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2024-2025 学年浙江省杭州市高二上学期 1 月期末考试
数学试卷（乙卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A= { y | y= 1 ,x≤1 } ， B={x|x2−2x−3<0} ，则 A∩B= ( )
2x
A. ( 1) B. C. [1 ) D. [1 )
−1, (−1,3) ,+∞ ,3
2 2 2
5
2.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是( )
2i−1
A. −1−2i B. −1+2i C. 1−2i D. 1+2i
3.已知b>0且b≠1，数列{a }各项均为正实数，设甲：{a }为等比数列；乙：{log a }为等差数列，则甲
n n b n
是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色．若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概
率是( )
3 3 1 1
A. B. C. D.
5 10 5 10
5.设椭圆x2 y2 与双曲线x2 y2 的离心率分别为 ， ，双曲线渐近线的斜率小于2√5，
+ =1(a>b>0) − =1 e e
a2 b2 a2 b2 1 2 5
则e 的取值范围是( )
1
e
2
A. ( 2√5) B. (2√5 ) C. ( 1) D. (1 )
0, ,1 0, ,1
5 5 3 3
6.已知函数 的定义域为 ， ，且 1，则 2025 ( )
f(x) R f(x+ y)+f(x−y)=2f(x)f(y) f(1)= ∑ f(k)=
2
k=1
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1 11 1
A. −1 B. − C. 1 D.
2 2
7.已知sin50°(1+λtan10°)=1，则λ=( )
A. 1 B. √2 C. √3 D. −√3
8.如图，曲线C这种造型被称为双纽线，在纺织中作为花纹得到广泛应用．已知曲线C上的点满足到点
F (−2,0)与到点F (2,0)的距离之积为4，则曲线C上点的纵坐标的最大值为 ( )
1 2
1
A. B. 1
2
C. √4√5−8 D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的求导运算正确的是( )
A. ( x+ 1) ′ =1+ 1 B. (tanx)′= 1
x x2 cos2x
C. [ln(2x)] ′ 1+ln(2x) D.
= [(3x+1) 2e−3x ]′=(3−27x2 )e−3x
x x2
n(n+1)(2n+1)
10.在数列{a }和{b }中，a =b =1，a −a =n+1，{b }的前n项和S = ，n∈N∗，
n n 1 1 n+1 n n n 6
则下列说法正确的有( )
A. B.
b =n2 a <2025
n 64
n
C. 是 与 的公共项 D. 1
36 {a } {b } ∑ <2
n n b −a
i=1 i+1 i+1
11.一条动直线l 与圆x2+ y2=1相切，并与圆x2+ y2=4相交于点A、B，点P为定直线l ：x+ y−4=0上
1 2
动点，则下列说法正确的是( )
A. 存在直线l ，使得以AB为直径的圆与l 相切
1 2
B. |PA|2+|PB|2的最小值为24−8√2
C. ⃗ ⃗ 的最大值为
4√2−6
AP⋅PB
D. |PA|+|PB|的最小值为2√6
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2 1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量⃗a=(1,−2,3)，则向量⃗a在坐标平面Oxy上的投影向量是 ．
13.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点D(−1,0)作斜率为k的直线在第一象限与C交于A、B两点，
且BF为∠AFD的平分线，则k的值为_________．
14.定义：已知一个点集Ω及一点P，任取点集Ω中一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到点集Ω的距离，
记作d(P,Ω).现已知空间中一点P，平面上一个长为2、宽为1的矩形及其内部的所有点构成点集Ω，则点
的集合{P|d(P,Ω)≤1}所表示几何体的体积为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ( π)．
△ABC A B C a b c asinB=bcos A−
6
(1)求A的大小；
2√3
(2)若c=2b，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
3
16.(本小题15分)
x
已知函数f(x)=ln +2x．
a−x
(1)若a=4，求y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)若y=f(x)的图象关于点(b,3)中心对称，求a，b的值．
17.(本小题15分)
如图，多面体ABCDEF是由一个四棱锥E−ABCD与一个三棱锥F−ADE拼接而成，底面ABCD是棱长
为2的菱形，∠BAD=60°，DE=CE=√10，BE=2√3，EF//AB．
(1)证明：平面EDC⊥平面ABCD；
1
(2)若EF= AB，求平面FAD与平面EBC所成角的余弦值．
2
18.(本小题17分)
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3 1已知椭圆 ：x2 y2 ，左顶点 ，离心率 √3， 为第一象限内椭圆上一点，过
Γ + =1(a>b>0) A(−2,0) e= B B
a2 b2 2
作椭圆的切线交直线x=−2于点P．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)过点A且平行于BP的直线与椭圆的另一个交点为C，直线AC交BO延长线于点M，记△PAC，
△MBC，△PMC的面积分别为S△PAC，S△MBC，S△PMC．
(ⅰ)证明：S△PAC=2S△MBC；
3√3
(ⅱ)当S = 时，求直线AC的方程．
▵PMC 4
19.(本小题17分)
已知数列{a }是斐波那契数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34,……}，这一数列以如下递推的方法定义：a =1，
n 1
， 数列 对于确定的正整数 ，若存在正整数 ，使得 成
a =1 a =a +a (n∈N❑∗). {b } k n bk+n=b +b
2 n+2 n+1 n n k n
立，则称数列{b }为“k阶可分拆数列”．
n
已知数列 满足 ，若对 ，数列 为“ 阶可分拆数列”，
(1) {c } c =ma +t(n∈N∗,m,t∈R) ∀m∈R {c } 1
n n n n
求出符合条件的实数t的值；
已知数列 满足 ，若 为“ 阶可分拆数列”，记正整数 的最小值为
(2) {d } d =3n+n+m(n,m∈N∗) {d } k m
n n n
n
，求 ；
f(k) ∑f(k)
k=1
若数列 满足 a ，其前 项和为 ，求证：当 且 时，
(3) {f } f = n(n∈N∗) n T n∈N∗ n≥3
n n 3n n
成立．
T 0，因此cosA>0，所以tanA= =√3，
cosA
π
所以A= ；
3
2√3 1 2√3 8
(2)由△ABC的面积为 ，得 bcsinA= ，解得bc= ，
3 2 3 3
2 4
又c=2b，则b= √3，c= √3，
3 3
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5 116 4 8
由余弦定理得a2=c2+b2−2bccosA= + − =4，解得a=2，b+c=2√3，
3 3 3
所以△ABC的周长为2√3+2．
x 1 1
16.解：(1)当a=4时，f(x)=ln +2x，f ′(x)= + +2，∴f ′(2)=3
4−x x 4−x
又f(2)=4，所以y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为3x−y−2=0．
b+x
(2)由题意可得，f(x+b)−3=ln +2x+2b−3为奇函数，
a−b−x
{ a=2b 3
则 ，得a=3，b= ．
2b−3=0 2
17.(1)证明：取CD中点O，连接EO，OB，∵DE=CE=√10，∴EO⊥CD，
在ΔEOB中，EO=3，OB=√3，EB=2√3，∴EO⊥OB，
OB∩CD=O，OB，CD⊂平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∵EO⊂平面EDC，
∴平面EDC⊥平面ABCD．
//1
(2)由题可得：EF = AB，∴FDOE是平行四边形，∴FD//EO，由(1)得FD⊥平面ABCD取BC中
2
点G，
连接DG，则∠ADG=90∘，分别以DA，DG，DF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
1 √3 ⃗ 1 √3
则：C(−1,√3,0)，E(− , ,3)，CE=( ,− ,3)，⃗CB=(2,0,0)，
2 2 2 2
{1 √3
设平面 的法向量 ，则 x− y+3z=0,得⃗ ，
EBC ⃗n 1 =(x,y,z) 2 2 n =(0,2√3,1)
1
2x=0
⃗ ⃗ 2√3 2√39
平面FAD的法向量⃗n
2
=(0,1,0)， ∴cos=
√13
=
13
2√39
所以平面FAD与平面EBC所成角的余弦值为 ．
13
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6 1c √3 x2
18.解：(1)由题意得a=2，离心率e= = ，b=√a2−c2=1，则椭圆r的标准方程为 + y2=1．
a 2 4
4m
(2)(i)设直线AC:x=my−2，代入到椭圆方程，化简得(m2+4)y2−4my=0，故y = ．
c m2+4
{x=my−2
2x 2y
设 B(x ,y )(x >0,y >0) ，联立直线 AC ， BO 的方程 y ,⇒M( 0 , 0 ) ，
0 0 0 0 y= 0 x m y −x m y −x
x 0 0 0 0
0
切线 x x ，又 ，则 4 y 故 2m ，
BP: 0 + y y=1 AC//BP m=− 0. y =
4 0 x M m2+4
0
所以：y =2y ，即M为线段AC中点.由AC//BP与中点M，则S =S =2S ⋅
C M △PAC △ABC △MBC
由中点 得 3 ，将 代入直线 x x ，可得 x +2
(ii) M S =2S = √3 x=−2 BP: 0 + y y=1 P(−2, 0 ).
△PAC △PCM 2 4 0 2y
0
1 x +2． m2 3√3，
S = |AP||x +2|= 0 = y (x +2)=
△PAC 2 c y m2+4 0 0 2
0
27
则y2 (x +2) 2= ，即(4−x2 )(x +2) 2=27，则(x −1) 2 (x2+6x +11)=0，x =1．
0 0 4 0 0 0 0 0 0
故m=−2√3，则AC:x+2√3 y+2=0．
19.解：(1)由题意得，存在正整数n，使c =c +c 对∀m∈R成立，即ma +t=ma +t+ma +t，
1+n 1 n 1+n 1 n
化简得ma =ma +ma +t，
n+1 n 1
所以当t=0时，存在正整数n=2，使ma =ma +ma 对∀m∈R成立，
3 2 1
1
当t≠0时，若取m=2t，则a =a +a + ，
n+1 n 1 2
， ， ， 等式不成立，
∵a a a ∈N∗ ∴
n+1 n 1
综上，t=0；
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7 1(2)由题意得：对于确定的正整数k，存在正整数n，3n+n+m+3k+k+m=3n+k+n+k+m，
即 ，
m=3n+k−3n−3k=(3n−1)(3k−1)−1
当n=1时，m最小，
n n
所以 ，则 ；
f(k)=2⋅3k−3 ∑f(k)=∑(2⋅3k−3)=3n+1−3n−3
k=1 k=1
证明： ， ，
(3) ∵a =a +a (n∈N∗)
n+2 n+1 n
可得当 时， ，
n≥2 a2=a (a −a )=a a −a a
n n n+1 n−1 n n+1 n n−1
∴a2+a2+a2+⋯⋯+a2=a2+(a a −a a )+(a a −a a )+(a a −a a )+⋯⋯+(a a −a a )
1 2 3 n 1 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3 n n+1 n n−1
，
=a2−a a +a a =a a
1 2 1 n n+1 n n+1
，
∴a2+a2+a2+⋯+a2−a a +1=1
1 2 3 n n n+1
a ，
∵f = n
n 3n
a a a a a ，
∴T = 1+ 2+ 3+⋯⋯+ n−1+ n①
n 31 32 33 3n−1 3n
1 a a a a a ，
T = 1+ 2+ 3+⋯⋯+ n−1+ n ②
3 n 32 33 34 3n 3n+1
①−②得：
2 a a −a a −a a −a a −a a 1 a a a a 1 1 a a a a 1 1 a
T = 1+ 2 1+ 3 2+ 4 3+⋯+ n n−1− n = + 1+ 2+⋯⋯+ n−2− n = + ( 1+ 2+⋯⋯+ n−2 )− n = + T − n
3 n 31 32 33 34 3n 3n+1 3 33 34 3n 3n+1 3 32 31 32 3n−2 3n+1 3 32 n−2 3n+1
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8 1， a ，
∵T 0
n−2 n 3n+1
2 1 1 a 1 1 ，
∴ T = + T − n < + T
3 n 3 32 n−2 3n+1 3 32 n
3
∴T < <1，即，当n∈N∗且n≥3时，T
