2007年江苏高考数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江苏

2007 年江苏高考数学真题及答案 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共4页，包含选择题（第1题～第10题，共10题）、填空题（第11题～第16 题，共6题）、解答题（第17题～第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在 试卷及答题卡上。 3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其 它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。 5、如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 参考公式： n次独立重复试验恰有k次发生的概率为：P (k)Ckpk(1 p)nk n n 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的。  1．下列函数中，周期为 的是（D） 2 x x A．y sin B．y sin2x C．y cos D．y cos4x 2 4 2．已知全集U Z ，A{1,0,1,2},B{x|x2  x}，则A C B为（A）  U A．{1,2} B．{1,0} C．{0,1} D．{1,2} 3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在 y轴上，一条渐近线方程为 x2y 0，则它的离心率为（A） 5 A． 5 B． C． 3 D．2 2 4．已知两条直线m,n，两个平面,，给出下面四个命题：（C） ①m//n,mn ②//,m,nm//n ③m//n,m//n// ④//,m//n,mn 第1页 | 共7页其中正确命题的序号是 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 5．函数 f(x)sinx 3cosx(x[,0])的单调递增区间是（B） 5 5    A．[, ] B．[ , ] C．[ ,0] D．[ ,0] 6 6 6 3 6 6．设函数 f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x1对称，且当x1时， f(x)3x 1， 则有（B） 1 3 2 2 3 1 A． f( ) f( ) f( ) B． f( ) f( ) f( ) 3 2 3 3 2 3 2 1 3 3 2 1 C． f( ) f( ) f( ) D． f( ) f( ) f( ) 3 3 2 2 3 3 7．若对于任意实数x，有x3 a a (x2)a (x2)2 a (x2)3，则a 的值为（B） 0 1 2 3 2 A．3 B．6 C．9 D．12 2 8．设 f(x)lg( a)是奇函数，则使 f(x)0的x的取值范围是（A） 1x A．(1,0) B．(0,1) C．(,0) D．(,0) (1,)  9．已知二次函数 f(x)ax2 bxc的导数为 f '(x)， f '(0)0，对于任意实数x都有 f(1) f(x)0，则 的最小值为（C） f '(0) 5 3 A．3 B． C．2 D． 2 2 10．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A{(x,y)|x y1,且x0,y0}，则平面 区域B{(x y,x y)|(x,y)A}的面积为（A） 1 1 A．2 B．1 C． D． 2 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直 接填空在答题卡相应位置上。 1 3 11．若cos() ,cos() ，.则tantan 1/2 . 5 5 12．某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学 校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答） 13．已知函数 f(x) x3 12x8在区间[3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则 M m 32 . 14．正三棱锥PABC 高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC 的距离是 6 5 . 5 第2页 | 共7页15．在平面直角坐标系 xOy中，已知ABC顶点 A(4,0)和C(4,0)，顶点 B在椭圆 x2 y2 sin AsinC  1上，则  5/4 . 25 16 sinB 16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t 0 时，点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d  10 sin3t ，其中t[0,60]。 三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后 面第2位） （1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分） （3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分） 2 3 4  4 16 1 解：（1） p C2    1  10  0.05 5 5  5 25 125 4 4 4 （2）P 1C1  1  10.0064 0.99 5 5 5 3 4 4 4 （3）P C1  1   0.02 4 5 5 5 18．（本小题满分12分）如图，已知ABCDABC D 是 1 1 1 1 D 1 A 1 棱长为 3 的正方体，点E在 AA 上，点F 在CC 上，且 1 1 C B 1 1 AE  FC 1， F E 1 M A D （1）求证：E,B,F,D 四点共面；（4分） H 1 C G B 2 （2）若点G在BC上，BG  ，点M 在BB 上， 3 1 GM  BF ，垂足为H ，求证：EM 面BCC B ；（4分） 1 1 （3）用表示截面EBFD 和面BCC B 所成锐二面角大小，求tan。（4分） 1 1 1 解：（1）证明：在DD 上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD N是平行四边 1 1 形，所以D F//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又 1 BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以 CN//BE，所以D F//BE，所以E,B,F,D 四点共面。 1 1 第3页 | 共7页2 MB BG MB 3 （2）因为GM  BF 所以BCF ∽MBG，所以  ，即  ，所以MB=1， BC CF 3 2 因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB 又平面ABB A ⊥平面BCC B 1 1 1 1 1 ，且EM在平面ABB A 内，所以EM 面BCC B 1 1 1 1 （3）EM 面BCC B ，所以EM BF，EM MH，GM  BF ，所以∠MHE就是截面 1 1 ME EBFD 和面BCC B 所成锐二面角的平面角，∠EMH=90，所以tan ，ME=AB=3， 1 1 1 MH 3 BCF ∽ MHB，所以 3：MH=BF：1，BF= 22 32  13，所以 MH= ，所以 13 ME tan = 13 MH 19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中， y 过 y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线 y  x2 B P 相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB C 和直线l: y c交于P,Q， A   （1）若OAOB2，求c的值；（5分） O x （2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切 Q l 线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分） 解：（1）设过C点的直线为y  kxc，所以x2  kxcc 0，即x2 kxc 0，设     Ax ,y ,Bx ,y ，OA=x ,y ，OB x ,y ，因为OAOB2，所以 1 1 2 2 1 1 2 2 x x  y y  2，即x x kx ckx c  2，x x k2x x kcx  x c2  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 所以ck2ckc k c2  2，即c2 c20,所以c  2舍去c  1  （ 2 ） 设 过 Q 的 切 线 为 y y  k xx ， y/  2x， 所 以 k  2x ， 即 1 1 1 1 1  x c  y  2x x2x2  y  2x xx2， 它 与 y  c的 交 点 为 M 1  ,c， 又 1 1 1 1 1 2 2x   1  x  x y  y  k k2  k  c P  1 2 , 1 2   , c，所以Q ,c ，因为x x  c,所以  x ，  2 2  2 2  2  1 2 x 2 1  x x  k  所以M  1  2 ,c    ,c ,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。  2 2  2  第4页 | 共7页k  k  （3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q ,c ，因为PQ x轴，所以P  ,y  2  2 P  x  x k 因为 1 2  ，所以P为AB的中点。 2 2 20．（本小题满分 16 分）已知 {a }是等差数列，{b }是公比为 q的等比数列， n n a b,a b a ，记S 为数列{b }的前n项和， 1 1 2 2 1 n n （1）若b a (m,k是大于2的正整数)，求证：S (m1)a ；（4分） k m k1 1 （2）若b a (i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{b }中每一项都是数列{a }中 3 i n n 的项；（8分） （3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b }中有三项成等差数列？若存在，写出一个q n 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分） 解 ： 设 {a }的 公 差 为 d ， 由 a b,a b a ， 知 d  0,q 1， d  a q1 n 1 1 2 2 1 1 （a  0） 1 （1）因为b  a ，所以a qk1  a m1a q1， k m 1 1 1 qk1 1m1q1  2mm1q， a  1qk1 a  m1m1q  所以S  1  1 m1a k1 1q q 1 （2）b  a q2,a  a i1a q1，由b  a ， 3 1 i 1 1 3 i 所以q2 1i1q1, q2 i1qi2 0,解得，q 1或q i2，但q 1， 所以q i2，因为i是正整数，所以i2是整数，即q是整数，设数列{b }中任意一项 n 为 b  a qn1 nN ，设数列{a }中的某一项a  mN =a m1a q1 n 1 n m 1 1 现在只要证明存在正整数m，使得b  a ，即在方程a qn1  a m1a q1中m n m 1 1 1 qn1 1 有正整数解即可，qn1 1m1q1,m1 1qq2  qn2，所以  q1 m  2qq2  qn2，若i 1，则q  1，那么b b  a b b  a ，当i 3  2n1 1 1, 2n 2 2 时，因为a b ,a b ，只要考虑n 3的情况，因为b  a ，所以i 3，因此q是正 1 1 2 2 3 i 整数，所以m是正整数，因此数列{b }中任意一项为 n b  a qn1 nN 与数列{a }的第2qq2  qn2项相等，从而结论成立。 n 1 n  （3）设数列{b }中有三项b ,b ,b  m n  p,m,n, pN 成等差数列，则有 n m n p 1 2a qn1  a qm1 a qp1,设 nm  x, pn  y,  x,yN ， 所 以 2 qy， 令 1 1 1 qx x 1,y  2， 则 q3 2q10, q1 q2 q1  0， 因 为 q 1， 所 以 第5页 | 共7页5 1 51 q2 q10，所以 q  舍去负值 ，即存在 q  使得{b }中有三项 2 2 n b ,b ,b  mN 成等差数列。 m m1 m3 21．（本小题满分16分）已知a,b,c,d 是不全为0的实数，函数 f(x)bx2 cxd ， g(x)  ax3 bx2 cxd ， 方 程 f(x)0有 实 根 ， 且 f(x)0的 实 数 根 都 是 g(f(x))0的根，反之，g(f(x))0的实数根都是 f(x)0的根， （1）求d 的值；（3分） （2）若a 0，求c的取值范围；（6分） （3）若a 1, f(1)0，求c的取值范围。（7分） 解（1）设 x 是 f x 0的根，那么 f x  0，则 x 是 g(f(x))0的根，则 0 0 0 gf x  0,即g0 0，所以d 0。  0  （2）因为a 0，所以 f x bx2 cx,gx bx2 cx，则g(f(x))  f xbf xc   =  bx2 cx  b2x2 bcxc  =0的根也是 f x  xbxc 0的根。 （a）若b 0，则c  0，此时 f x 0的根为 0，而 g(f(x))0的根也是 0，所以 c  0， （b）若b  0，当c 0时， f x 0的根为0，而g(f(x))0的根也是0，当c  0时， c c f x 0的根为0和 ，而bf xc 0的根不可能为0和 ，所以bf xc 0 b b 必无实数根，所以 bc2 4b2c 0,所以c2 4c 0,0c  4，从而0c  4 所以当b 0时，c  0；当b  0时，0c  4。 （3）a 1, f(1)0，所以bc 0，即 f x 0的根为0和1， 所以  cx2 cx 2 c  cx2 cx  c=0必无实数根， 2  1 c c （a）当 c 0时， t=cx2 cx=c  x    ，即函数 ht t2 ct c在  2 4 4 c  c 2 c2 t  ， ht 0恒 成 立 ， 又 ht t2 ct c   t   c ， 所 以 4  2 4 c c2 c2 16 ht  h   0，即  c 0,所以0c  ； min 4 16 4 3 2  1 c c （b）当 c 0时， t=cx2 cx=c  x    ，即函数 ht t2 ct c在  2 4 4 c  c 2 c2 t  ， ht 0恒 成 立 ， 又 ht t2 ct c   t   c ， 所 以 4  2 4 c ht  h   0， min 2 第6页 | 共7页c2 c2 c 0，而c 0，所以c 0，所以c不可能小于0， 4 4 （c）c 0,则b 0,这时 f x 0的根为一切实数，而gf x 0，所以c 0,符合   要求。 16 所以0c  3 第7页 | 共7页