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1
2026 届高三年级第一次质量检测
数学参考答案
注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．32
13．
3
e
x
x
f
f x
a
x
a
答案不唯一，
均满足
14．2
3
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
（1）设点P 的坐标为( , )
x y ，依题意得
2
2
|
|
2
x
x
y
，………2 分
化简得
2
4
1
y
x
，所以W 的方程为
2
4
1
y
x
.………5 分
（2）设
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，
，由题意，:
2
l y
x
，………7 分
将l 带入方程
2
4
1
y
x
，化简得：
2
8 +8
0
x
x
，则
1
2=8
x
x
，………11 分
由W 的定义可知
1
2
=
=8
AB
AF
BF
x
x
.………13 分
16.（15 分）
（1）
( )=cos
sin
f x
x
a
x
，………1 分
依题意，
2
2
( )=cos
sin
=
=
2
4
4
4
2
2
f
a
a
，………3 分
解之得：=3
a
.………5 分
（2）令
( )=cos
3sin =0
f x
x
x
，解之得：
1
tan =3
x
，………6 分
令
( )
g x
f x
，则
( )= sin
3cos
0
g' x
x
x
，所以
( )
0, 2
f x
在
上单调递减，………7 分
记
1
tan =
0,
3
2
，
，
则
0
( )
0
x
f x
f x
,
，
，
单调递增，
( )
0
2
x
f x
f x
,
，
，
单调递减，
所以
f x 在=
x 处取极大值，………9 分
又因为
10
3 10
sin =
cos =
10
10
，
，………11 分
所以
10
9 10
sin +3cos =
+
= 10
10
10
f
，………12 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
A
A
D
D
题号
9
10
11
答案
AB
ACD
ABD
2
又
0
sin0+3cos0=3
f
，
sin
+3cos
=1
2
2
2
f
，………14 分
比较可得：函数
f x 在区间0, 2
上的最大值为10 ，最小值为1.………15 分
17.（15 分）
（1）M 是线段OC 上的动点，且直线QM
PBD
平面
∥
，故
QOC
PBD
平面
平面
∥
，………2 分
又
=
QOC
ABCD OC
平面
平面
，
=
PBD
ABCD BD
平面
平面
，所以OC
BD
∥
，………4 分
所以
=
= 3
AOC
OBD
，又
=
OB OD ，所以OBD
是正三角形，所以
=
=
OB BD OC ，………6 分
所以OBDC 是平行四边形，所以CD
AB
∥
.………7 分
（2）取CD 的中点记为N ，易证ON
AB
，
如图，分别以
,
,
ON OB OP
x
y
z
为，，轴建立空间直角坐标系
-
O xyz，………8 分
不妨设
2
AB
r
，又PAB
是正三角形，
3
0,
,0
0, ,0
,
,0
0,0, 3
2
2
r r
A
r
B
r
D
P
r
则
，
，
，
，
则
3
0, , 3
,
= 0,
, 3
,
=
,
,0
2
2
r
r
AP
r
r
BP
r
r
BD
，………10 分
设
( , , )
x y z
n
为平面PBD 的法向量，
有
0,
0,
BP
BD
n
n
则
3
0,
3
0,
2
2
ry
rz
r
r
x
y
令=1
x
，所以平面PBD 的一个法向量
(1, 3,1)
n
，………12 分
所以
3 + 3
15
cos
,
=
5
2 5
|
||
|
AP
r
r
AP
r
AP
n
n
n
，………14 分
所以，直线PA 与平面PBD 所成角的正弦值为
15
5
. ………15 分
18.（17 分）
（1）设A =“编号为2 的抽屉里放的是黑球”,则
4
3
3
2
3
7
6
7
6
7
P A
.………3 分
（2）X 的可能取值为1，2，3，4，………4 分
1
3
4
3
4
7
C C
4
(
1)
C
35
X
P
，
2
2
4
3
4
7
C C
18
(
2)
C
35
X
P
，
3
1
4
3
4
7
C C
12
(
3)
C
35
X
P
，
4
4
4
7
C
1
(
4)
C
35
X
P
，
用表格表示分布列，如下表所示：
X
1
2
3
4
………8 分
P
4
35
18
35
12
35
1
35
4
18
12
1
16
(
)
1
2
3
4
35
35
35
35
7
X
E
.………9 分
（3）依题意，编号为1 的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5 种情况：………10 分
3
①白—黑—白—白……，
1
4
3
3
2
3
7
6
5
4
35
P
，
②白—黑—白—黑—白……，
2
4
3
3
2
2
2
7
6
5
4
3
35
P
，
③白—白—黑—白……，
3
4
3
3
2
3
7
6
5
4
35
P
，
④白—白—黑—黑—白……，
4
4
3
3
2
2
2
7
6
5
4
3
35
P
，………15 分
⑤白—白—白……，
5
4
3
2
4
7
6
5
35
P
，
1
2
3
4
5
14
2
=
35
5
P C
P
P
P
P
P
.………17 分
19.（17 分）
由于两实数相乘满足交换律，以下解答中不妨设i
j
.
（1）
3
1
2
2 4
8
a
a a
；………3 分
（2）若对任意
*
2
n
n
N
，
1
n
n
a
a
，则
4
1
3
2 8
16
a
a a
=
，或
4
2
3
4 8
32
a
a a
=
；………5 分
①若
4 16
a =
，则
5
1
4
2 16
32
a
a a
=
，或
5
2
3
4 8
32
a
a a
=
，或
5
2
4
4 16
64
a
a a
=
，
或
5
3
4
8 16
128
a
a a
=
；………7 分
②若
4 32
a =
，则
5
1
4
2 32
64
a
a a
=
，或
5
2
4
4 32
128
a
a a
=
，或
5
3
4
8 32
256
a
a a
=
；
综上，
4
5
5
5
16,
32,
64,
128,
a
a
a
a
=
=
或
=
或
=
或
4
5
5
5
32,
64,
128,
256.
a
a
a
a
=
=
或
=
或
=
………9 分
（3）因为
2
1
2
2,
4=2
a
a
，且对任意
*
3
n
n
N
，总存在
*
i
j N
，
，使得
=
,
,
n
i
j
a
a a
i
j i
n j
n
，
所以数列
na
的任意一项都可以写成2 的正整数指数幂的形式，
又因为对任意
*
2
n
n
N
，
1
n
n
a
a
，所以
1
2
n
n
a
a
，………12 分
所以
2
1
2
*
2
2
2
,
n k
n
n
n
k
a
a
a
a
k
N
，………13 分
所以
1
2
3
1
1
2
3
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
k
n
n
n
n
n
n
n k
a
a
a
a
a
S
a
a
a
a
a
a
a
………14 分
1
2
3
1
1
1
1
1
(
1)
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n k
a
1
1 [1 ( ) ]
1
2
2[1 ( ) ]
2
1
2
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
.………17 分
