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2024 年高二上学期数学月考试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知向量 ，且 ，则实数 的值等于（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行得坐标的比相同，即可解得实数 的值.
【详解】由向量 ，且 得 ，
解得 .
故选：B.
2. 下列表达式化简结果与 相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用向量加减的运算法则逐一判断即可.
【详解】对于A， ，不满足题意，故A错误；
对于B， ，满足题意，故B正确；
对于C， ，不满足题意，故C错误；
对于D， 结果与 的具体关系不确定，故D错误.
故选：B.
3. 空间内有三点 ，则点P到直线EF的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出 ，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】因为 ，所以直线EF的一个单位方向向量为 ．
因为 ，所以点P到直线EF 距离为 ．
故选：A
4. 已知P（1，2）点为圆（x+1） 2 +y 2 =9的弦AB的中点，则直线AB的方程为
A. x–y–3=0 B. x+y+3=0C. x+y–3=0 D. x–y+3=0
【答案】C
【解析】
【分析】若P（1，2）为弦的中点，则圆心与P的连线与AB垂直，可得AB的斜率，即可写出AB的方
程.
【详解】圆（x+1） +y =9的圆心坐标为C（–1，0），又P（1，2），∴ ，
2 2
则直线AB的斜率为–1，又∵直线AB过点P，
∴以P为中点的弦AB所在直线方程为y–2=–1（x–1），即x+y–3=0．故选C．
【点睛】本题主要考查了圆的弦的几何性质，直线方程的求法，属于中档题.
5. 某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，
《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二
（2）班抽到不同曲目的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】理解题意，利用分步乘法计数原理和古典概型概率公式计算即得.
【详解】高二（1）班与高二（2）班分别从这五首曲目中任选一首作为表演节目的方法数有
种，
而要使两个班抽到不同曲目，可分步完成：
先让高二（1）班选一首有5种方法，再由高二（2）班从余下的4首曲目中选一首，有4种方法，
由分步乘法计数原理，可知方法数有 种.
由古典概型概率公式，可得高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为 .
故选：D.
6. 如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的
直线 与圆 相切，与双曲线在第四象限交于一点 ，且有
轴，则离心率为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
【答案】C【解析】
【分析】求出 的坐标，由直线 与圆 相切于点 ，可求出 ，
， ， ，再由锐角三角函数得到 ，进而求出离心率.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
双曲线 中，令 ，解得 ，则 ，
由直线 与圆 相切于点 ，得 ，又
，
则 ， ，
于是 ，即 ，有 ，而 ，所以
.
故选：C
7. 设 ，两直线 与 垂直，则 的最大值为（
）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得 ，再代入 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为直线 与 垂直 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：A
8. 若等比数列 满足 ，则 （ ）
A. B. 1012 C. D. 1013【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列的性质计算出 的值，然后利用倒序相
加法可求得所求代数式的值.
【详解】等比数列 满足 ，则 ，
所以，对任意的 的正整数 ，
，
令 ，
则 ，
故 .
故选：A.
9. 将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0，2)与点B(4，0)重合，若此时点C(7，3)与点
D(m，n)也重合，则m+n的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知A与点B关于直线l对称，可求出直线l方程，C与点D也关于直线l对称，可得CD
中点 在直线l上，且kCD=- ，即可求出结果.
【详解】根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称，则点C与点D也关于直线l对称.
易知kAB=- ，所以直线l的斜率为2，又易知AB的中点坐标为(2，1)，
则直线l的方程为y-1=2(x-2)，即y=2x-3，
因为CD中点 在直线l上，且kCD=- ，
所以可列方程组为 解得 所以m+n= .
故选：A
【点睛】本题考查了点关于点的对称直线，考查了计算能力，属于一般题目.
二、多选题（每题5分，共20分）10. 已知直线 和直线 ，下列说法正确的是（ ）
A 始终过定点
B. 若 ，则 或
C. 若 ，则 或2
D. 当 时， 始终不过第三象限
【答案】AC
【解析】
【分析】求出直线过的定点判断 A；取 ，确定 的位置关系判断 B；由垂直关系求出
判断C；取 判断D.
【详解】对于A，直线 ，由 ，得 ， 始
终过定点 ，A正确；
对于B，当 时， 与直线 重合，B错误；
对于C， ，则 ，解得 或 ，C正确；
对于D，取 ，直线 过第三象限，D错误.
故选：AC
11. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A. 等差数列 为单调递增数列
B. 数列 是递增数列
C. 有最小值
D. 存在正整数 ，当 时，总有
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由题设得公差 即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由 以
及等差数列前n项和性质结合一元二次函数性质即可判断；对于D，由等差数列的函数性质即可判断.
【详解】对于A，设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以等差数列 为单调递增数列，故A正确；
对于B，不妨取 ，则 不是递增数列，故B错误；对于C，因为 ， ，
所以由二次函数图象性质知 必有最小值，故C正确；
对于D，因为 ，结合一次函数性质，不论 为何值，存在正整数 ，当
时， （ ）.
故选：ACD.
12. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 为椭圆 上一点，则（
）
A. 若 ，则 的面积为
B. 存在点 ，使得
C. 的周长为
D. 使得 为等腰三角形的点 共有4个
【答案】BC
【解析】
【分析】结合椭圆定义和余弦定理，计算焦点三角形的面积可判断A；考虑为短轴顶点时，焦点三角形的
形状判断B；根据焦点三角形的周长为 判断C；分情况讨论，找出使 为等腰三角
形的所有点可判断D．
【详解】由题意， ，
对于A，当 时，如图， 中，
由余弦定理得 ，
即 ，
①
又 ，即 ，
②
联立 可得 ，
①②
所以 ，故A错误；
对于B，当点 位于椭圆的上顶点或下顶点时， ，则 为直角，故B正确；
对于C， 的周长为 ，故C正确；
对于D，由椭圆的性质可知 ，即 .
若 是以 为顶点的等腰三角形，点 位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点
有2个；
若 是以 为顶点的等腰三角形，则 ，则满足条件的点 有2
个；
同理，若 是以 为顶点的等腰三角形，满足条件的点 有2个；
故使得 为等腰三角形的点 共6个，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 倾斜角为 ，在 轴上截距为 的直线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由直线的倾斜角求出斜率，然后直接由直线方程的斜截式得答案．
【详解】因为 ，
所以所求直线 斜率为 ，
又直线在 轴上的截距为 ，
由直线方程的斜截式得： ，
化为一般式得： ．
故答案为： ．
14. 写出与圆 和圆 都相切的一条直线方程________.
【答案】 （或 或 ，任写一条即可，答案不唯一）
【解析】
【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线
垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 圆心为 ，半径为 ，
两圆心距为 ，故两圆外切，两圆圆心所在直线 的方程为 ，即 ，中点为 ，
切线 垂直于直线 ，且经过中点，所以切线 的方程为 ；
切线 平行于直线 ，且到直线 的距离为 ，
设平行于直线 切线方程为 ，
则 或 ，
所以切线 的方程分别为 .
故答案为： （或 或 ，任写一条即可，答案不唯一）.
15. 阿波罗尼斯圆（ApolloniusCircle）是指在平面上，给定两点A､B以及一个常数 ，所有满
足 （ 为动点）的点 的轨迹.这个轨迹是一个圆，最先由古希腊数学家阿波罗尼斯
发现，因此得名.现已知定点 点 是圆 上的动点，则
的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，根据 是圆 上的点，
求出点 坐标，再由三角形两边之和大于第三边求得 .
【详解】由题意，设 ， ，
所以 ，
则 ，
由于 是圆 上的点,所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，如图，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：设 ， ，根据 是圆
上的点，求
出点 坐标，再由三角形两边之和大于第三边求得 .
16. 直线的斜率为 ，若 ，则直线的倾斜角的范围是__.
【答案】 ， ，
【解析】
【分析】利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：直线 的斜率为 ，倾斜角为 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ， ， .
故答案为： ， ， .
四、解答题（共70分）
17. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且 ABC ，AB＝2，PA 平面ABCD．
∠ ⊥（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC 平面QBD．
⊥
（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为 时，求PA的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）先证明BD 平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，设P(0, 1,a)（a>0），求出平面PBC与平面PDC的法向量，利用向量夹
⊥
角公式建立关于a的方程，解出即可．
【详解】（1）证明： 四边形ABCD是一个菱形， AC BD，
又PA 平面ABCD， PA BD，
∵ ∴ ⊥
又AC∩PA=A，则BD 平面PAC，
⊥ ∴ ⊥
BD在平面QBD内，
⊥
平面PAC 平面QBD；
∵
（2）设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图
∴ ⊥
所示的空间直角坐标系，
则 ，设P(0, 1，a)(a>0)，
则 ，
设平面PBC的一个法向量为 ，则 ，则 ，
同理可求平面PDC的一个法向量为 ，
，解得a2=2，
∴ ．
【点睛】本题考查了面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查了计算能力，属于中档题．
∴
18. 已知数列 是首项为2的等比数列，各项均为正数，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项和.若 对任意的
恒成立，求实数 的取
值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得到 ，即可得到 ，从而得到答案.
（2）首先利用错位相减法得到 ，从而得到 ，即可得到答案.
【小问1详解】
设等比数列 的公比为 ，由 ，得 或
.
又数列 的各项均为正数， .
【小问2详解】
由（1）得， ，
，①
，②
①-②得 ，.
由 ，化简得 ，
对任意的 恒成立.
又 的最大值为 ，所以 ，
的取值范围为 .
19. 在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽
取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值．若根据这次成绩，学校建议 的学生选报物理， 的学生选报历史，某同
学想选报物理，请同他的物理成绩应不低于多少分较为合适?（小数点后保留一位）
（2）这100名学生中，成绩位于 内的学生成绩方差为12，成绩位于 内的同学
成绩方差为10．请估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差．
（3）现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个
模块成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级，若两个模块成绩均为A+，则直接参加；若一个模
块成绩为A+，另一个模块成绩不低于B，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不
能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率
分别为 ；乙在每个模块考试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为
；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为 ．求甲、乙能同时参加物理竞赛
的概率．
【答案】（1） ；
（2）30.25 （3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；
（2）求出80分以上的小矩形的面积和，进而求出80分以上的总人数，再求平均数和方差；
（3）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可.
【小问1详解】
依题意得， ，
又 ，
所以第 分位数位于 ，且 ，
他的物理成绩应不低于 分较为合适
【小问2详解】
成绩位于 内的学生的人数为 ，
成绩位于 内的学生的人数为 ，
成绩在80分及以上的学生成绩的平均分为 （分），
该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
，
【小问3详解】
依题意甲能参加物理竞赛的概率 ，
乙能参加物理竞赛的概率 ，
二人互不影响，所以甲、乙能同时参加物理竞赛的概率
20. 已知
（1）求与 方向相同的单位向量 ；
（2）若 与单位向量 垂直，求 ， .
【答案】（1）
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据已知向量除以模长得出单位向量；
（2）应用垂直坐标表示及模长公式列式求解即可.
【小问1详解】．
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ， ．
联立解得 或 ．
21. 已知抛物线 的焦点为 上的动点 到点 的距离与到其准线
的距离之和的最小值为2.
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 是抛物线 上不同的三点.
（i）若直线 过点 ，且交准线 于点 ，求
的值；
（ii）若直线 的斜率分别为 ，且 ，求直线 的斜率 的取值
范围.
【答案】（1） ；
（2）（i）0；（ii） .
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义结合最小值求出 .
（2）（i）设直线 ： ，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算
计算即得；（ii）设直线 ： ，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式
列式可得 ，再借助判别式求出范围.
【小问1详解】
抛物线 的焦点 ，准线 为： ，
设点 ，动点 到其准线 的距离为 ，
由拋物线定义得， ，则 ，当且仅当 时取等
号，
依题意， ，所以抛物线 的方程为 .
【小问2详解】（i）显然直线 不垂直于坐标轴，设直线 的方程为： ，
设 ，又 ，
由 消去 得 ， ，
，
由 ，得 ，整理得 ，同理得 ，
所以 .
（ii）设直线 的方程为： ，而 ，
由 消去 得 ，则
，
又 ，由 ，得 ，
即 ，则 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 或 ，则
所以直线 的斜率 的取值范围是 .
22. 已知双曲线 的离心率 分别为其两条渐近线上的点，若
满足 的点 在双曲线上，且 的面积为8，其中 为坐标原点.
（1）求双曲线 的方程；
（2）过双曲线 的右焦点 的动直线与双曲线相交于 两点，在 轴上是否存在定
点 ，使得 为常数?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）
（2）存在， ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据双曲线 离心率得 关系，从而可得 关系，即可得双曲线渐近线方
程 ，不妨设 ， ，确定点 为 的中点代入双曲线方程可
得 与 的关系，再由 的面积即可求得 的值，从而可得双曲线 的方
程；
（2）当直线 的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设
，满足 为常数即可求得 的值，并且检验直线 的斜率不存在时是否
满足该定值即可.
【小问1详解】
由离心率 ，得 ，所以 ，则双曲线的渐近线方程为
，
因为 ， 分别为其两条渐近线上的点，所以 ，不妨设 ，
，由于 ，则点 为 的中点，所以 ，
又点 在双曲线上，所以 ，整理得：
因为 的面积为8，所以 ，则
，
故双曲线 的方程为 ；
【小问2详解】
由（1）可得 ，所以 为
当直线 的斜率存在时，设 方程为： ， ，
则 ，所以 ，则
恒成立，所以
，假设在 轴上是否存在定点 ，设 ，则
要使得 为常数，则 ，解得 ,定点 ，
；
又当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，代入双曲线 可得
，不妨取 ，
若 ，则 ，符合上述结论；
综上，在 轴上存在定点 ，使 为常数 ，且 .
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点坐标关系 ，假设在
轴上是否存在定点 ，设 ，验证所求定值 时，根据数量积的坐标运
算与直线方程坐标转换可得 ，要使得其为定值，则与直线斜
率 无关，那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例，从而可得含 的方程，通过
解方程确定 的存在，使得能确定定点坐标的同时还可得到定值，并且要验证直线斜率不存在的情况.
