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江苏省前黄中学 2025 届高三上学期期初检测试卷
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知 ，其中 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. D.
3．已知 ，则函数 的图象一定经过（ ）
A.一、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.二、四象限
4．已知 都是正数，则“
ab≥4
”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5．已知 满足 ， ，则 值为（ ）
A. B. C. D.
6．现将甲、乙、丙、丁、戊、己6名员工平均分成两个志愿者小组，到外面参加两项不同的服务工作，
则丙、丁两人恰好参加同一项服务工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
7．将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标
缩短到原来的 ，得到函数 的图象．若 的图象关于点 中心对称，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 有两个极值点 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于函数 ，其中正确命题是（ ）
A． 是以 为最小正周期的周期函数
B． 的最大值为
C．将函数 的图象向左平移 个单位后，将与已知函数的图象重合D． 在区间 上单调递减
10．已知 ，则以下结论正确的有（ ）
A． ， 有零点
B． ， 在 上单调递增
C． 时，
D． 时， 的解集为
11．甲罐中有 个红球， 个白球，乙罐中有 个红球， 个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，
再从乙罐中随机取出一球． 表示事件“从甲罐取出的球是红球”， 表示事件“从甲罐
取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 为互斥事件 B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设函数 ，则使得 成立的 的解集是 ．
13．设 的内角 的对边分别为 ．若 ，则角 ．
14．已知存在 ，使得函数 与 的图象存在相同的切线，且切线的斜
率为 ，则 的最大值为___．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积为 ，求 边上的高．
16．（本小题满分15分）已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
（1）当 ，证明: 为定值，并求出函数 的对称中心；
（2）当 时，若 在定义域上单调递增，求实数 的最小值．
17．（本小题满分15分）
足球比赛积分规则为：球队胜一场积 分，平一场积 分，负一场积 分．常州龙城足球队 年
月将迎来主场与 队和客场与 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与 队比赛：胜
的概率为 ，平的概率为 ，负的概率为 ；客场与 队比赛：胜的概率为 ，平的概率为 ，负的概
率为 ，且两场比赛结果相互独立．
（1）求常州龙城队 月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分的概率；
（2）用 表示常州龙城队 月与 队和 队比赛获得积分之和，求 的分布列与期望．
18．（本小题满分17分）
如图，已知菱形 和菱形 的边长均为 ， ， 分
别为 上的动点，且 ．（1）证明： 平面 ；
（2）当 的长度最小时，求：
① ；
②点 到平面 的距离．
19．（本小题满分17分）
已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
（1）当 时，求 在 上的值域；
（2）当 时，讨论 的零点个数；
（3）当 时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明．
① ；② ．
江苏省前黄中学2025届高三上学期期初检测试卷
数学试卷参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）CA. B. C. D.
【详解】∵ ，
∴ ， .
2．已知 ，其中 为虚数单位，则 （ ）D
A. B. C. D.
【详解】 ，∴ ，∴ .
3．已知 ，则函数 的图象一定经过（ ）C
A.一、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.二、四象限
【详解】当 时， ，
则当 时，函数图象过二、三、四象限；
则当 时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数 的图象一定经过三、四象限.
4．已知 都是正数，则“
ab≥4
”是“ ”的（ ）B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【详解】由题意可知当
ab≥4
时，可取
a=1，b=4
，显然不满足 ；
当 时 ， 且
a>0，b>0
， 所 以 ， 即
(ab) 2 ≥4ab
， 解 得
ab≥4或ab≤0
，所以“
ab≥4
”是“ ”的必要不充分条件
5．已知 满足 ， ，则 值为（ ）A
A. B. C. D.
【详解】
，∴ ，
∴ .
6．现将甲、乙、丙、丁、戊、己6名员工平均分成两个志愿者小组，到外面参加两项不同的服务工作，
则丙、丁两人恰好参加同一项服务工作的概率为（ ）C
A. B. C. D.
【详解】 ， ，∴ .
7．将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标
缩短到原来的 ，得到函数 的图象．若 的图象关于点 中心对称，则 的最小值
为（ ）DA． B． C． D．
【详解】令 ，
图象向右平移 个单位长度，则 ，
再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的 ，则 ，
又 的图象关于点 中心对称，则 ，
所以 ，则 ，又 ，故 .
8．若函数 有两个极值点 ，且 ，则（ ）A
A． B． C． D．
【详解】∵函数 有两个极值点 且 ，
∴方程 由两个不同的正根 ，
∴ ， ， ，∴ ，
∴
，
又 ，即 ，得 ，
∴ 或 （舍去）．
9．ABD
【详解】 ，显然A、B选项
正确；
C选项: 将函数 的图象向左平移 个单位得到 ，图象不会与原
图像重合，故C错误；
D选项:当 ， ，∴ 在区间 上单调递减成立．
10．ACD
【详解】对A，当 时， 即 有解，
又 与 的图象明显有交点，故A选项正确；
对B， ，
时， ， ， 单调递减，故B选项错；对C， 时， ， 时， 递减， 时， 递增，
，故C选项正确；
对D， 时， ， 单调递减，
等价于 ，∴ ，∴ ，故D选项正确．
11．BD
【详解】A选项:显然不成立；
B选项:当 发生时，乙罐中有 个红球， 个白球，此时 发生的概率为 ，∴ ，
∴B选项正确；
D选项: 当 发生时，乙罐中有 个红球， 个白球，此时 发生的概率为 ，∴ ，
∴ ，∴D选项正确；
C选项: ，∴C选项不正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设函数 ，则使得 成立的 的解集是 ．
【答案】
【详解】函数 为奇函数且单调递增， ∴ ，
∴ ，解集为 ．
13. 的内角 的对边分别为 ．若 ，则角 ．
【答案】
【详解】 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，因为 ，所以 ．
14．已知存在 ，使得函数 与 的图象存在相同的切线，且切线的斜
率为 ，则 的最大值为___．
【答案】
【解析】 ，
令 ，得 ，切点为 ，
令 ，得 ，切点为 .
切线方程为 代入，可得 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，即 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积为 ，求 边上的高．
解：∵ ，由余弦定理得， ， ……2分
又 ，
∴ ，化简得 ， ……5分
∴ ． ……6分
（2）由（1）得 ，
∴ 为锐角，∴ ， ……8分
∴ 的面积 ，
∴ ， ……10分
设 边上的高为 ，
则 的面积 ，
∴ ，即 边上的高为 ． ……12分
……本题卷面分1分
16．（本小题满分15分）
已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
（1）当 ，证明: 为定值，并求出函数 的对称中心；
（2）当 时，若 在定义域上单调递增，求实数 的最小值．
解：（1）当 ， ，其中 ，
，
∴ ， ……4分
∴函数 的对称中心为 ． ……6分
（2）当 时， ，其中 ，
∵ 在定义域上单调递增，∴ 在 上恒成立， ……7分而 ， ……9分
∵ ，当且仅当 时等号成立，
∴ ， ……12分
而 成立，∴ ，即 ，
∴ 的最小值为 ． ……14分
……本题卷面分1分
17．（本小题满分15分）
足球比赛积分规则为：球队胜一场积 分，平一场积 分，负一场积 分．常州龙城足球队 年
月将迎来主场与 队和客场与 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与 队比赛：胜
的概率为 ，平的概率为 ，负的概率为 ；客场与 队比赛：胜的概率为 ，平的概率为 ，负的概
率为 ，且两场比赛结果相互独立．
（1）求常州龙城队 月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分的概率；
（2）用 表示常州龙城队 月与 队和 队比赛获得积分之和，求 的分布列与期望．
解：（1）设事件 “常州龙城队主场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队主场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队主场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队客场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队客场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队客场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队七月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分”， ……1分
， ……2分
， ……4分
， ……6分
则 ，
∴常州龙城队七月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分的概率为 ．……7分
（2）由题意可知 的所有可能取值为 ．
， ，
， ，
， ． ……13分
∴ 的分布列为∴ ．
……14分
……本题卷面分1分
18．（本小题满分17分）
如图，已知菱形 和菱形 的边长均为 ， ， ，
分别为 上的动点，且 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）当 的长度最小时，求：
① ； ②点 到平面 的距离．
18．证明：（1）（方法一）在菱形 内，过点 作 ，
，连接 ，则 ，
由 得 ，
∴ ，∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
又 平面 ， ，
∴平面 平面 ， ……4分
又 平面 ，∴ 平面 ． ……6分
（方法二）延长 交直线 于点 ，连结 ，
由 ，得 ，
由 得 ，则 ，
而 平面 ， 平面 ， ……4分
∴ 平面 ． ……6分
解：（2）取 的中点 ，连接 ，由 为等边三角形，得 ，
同理 ，
而 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，于是平面 平面 ， ……8分
①在平面 内作 ，平面 平面 ，则 平面 ，
以 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ，由 ，
得 ， ， ，
，由 ，
．
从而 ， ……11分
当 时， 取最小值 ， ……12分
②此时 ， ， ，
设 为平面 的法向量，则 ，
令 ，得 ， ……15分
点 到平面 的距离为
. ……17分
19．（本小题满分17分）
已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
（1）当 时，求 在 上的值域；
（2）当 时，讨论 的零点个数；
（3）当 时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明．
① ； ② ．
解：（1）当 时， ， ， ……1分
∵ ，∴ ，
∴ 在 上单调递减， ……3分
又 ， ，∴ 的值域为 ． ……5分
（2） ，令 得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
∴ ． ……6分
（Ⅰ）当 时， ，∴ ，
∴ 在 上有且仅有1个零点． ……7分
（Ⅱ）当 时，令 ， ，
∴ 在 上单调递增，∴ ，即 ，
又 ，∴ 在 上有1个零点， ……8分
又 ，令 ，则 ，∴ 在 上单调递减，
∴ ，∴ ，∴ 在 上有一个零点．……10分
综上所述，
时， 有一个零点， 时， 有2个零点. ……11分
（3）选择①证明：当 时， ， ……12分
设 ，
（Ⅰ）当 时， ，
又由（2）知 ，∴ ， ……13分
（Ⅱ）当 时， ，
设 ，则 ，
∴ 在 单调递增，∴ ，
∴ ，即 在 单调递增，
，
综上， ， ……16分
∴当 时， ，即 . ……17分
选择②证明：当 时， ， ……12分
设 ，
（Ⅰ）当 时， ，
∴ ， ……13分
（Ⅱ）当 时， ，
设 ，则 ，
∴ 在 单调递增，∴ ，
∴ ，即 在 单调递增，
∴ ，
综上， ， ……16分
∴当 时， ，即 . ……17分
