江西省萍乡市萍乡中学2025届高三上学期月考卷（五）数学_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_1219炎德英才大联考江西省萍乡中学2025届高三上学期月考卷（五）

大联考 萍乡实验学校2025届高三月考试卷（五） 数 学 命题人：晏海林 柳 佳 杜振兴 审题人：顾友付 胡家琪 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2 . 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数z10.2i，w z8．那么下列说法错误的是 A． w 1.16 B．w在第二象限 1 C．若 f x5x42 ，那么 f z2i D． w w Q w 2．已知F,F 是椭圆C: x2  y2 1ab0 的两个焦点，点M 在C上，且 MF MF 9,16 ，则椭圆C的离心率是 1 2 a2 b2 1 2 1 3 7 3 A． B． C． D． 4 4 4 4 3．如右图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布 的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使 得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重 合的视为同一种） A．3 B．6 C．9 D．12 2x 4．函数 f(x)x2log 的大致图象是 3 2x A． B． C． D． 数学试题（萍实版）第1页共5页 {#{QQABBQSQggiAABJAABgCQwXSCEGQkhAAAQgGBEAEoAAAyANABAA=}#}5．我们称两个正整数a和b互素，当且仅当a和b的最大公因数是1，我们定义n nZ+ 是小于n的正整数中和n互 素的数的个数，例如62．是因为小于6的数中只有1与5和6互素．那么下列说法错误的是 n n A．有无限多个正整数n使n B．有无限多个正整数n使n 2 2 C．n1的解只有1和2 D．对于任意正整数n，都有m使得mn 4 6．已知k2个两两互不相等的复数z ,z ,,z ,w,w ，满足w w  ，且 w z 1,3 ，其中 j1,2； 1 2 k 1 2 1 2 w w j a 1 2 a1,2,,k ，则k的最大值为 A．3 B．4 C．5 D．6 7．若存在实数a,b，对任意实数x[0,1]，使得不等式x3m≤axb≤x3m 恒成立，则实数m的取值范围是  3  8 3   3   3  A． ,  B． ,  C． ,  D． ,   9   9   3   2  8．已知关于x的不等式xm11 mlnxex 在  1,e3 上恒成立，则正数m的最大值为 x 1 A． B．0 C．e D．1 e 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁· 路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数x和y，有  a2b2 c2d2  acbd 2. ②等式条件：当且仅当adbc0时，等号成立. 例：已知x2y2，由柯西不等式  x2y2 1222 x2y2，可得  x2y2  4 .运用柯西不等式。 min 5 判断以下正确的选项有 1 2  A．若a2b2 1，则 2a3b  13 B．若0a2，则   32 2 max a 2a min     C．若ab4，则 a12 b2 2 5 D．若1a3，则 a1 62a  6 max max 10．已知抛物线C:y2 4x的焦点为F,C的准线l与x轴交于点P，过P的一条直线与C交于M,N两点，过M,N作l的 垂线，垂足分别为S,T ，则 π A． MF  NP  NF  MP B．MFSNFT  2 C． MF  NF  SF TF D．MNF 的面积等于△STF的面积 11．四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，ABBC CDDA4, AC BD2 2 ，点E，F，G分别为棱BC， CD，AD的中点，则下列说法正确的是 数学试题（萍实版）第2页共5页 {#{QQABBQSQggiAABJAABgCQwXSCEGQkhAAAQgGBEAEoAAAyANABAA=}#}A．过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2 16 3 B．四面体ABCD的体积为 3 C．AC与BD的公垂线段的长为2 3 D．过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 x22ax1,x1 12 f(x) f(x) R a ．设函数 (4a)x,x1 ，若 在 上单调递增，则 的取值范围是 ． 13 fx 3ax1 a0 a1 , x0,3 f  x23   f axa20 a ．已知函数 ax1 （ 且 ）若 ， 是假命题，则实数 的取值范围是 ． 14 a a … a a 1 a 40. f a a a a … a a 19 3 ．设严格递增的整数数列 1， 2， ， 20满足 1 ， 20 设 为 1 2， 2 3， ， 19 20这 个数中被 整 f f a  . 除的项的个数，则 的最大值为 ，使得 取到最大值的数列 n 的个数为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分 13分） 在萍实高中2024秋季教职工运动会比赛中，高一、高二、高三三个年级的华强学院组和(华英学院组)共四个队伍(高一、 高二、高三各有一支华强队伍，全体高中部仅一支华英队伍)角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”： 第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名； 第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名； 第四轮，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知高二和高三华强学院组水平相当，高一华强和华英学院组水平相当，高二华强对高三华强、高一华强对华英学院组 1 2 的胜率均为 ，高二华强、高三华强对高一华强和华英学院组的胜率均为 ，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经 2 3 抽签，第一轮由高二华强对阵高三华强，高一华强对阵华英学院组. (1)求比赛结束时，高二华强比赛的场次是2场的概率； (2)若已知高二华强输了第一轮的比赛，求高二华强获得冠军的概率； (3)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中的两个队伍对阵，每组的胜者进入“ 决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二华强获得 冠军的概率，并比较哪种赛制对高二华强夺冠有利？请说明理由. 数学试题（萍实版）第3页共5页 {#{QQABBQSQggiAABJAABgCQwXSCEGQkhAAAQgGBEAEoAAAyANABAA=}#}16.（本小题满分 15分） OO ABCD O ADDCBC1 ABFE CG 在圆柱 1 2中，等腰梯形 为底面圆 1的内接四边形，且 ，矩形 是该圆柱的轴截面， CG1. 为圆柱的一条母线， (1) OCG∥ ADE 求证：平面 1 平面 ；   (2) DPDE  0,1   AP ABG 105 . 设 ， ，试确定 的值，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 35 17.（本小题满分 15分） 、新定义类 . 考生 新信息 题型是目前高考热点题型这类题要求 在有限时间阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息 . 考生 下列 解答问题请 根据信息回答 问题： （1）在高等数学中，我们将y f x在xx 处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为： 0 f x f x  fx xx  fx 0  xx 2  f nx 0  xx n ，（其中 f nx表示 f x的n次导数n3， 0 0 0 2! 0 n! 0 nN*），以上公式我们称为函数 f x在xx 处的泰勒展开式，当x 0时泰勒展开式也称为麦克劳林公式，比如ex 0 0 1 1 1 在x0处的麦克劳林公式为：ex 1x x2 x2 xn，由此当x0时，可以非常容易得到不等式 2! 3! n! 1 1 1 ex 1x，ex 1x x2，ex 1x x2 x3， 2 2 6 ysinx x0 利用上述公式和所学知识写出 在 处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可） （2） m a a  a 0 a a i j 4m 设 为正整数，数列 1， 2， ， 4m2是公差不为 的等差数列，若从中删去两项 i和 j 后剩余的 项可 m 4 a a  a (i, j) . 被平均分为 组，且每组的 个数都能构成等差数列，则称数列 1， 2， ， 4m2是 一可分数列请写出所有的 i, j 1i j6 a a  a (i, j)— . ， ，使数列 1， 2， ， 6是 可分数列 数学试题（萍实版）第4页共5页 {#{QQABBQSQggiAABJAABgCQwXSCEGQkhAAAQgGBEAEoAAAyANABAA=}#}18.（本小题满分 17分） C x2  y2 1 ab0 P1,3 Q3,1 M3,1 N0,2 C . 已知椭圆 ： a2 b2 ， ， ， ， 这四点中恰有三点在椭圆 上 (1) C 求椭圆 的方程； (2) E C EMN 点 是椭圆 上的一个动点，求 面积的最大值； (3) R0,1 l C A B l k0 x Dm,0 DA DB 过 的直线交椭圆 于 、 两点，设直线 的斜率 ，在 轴上是否存在一点 ，使得以 、 为邻边 m . 的平行四边形为菱形？若存在，求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由 19.（本小题满分 17分） x x x  f x  f x  f x  若x,x ,,x 为(a,b)上任意n个实数，满足 f  1 2 n  1 2 n ，当且仅当 1 2 n  n  n x  x  x 时等号成立，则称函数 f(x)在(a,b)上为“凸函数”.也可设可导函数 f(x)在(a,b)上的导函数为 1 2 n f(x), f(x)在(a,b)上的导函数为  ，当 f(x)0时，函数 f(x)在(a,b)上的为“凸函数”.若x,x ,,x 为(a,b)上任 1 2 n x x x  f x  f x  f x  意n个实数，满足 f  1 2 n   1 2 n ，当且仅当x  x  x 时等号成立，则称函数 f(x)  n  n 1 2 n 在(a,b)上为“凹函数”. f(x) (a,b) f(x), f(x) (a,b)  f(x)0 f(x) (a,b) 也可设可导函数 在 上的导函数为 在 上的导函数为 ，当 时，函数 在 上 “ ”. . 的为 凹函数 这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式 1  π (1) f(x) ,x0,  讨论函数 tanx  2的凹凸性； 1 1 1 (2) ABC   在锐角 中，求tanA tanB tanC的最小值；  1  1   1  1n (3) n a 1 ,a 2 ,a n  nN* a 1 a 2 a n 1 :   a 1  a 1     a 2  a 2     a n  a n     n n   若 个正数 满足 ，证明 数学试题（萍实版）第5页共5页 {#{QQABBQSQggiAABJAABgCQwXSCEGQkhAAAQgGBEAEoAAAyANABAA=}#}