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2024-2025 学年浙江省杭州市高二上学期 1 月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−30) O F C
a2 b2
1
H，若△FOH的内切圆的半径r= b，则双曲线C的离心率为( )
4
5 4 5 3
A. B. C. D.
3 3 4 5
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1 1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知点A(1,1,0)，B(1,0,2)，C(2,−1,5)，D(1,−2,4)，则下列结论正确的是
( )
A. ⃗ B. ， ， 三点共线
AB=(0,−1,2) A B C
7 7
C. AD⊥BC D. ⃗AC在⃗BD上的投影向量为(0,− , )
2 2
10.已知圆 ，圆 ，则下列说法正确的是( )
C :x2+ y2−2x−4 y=0 C :x2+ y2+mx+ny=0
1 2
A. 圆C ，C 恒有公共点
1 2
B. 圆C ，C 至多有三条公切线
1 2
C. 若圆C 平分圆C 的周长，则m+2n=10
2 1
D. 若圆C 平分圆C 的周长，则n2−m的最小值为9
2 1
11.已知椭圆 x2 y2 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，离心率为√3， ，
C: + =1(a>b>0) F F B(0,1) M
a2 b2 1 2 2
N为C上关于原点对称的两点(与C的顶点不重合)，则下列说法正确的是( )
x2 1 9
A. 椭圆C的方程为 + y2=1 B. + ≥5
4 |M F | |N F |
1 1
1
C. 直线BM与BN的斜率乘积为− D. △MN F 的面积随周长变大而变大
4 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线2√3x+2y+3=0的倾斜角为
13.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD.若PA=a，则直线PB与
平面PCD所成的角的大小为
14.设P(x ,y )，Q(x ,y )是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线
1 1 2 2
x2
距离d(P,Q)=|x −x |+|y −y |.已知P(0,2)，Q是曲线 −y2=1(x>0)上一点，则d(P,Q)的最
1 2 1 2 2
小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
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2 1π
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB=bcos(A− ).
6
(1)求角A的大小;
2√3
(2)若c=2b，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
3
16.(本小题12分)
已知定义在 上的函数 是偶函数．
R f(x)=2x+a⋅2−x
(1)求a的值;
(2)当x∈[−1,1]时，函数g(x)=f(2x)−λf(x)的最小值为−2，求λ的值．
17.(本小题12分)
π
在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC=2，AB=4，∠ABC= ．
6
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC;
√6
(2)若二面角A−PB−C的余弦值为 ，求PA的长度．
4
18.(本小题12分)
已知抛物线 的准线方程为 ，直线 交抛物线 于 ， 两点．
E:y2=2px(p>0) x=−1 l:x=my+3 E A B
(1)求抛物线E的方程;
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3 1(2)若|AB|=4√15，求m的值;
(3)若抛物线E上存在两点C，D关于直线l对称，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之
积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知
两定点F (−1,0)，F (1,0)，动点P(x,y)满足|PF |⋅|PF |=3，动点P的轨迹为曲线E，直线
1 2 1 2
y=kx+b与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为k ．
0
(1)求曲线E的方程;
(2)求|OP|的取值范围;
3 1
(3)求证：− 0，因此cosA>0，
sinA π
所以tanA= =√3，所以A= ;
cosA 3
2√3
(2)由△ABC的面积为 ，
3
1 2√3 8
得 bcsin A= ，解得bc= ，
2 3 3
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5 12 4
又c=2b，则b= √3，c= √3，
3 3
16 4 8
由余弦定理得a2=c2+b2−2bccosA= + − =4，
3 3 3
解得a=2，b+c=2√3，
所以△ABC的周长为2√3+2．
16.解：
是偶函数， ，
(1)∵f(x)=2x+a⋅2−x ∴f(x)=f(−x)
即 ，即 ， ；
2x+a⋅2−x=2−x+a⋅2x (a−1)(2x−2−x )=0 ∴a=1
由 可知， ，
(2) (1) f(x)=2x+2−x
，
∴g(x)=22x+2−2x−λ(2x+2−x )=(2x+2−x ) 2−λ(2x+2−x )−2
5
令t=2x+2−x，由−1≤x≤1，可得t∈[2, ]，
2
5
∴上述函数转化为y=t2−λt−2(t∈[2, ])，
2
5
当λ≤4时，y=t2−λt−2在[2, ]上单调递增，
2
当t=2时，y =2−2λ=−2，∴λ=2≤4，λ=2满足题意；
min
5
当λ≥5时，y=t2−λt−2在[2, ]上单调递减，
2
5 17−10λ 5
当t= 时，y = =−2，∴λ= <5不合题意；
2 min 4 2
λ λ 5
当4<λ<5时，y=t2−λt−2在[2, ]上单调递减，在( , ]上单调递增，
2 2 2
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6 1λ λ2
当t= 时，y =−2− =−2，∴λ=0，显然不合题意，
2 min 4
综上所述：λ=2．
17.【解答】
π
(1)证明：∵在△ABC中，AC=2，AB=4，∠ABC= ，
6
AB AC
∴ = π
sin∠ACB π ，可得sin∠ACB=1，∴∠ACB= ，∴CA⊥CB，
sin 2
6
∵PA⊥平面ABC，CB⊂平面ABC，∴PA⊥CB，∵CA∩PA=A，CA，PA⊂平面PAC，∴BC⊥平
面PAC，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC；
(2)解：以CB，CA所在的直线为x，y轴，C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
∵AC=2，AB=4，∴A(0,2,0)，C(0,0,0)，B(2√3,0,0)，设PA=m，则P(0,2,m)，
⃗ ⃗ ⃗
∴AP=(0,0,m) ，PB=(2√3,−2,−m) ，CB=(2√3,0,0) ，
{⃗ ⃗
n ⋅AP=0
设平面APB和平面PBC的法向量分别为n ⃗ =(x ,y ,z ) ，n ⃗ =(x ,y ,z ) ，则 1 即
1 1 1 1 2 2 2 2 ⃗ ⃗
n ⋅PB=0
1
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7 1{ mz =0
2√3x −2y
1
−mz =0
，令x
1
=1，可得n ⃗
1
=(1,√3,0) ，
1 1 1
{⃗ ⃗
n ⋅CB=0 { 2√3x =0
同理
⃗
2
⃗
即
2√3x −2y
2
−mz =0
，令y
2
=m，可得n ⃗
2
=(0,m,−2) ，
n ⋅PB=0 2 2 2
2
⃗ ⃗
|n ⋅n | √3m √6
显然二面角A−PB−C的平面角为锐角，记为θ，∴cosθ= 1 2 = = ，即m2=4，
⃗ ⃗ 2√m2+4 4
|n ||n |
1 2
∴m=2或m=−2(舍去)，故PA=2．
p
18.解：(1)由题意x=− =−1，∴p=2，抛物线E的方程为y2=4x；
2
由题意：{ y2=4x ，
(2)
x=my+3
整理得y2−4my−12=0，△=16m2+48>0， y + y =4m，y y =−12，
1 2 1 2
，整理可得 ，
∴|AB|=√1+m2√16m2+48=4√15 m4+4m2−12=0
， ；
∴(m2+6)(m2−2)=0 ∴m=±√2
a2 b2
(3)设C( ,a)，D( ,b)， 若m=0，则l:x=3，易得此时不合题意;
4 4
b−a 4
k = = =−m 4
若m≠0，由于C，D关于直线l对称，故 CD b2−a2 b+a ，可得a+b=− ，
m
4
2
∴CD中点的纵坐标为− ，
m
将其代入x=my+3中，可得x=1，
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8 1a2 b2
+
又 4 4 a2+b2 ，化简可得a2+b2=8，
= =1
2 8
{a2+b2=8
，且 ，
∴ 4 a2≠b2
a+b=−
m
4 8
化简可得b2+ b+ −4=0，要使得上述关于b的方程有实根，
m m2
当Δ=0时a=b不合题意，
16 8
则Δ= −4( −4)>0，故m2>1，∴m>1或m<−1．
m2 m2
19.解： 由题意 ，
(1) √(x−1) 2+ y2 ⋅√(x+1) 2+ y2=3
整理可得 ，
(x2+ y2+1) 2−4x2=9
曲线 的方程为 ；
∴ E x2+ y2+1=√4x2+9
，
(2)|OP|2=x2+ y2=√4x2+9−1
由曲线 的方程可知 ，
E y2=√4x2+9−x2−1≥0
，即 ，
∴√4x2+9≥x2+1 x4−2x2−8≤0
解得−2≤x2≤4，∴x∈[−2,2]，
，
∴|OP|2=x2+ y2=√4x2+9−1∈[2,4]
∴|OP|的取值范围为[√2,2]；
(3)设A(x ,y )，B(x ,y )，M(x ,y )，
1 1 1 1 0 0
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9 1{x2+ y2+1=√4x2+9
由题意可知 1 1 1 ,
x2+ y2+1=√4x2+9
2 2 2
则 ，
x2+ y2−(x2+ y2 )=√4x2+9−√4x2+9
2 2 1 1 2 1
4(x2−x2
)
(x2−x2 )+(y2−y2 )= 2 1 ，
2 1 2 1 √4x2+9+√4x2+9
2 1
由题意可知x ≠±x ，
1 2
y2−y2
4
∴1+ 2 1= ，
x2−x2 √4x2+9+√4x2+9
2 1 2 1
y + y
2 1
y −y y 2 y + y
由题意k= 2 1 ，k = 0= = 2 1 ，
x −x 0 x x +x x +x
2 1 0 2 1 2 1
2
4
∴1+k⋅k = ，
0 √4x2+9+√4x2+9
2 1
由(2)可知x ，x ∈[−2,2]，
1 2
则 ， ，
3≤√4x2+9≤5 3≤√4x2+9≤5
1 2
2 4 2
∴ < < ，
5 √4x2+9+√4x2+9 3
2 1
2 2 3 1
∴ <1+k⋅k < ，∴−
