数列 a 中，若a a 12，则a 6，S 是数列的 a 的前n项和，则
n 4 6 5 n n
9(a a )
S = 1 9 9a =54，选B.
9 2 5
5
（3）过坐标原点的直线为 y kx，与圆x2  y2 4x2y 0相切，则圆心(2，－1)
2
10 |2k1| 10 1
到直线方程的距离等于半径 ，则  ，解得k  »òk 3，∴ 切线方程
2 1k2 2 3
1
为y  3x或y  x，选A.
3
（4）对于任意的直线l与平面，若l在平面α内，则存在直线m⊥l；若l不在平面
α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l，若l不在平面α内，且l于α不
垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线m垂直于它的射影，则m
与l垂直，综上所述，选C.
n
 1 
（5）若3 x   的展开式中各项系数之和为2n=64，n6，则展开式的常数项
 
 x 
1
为C3(3 x)3( )3=－540，选A.
6
x
（6）为了了解某地区高三学生的身体发
育情况，抽查了该地区 100 名年龄为
17.5 岁－18 岁的男生体重（kg），得到
频率分布直方图如下：根据该图可知，组
距=2 ，得这 100 名学生中体重在
 
56.5,64.5 的学生人数所占的频率为
(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以
该段学生的人数是40，选C.
 7 1  1 7
（7）与向量a  ,  ,b  , 的夹角相等，且模为 1 的向量为(x，y)，则
2 2 2 2
第5页 | 共11页 4  4
 x2  y2 1 x x
 
  5  5
7 1 1 7 ，解得 或 ，选B.
x y  x y 3 3
  
y  y 
2 2 2 2
 5  5
（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将
C1C2
5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有 5 4 15种方法，再将3组分到3
A2
2
个班，共有15A3 90种不同的分配方案，选B.
3
（9）如图所示，单位圆中AB的长为x， f(x)表示弧 AB与弦AB所围成的弓形面积的2
倍，当AB的长小于半圆时，函数y  f(x)的值增加的越来越快，当AB的长大于半圆时，
函数y  f(x)的值增加的越来越慢，所以函数y  f(x)的图像是D.
（10）若 a,b,c0且 a(abc)bc42 3, 所以 a2 abacbc42 3，
1 1
42 3 a2 abacbc (4a2 4ab4ac2bc2bc)≤ (4a2 4ab4ac2bcb2 c2)
4 4
∴ (2 32)2≤(2abc)2，则(2abc)≥2 32，选D.
二、填空题：每小题4分，满分24分。
1 7 1 56
（11）  i （12） （13） （14）2n13
10 10 2 65
（15）2,3 （16）a 1
12i 12i (12i)(3i) 17i
（11）复数 =   。
3i3 3i 10 10
13 (2n1) n2 1

（12）lim  lim  。
n 2n2 n1 n2n2 n1 2
3  3  12 3
（13）已知,

,

,sin , sin( ) ，( ,2)，
 4  5 4 13 2
  3 4  5
 ( , )，∴ cos() ，cos( ) ，
4 2 4 5 4 13
 
则 cos( ) cos[()( )]=
4 4
 
cos()cos( )sin()sin( )
4 4
第6页 | 共11页4 5 3 12 56
= ( )( ) 
5 13 5 13 65
（14）在数列a 中，若a 1,a 2a 3(n1)，∴ a 32(a 3)(n1)，即
n 1 n1 n n1 n
{a 3}是以a 34为首项，2为公比的等比数列，a 342n1 2n1，所以该数列
n 1 n
的通项a  2n13.
n
（15）设a0,a1，函数 f(x)alg(x22x3)有最大值，∵lg(x2 2x3)≥lg2有最小值，
x2 5x70
∴ 0<a<1， 则不等式log  x2 5x7  0的解为 ，
a x2 5x71
解得2<x<3，所以不等式的解集为2,3.
（16）已知变量x,y满足约束条件1 x y4,2 x y2. 在坐
标系中画出可行域，如图为四边形 ABCD，其中 A(3，1)，
k 1,k 1，目标函数z ax y（其中a 0）中的z 表示
AD AB
斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点3,1处取得最大值，
则斜率应小于k 1，即a1，所以a的取值范围为(1，+∞)。
AB
三、解答题：满分76分
（17）（本小题13分）
3 1 3
解：（I）f(x) cos2x sin2x 
2 2 2
  3
sin 2x  
 
 3 2
  
依题意得 2   ,
6 3 2
1
解之得 .
2
第7页 | 共11页 3
（II)由（I）知,f(x)=si n(x+ ) 
3 2
  5   7
又当x  , 时，x  0, ,
   
 3 6  3  6 
1 
故 sin(x )1,
2 3
  5 1 3
从而f(x)在  , 上取得最小值  
 
 3 6  2 2
1 3 31
因此，由题 设知   3.故
2 2 2
（18）（本小题13分）
解：（1）的所有可能值为0，1，2，3，4，5。
由等可能性事件的概率公式得
25 32 C124 80
P(0)  . P(1) 5 .
35 243 35 243
C223 80 C322 40
P(2) 5  . P(3) 5 
35 243 35 243
C42 10 1 1
P(4) 5  P(5) 
35 243 35 243
从而，的分布列为
 0 1 2 3 4 5
32 80 80 40 10 1
P
243 243 243 243 243 243
（II）由（I）得的期望为
32 80 80 40 10 1
E0 1 2 3 4 5
243 243 243 243 243 243
405 5
 
243 3
（19）（本小题13分）
（I）证：由已知DF//AB且DAB为直角。故ABFD是矩形。从而CD BF 。

又PB底面ABCD，CD AD，故由三垂线定理知CD PD.D PDC中,E、F分别为

PC、CD的中点，故EF//PD,从而CD EF ，由此得CD面BEF。
（II）连接AC 交BF于 G，易知 G为AC 的中点，连接EG，则在 PAC中易知

EG//PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足
第8页 | 共11页为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而EHG为二面角E－BD－C的平面角。
1 1
设AB则在 PAC中，有EG  PA k

2 2
以 下 计 算 GH ， 考 虑 底 面 的 平 面 图 （ 如 答 （ 19 ） 图 2 ）。 连 结 GD ， 因
1 1
S  BDGH  GBDF
CBD 2 2
GBDF
故 GH ＝ . 在 ABD中，因ABa.AD2a.得BD 5a。 而

BD
1 1
GB FB ADa,
2 2
GBAB aa 5
DF  AB,从而得GH    a。 因 此 ，
BD 5a 5
1
ka
EG 5k
2
tanEHG    。由k 0知EHG是锐角。故要使 EHG 30，必须
GH 5a 2
5
5k 3 2 15
tan30  ，解之得，中的取值范围为k 
2 3 15
（20）（本小题13分）
解：（I）求导得f '(x)x2 (b2)xbce2
 
因b2 4c1.故方程f '(x)0即x2 (b2)xbc0有两根。
b2
b2 4c1
b2
b2 4c1
x    x  
1 2 2 2 2 2
令f '(x)0.解得x x或x x
1 2
又令f '(x)0.解得x  x x
1 2
故当x,x 时，f(x)是增函数;当xx ,时，f(x)也是增函数;
1 2
但当xx ,x 时，f(x)是减函数
1 2
（II)易知 f(0)c, f '(0)bc,因此
f(x)c f(x) f(0)
lim lim  f '(0)bc
x x x x
b+c=4
所以，由已知条件得  ,因此b2 4b120
b2 4(c1)
解得-6b2
（21）题（本小题12分）
第9页 | 共11页解：(I)因为对任意xR,有f(f(x)-x2x) f(x)x2 x
所以f(f(2)-222) f(2)22 2
又由f(2)=3,得f(3-222）322 2,即f(1)1
若f(0)=a,则f(a02 0)a02 0,即f(a)a
(II)因为对任意xR，有f(f(x)x2 x) f(x)x2 x.
又因为有且只有一个实数x，使得f(x ) x
0 0 0
所以对任意xR,有f(x)x2 x x
0
在上式中令x x，有f(x )x2 x  x
0 0 0 0 0
又因为f(x ) x，所以x x2 0，故x =0或x =1
0 0 0 0 0 0
若x =0，则f(x)x2 x0，即f(x) x2 x
0
但方程x2 x x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x 0
0
若x =1，则有f(x)x2 x1,即f(x) x2 x1.易验证该函数满足题设条件。
0
综上，所求函数为f(x) x2 x1 (xR)
（22）（本小题12分）
证：（I）由题设及椭圆的几何性质有2d PF PG 2，故d 4。设
n n n n n n
1 1 1
G  1b2 ，则右准线方程为l 2x .因此，由题意d 应满足 1d  1.
n n G n G n G
n n n
 1
 11 1 1 3
即G ,解之得： G 1。即  1b2 1.从而对任意n1.b 
n 2 n 2 n n 2

0G 1

n
（ II ） 高 点 P的 坐 标 为 x ,y ， 则 由 d 1及 椭 圆 方 程 易 知
n n n
1 1 1
x  1,y2 b2(1x2)(1G2)(1( 1)2)  (2G2 G2 2G 1).因
n G n n n n G G2 n n n
n n n
FG  2G ，故
n n n
1 
 P n F n G n 的面积为 S n G n y 4 ，从而 S n 2 2G n 3G n 32G n 1  2 G n 1   。令
1 13
f(c)2c3c2 2c1。由 f '(c)6c2 2c20.得两根 .从而易知函数
6
1 1 13 1 13 
f(c)在 , 内是增函数。而在 ,1内是减函数。
   
2 6 6
   
第10页 | 共11页2n3 n1 1
现在由题设取b  ,则C  1b2  1 ,C 是增数列。又易
n n2 n n n2 n2 n
知
3 1 13 4
C    C 。故由前已证，知S S ，且S S (n3)
2 4 6 5 3 1 2 n n1
第11页 | 共11页