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2024 级高二第一学期第一次限时练习数学试卷
命题人： 审题人： 满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 圆 的圆心和半径分别为（ ）
A. ，2 B. ，4 C. ，2 D. ，4
2. 若直线 ： 与 ： 平行，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 三棱锥 中， ，点 为 中点，点 满足 ，则 （
）
A. B.
C. D.
4. 已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点 且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（
）
.
A [－2，0)∪(0， ] B. (－∞，－ ]∪[2，＋∞)
C. [－2， ] D. (－∞，－2]∪[ ，＋∞)
5. 在空间直角坐标系中， ， ， ，则点 到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 当动点 在正方体 的体对角线 上运动时，异面直线 与 所成角的取值范
围是.
A B. C. D.
7. 如图，在三棱锥 中，点 为底面 的重心，点 是线段 上靠近点 的三等分点，
过点 的平面分别交棱 ， ， 于点 ， ， ，若 ， ， ，
则 （ ）
.
A B. C. D.
8. 在正四面体 中，点 在线段 上运动（不含端点）.设 与平面 所成角为 ， 与
平面 所成角为 ， 与平面 所成角为 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 若空间向量 ， 满足 ，则 与 夹角为锐角.
B. 设 是空间中的一组基底，则 也是空间的一组基底.
C. 若 ，则存在唯一的实数 ，使 .
D. 向量 ， ， ，若向量 ， ， 共面，则实数 的值为1.10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若直线 经过第一、二、四象限，则点 在第二象限.
B. 斜率为 ，在 轴截距为3的直线方程为 .
C. 直线 关于 对称的直线方程是 .
D. 对任意的 ，直线 与直线 有公共点.
11. 如图，正三棱柱 中， ，点P在线段 上（不含端点），则（ ）
A. 不存在点P，使得
B. 面积的最小值为
C. 的最小值为
D. 三棱锥 与三棱锥 的体积之和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若空间向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为__________．
13. 平面直角坐标系中，任意两点 ， ，定义 为“A，B两
点间的距离”，定义 为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知 为坐标原点，
为平面直角坐标系中的动点，且 ，则 的最小值为__________.14. 如图，在三棱锥 中，三条侧棱 ， ， 两两垂直，且 ， 为
内部一动点，过 分别作平面 ，平面 ，平面 的垂线，垂足分别为 ， ， ．
①直线 与直线 是异面直线；
② 为定值；
③三棱锥 的外接球表面积的最小值为 ；
④当 时，平面 与平面 的夹角大小为 ．
则以上结论中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 直线l经过两直线 ： 和 ： 的交点.
（1）若直线l与直线 垂直，求直线l的方程；
（2）若点 到直线l的距离为5，求直线l的方程.
16. 如图，在六面体 中，四边形 是正方形， ， ， 都垂直于平面 ，且
， ， ， ， 分别是 ， 的中点．（1）证明： 平面 ．
（2）若 ，求点 到平面 的距离．
17. 已知圆C过点 ， ，且圆心 在上，
（1）求圆C的方程；
（2）已知平面内两点 ， ，P为圆C上的动点，求 的最小值.
18. 在 中， ， ， ， 分别是 上的点，满足 且
经过 的重心，将 沿 折起到 的位置，使 ， 是 的中点，
如图所示．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 的夹角的余弦值为 ,若存在，求出
的长度；若不存在，请说明理由．
19. 若 ，则称 为 维空间向量集，
为零向量，对于 ，任意 ，定义：
①数乘运算： ；②加法运算： ；
③数量积运算： ；
④向量的模： ，
对于 中一组向量 ，若存在一组不同时为零的实数 使得
，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
（1）对于 ，判断下列各组向量是否线性相关：
① ；
② ；
（2）已知 线性无关，试判断 是否线性相关，并说明
理由；
（3）证明：对于 中的任意两个元素 ，均有 ，
