2007年湖南高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖南

2007 年湖南高考理科数学真题及答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟. 参考公式: 如果事件A、B互斥，那么P(AB) P(A)P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)  P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率是P (k)CkPk(1P)nk n n 4 球的体积公式 V  R3,球的表面积公式S 4R2，其中R表示球的半径 3 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 2  2i  1．复数  等于（ ） 1+i A．4i B．4i C．2i D．2i x2 2．不等式 0的解集是（ ） x1 A．(，1) (1，2] B．[1，2] C．(，1) [2，) D．(1，2]   3．设M，N 是两个集合，则“M N ”是“M N ”的（ ）   A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件       4．设a,b是非零向量，若函数 f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有（ ）         A．ab B．a//b C．|a||b| D．|a||b| 5．设随机变量服从标准正态分布N(0，1)，已知(1.96)0.025，则P(||1.96)= （ ） A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 4x4， x1， 6．函数 f(x) 的图象和函数g(x)log x的图象的交点个数是（ ） x2 4x3，x1 2 A．4 B．3 C．2 D．1 7．下列四个命题中，不正确的是（ ） A．若函数 f(x)在x x 处连续，则 lim f(x) lim f(x) 0 x→x x→x 0 0 x2 B．函数 f(x) 的不连续点是x2和x2 x2 4 C．若函数 f(x)，g(x)满足lim[f(x)g(x)]0，则lim f(x)limg(x) x→ x→ x→ x 1 1 D．lim  x→1 x1 2 8．棱长为1的正方体ABCDABC D 的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱 1 1 1 1 AA ，DD 的中点，则直线EF 被球O截得的线段长为（ ） 1 1 2 2 A． B．1 C．1 D． 2 2 2 x2 y2 9．设F，F 分别是椭圆  1（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P, 1 2 a2 b2 第1页 | 共10页使线段PF 的中垂线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 1 2  2  3  2   3  A．0，  B．0，  C． ，1 D． ，1     2 3 2 3         10．设集合M {1，2，3，4，5，6}， S，S ， ，S 都是M 的含两个元素的子集，且满足：对 1 2  k 任 意 的 S {a，b}， S {a，b }（ i  j， i、j{1，2，3， ，k}）， 都 有 i i i j j j  a b  a b  min i，i min j，j （min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值  b i a i   b j a j  是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(1，1)且与直线x y 4相切的圆的方程是 ． 12．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a 1，b= 7 ，c 3， π C  ，则B ． 3 13．函数 f(x)12xx3在区间[3，3]上的最小值是 ． 1 14．设集合A{(x，y)| y |x2|}，B{(x，y)| y x b}，A B，  2 （1）b的取值范围是 ； （2）若(x，y)A B，且x2y的最大值为9，则b的值是 ．  15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下 数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全 行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 图1 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）  π  1 已知函数 f(x)cos2  x ，g(x)1 sin2x．  12 2 （I）设x x 是函数y  f(x)图象的一条对称轴，求g(x )的值． 0 0 （II）求函数h(x) f(x)g(x)的单调递增区间． 17．（本小题满分12分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人 员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参 加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互 之间没有影响． （I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望． 18．（本小题满分12分） 如图2，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF 上的一点，将△GAB， 第2页 | 共10页△GCD分别沿AB，CD翻折成△G AB，△G CD，并连结GG ，使得平面G AB⊥平 1 2 1 2 1 面ABCD，GG //AD，且GG  AD．连结BG ，如图3． 1 2 1 2 2 G G 1 2 A D A D E F G F B C B E C 图2 图3 （I）证明：平面G AB⊥平面G ADG ； 1 1 2 （II）当AB12，BC 25，EG 8时，求直线BG 和平面G ADG 所成的角． 2 1 2 19．（本小题满分12分） 如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在 2 的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（0 90），且sin ，点P到平 5 面的距离PH 0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修 a 路的造价为 a万元/km，原有公路改建费用为 万元/km．当山坡上公路长度为lkm 2 （1l 2）时，其造价为(l2 1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB1.5(km)， OA 3(km)． （I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小； （II） 对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价 最小． （III）在AB上是否存在两个不同的点D，E，使沿折线PDEO修建公路的总造价小 于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论． 20．（本小题满分12分） 已知双曲线x2  y2 2的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 的动直线与双曲线相交于 1 2 2 A，B两点．     （I）若动点M 满足FM  FAFBFO（其中O为坐标原点），求点M 的轨迹方程； 1 1 1 1   （II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存 在，请说明理由． 第3页 | 共10页21．（本小题满分13分） 已知A (a，b )（nN*）是曲线 y ex上的点，a a，S 是数列{a }的前n项和， n n n 1 n n 且满足S2 3n2a S2 ，a 0，n2，3，4，…． n n n1 n b  （I）证明：数列 n2（n2）是常数数列； b   n （II）确定a的取值集合M ，使aM 时，数列{a }是单调递增数列； n （III）证明：当aM 时，弦A A （nN*）的斜率随n单调递增． n n1 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．(x1)2 (y1)2 2 5π 12． 6 13．16 9 14．（1）[1，)（2） 2 15．2n 1，32 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1 π 16．解：（I）由题设知 f(x) [1cos(2x )]． 2 6 π 因为x x 是函数y  f(x)图象的一条对称轴，所以2x  kπ， 0 0 6 π 即2x kπ （kZ）． 0 6 1 1 π 所以g(x )1 sin2x 1 sin(kπ )． 0 2 0 2 6 1  π 1 3 当k为偶数时，g(x )1 sin    1  ， 0 2  6 4 4 1 π 1 5 当k为奇数时，g(x )1 sin 1  ． 0 2 6 4 4 1  π 1 （II）h(x) f(x)g(x)  1cos  2x  1 sin2x 2  6 2 1  π  3 1 3 1  3   cos  2x  sin2x      cos2x sin2x   2  6  2 2  2 2  2 1  π 3  sin  2x   ． 2  3 2 第4页 | 共10页π π π 5π π 当2kπ 2x 2kπ ，即kπ  xkπ （kZ）时， 2 3 2 12 12 1  π 3 函数h(x) sin  2x   是增函数， 2  3 2  5π π  故函数h(x)的单调递增区间是 kπ ，kπ （kZ）．    12 12 17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培 训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)0.6，P(B)0.75． （I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 P  P(AB) P(A)P(B)0.40.250.1 1 所以该人参加过培训的概率是P 1P 10.10.9． 2 1 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 P  P(AB)P(AB)0.60.250.40.750.45 3 该人参加过两项培训的概率是P  P(AB)0.60.750.45． 4 所以该人参加过培训的概率是P  P P 0.450.450.9． 5 3 4 （II）因为每个人的选择是相互独立的，所以 3 人中参加过培训的人数服从二项分布 B(3，0.9)，P(k)Ck 0.9k 0.13k ，k 0，1，2，3，即的分布列是 3  0 1 2 3 P 0.001 0.027 0. 243 0.729 的期望是E10.02720.24330.7292.7． （或的期望是E30.92.7） 18．解：解法一：（Ｉ）因为平面G AB⊥平面ABCD，平面G AB 平面ABCD AB， 1 1  AD⊥AB，AD平面ABCD，所以AD⊥平面G AB，又AD平面G ADG ，所以 1 1 2 平面G AB ⊥平面G ADG ． 1 1 2 （II）过点B作BH⊥AG 于点H ，连结G H ． 1 2 由（I）的结论可知，BH⊥平面G ADG ， G G 1 2 1 2 H 所以BG H 是BG 和平面G ADG 所成的角． 2 2 1 2 A D 因为平面 G AB⊥平面 ABCD，平面 G AB 平面 1 1  F ABCD  AB，GE⊥AB， B E C 1 O GE 平面 G AB，所以 GE⊥平面 ABCD，故 1 1 1 GE⊥EF ． 1 因为 GG  AD， AD EF，所以可在 EF 上取一点 O，使 EOGG ，又因为 1 2 1 2 GG ∥AD∥EO，所以四边形GEOG 是矩形． 1 2 1 2 由题设AB12，BC 25，EG 8，则GF 17．所以G OGE 8，G F 17， 2 1 2 OF  172 82 15，GG  EO10． 1 2 因为AD⊥平面G AB，GG ∥AD，所以GG ⊥平面G AB，从而GG ⊥GB． 1 1 2 1 2 1 1 2 1 故BG2  BE2 EG2 GG 2 62 82 102 200，BG 10 2 ． 2 1 1 2 2 812 48 又AG  62 82 10，由BH AG GE AB得BH   ． 1  1 1  10 5 第5页 | 共10页BH 48 1 12 2 故sinBG H     ． 2 BG 5 10 2 25 2 12 2 即直线BG 与平面G ADG 所成的角是arcsin ． 2 1 2 25 解法二：（I）因为平面 G AB⊥平面 ABCD，平面 G AB 平面 ABCD  AB， 1 1  GE⊥AB， 1 GE 平面G AB，所以GE⊥平面ABCD，从而GE⊥AD．又AB⊥AD，所以AD⊥ 1 1 1 1 平面G AB．因为AD平面G ADG ，所以平面G AB ⊥平面G ADG ． 1 1 2 1 1 2 （II）由（I）可知，GE⊥平面ABCD．故可以E为原点，分别以直线EB，EF，EG 1 1 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， 由题设AB12，BC 25，EG 8，则EB6， z EF 25， EG 8， 相 关 各 点 的 坐 标 分 别 是 1 G G A(6，0，0)， 1 2 D(6，25，0)，G (0，0，8)，B(6，0，0)． A 1 D   y 所以AD(0，25，0)，AG (6，0，8)． F 1 B E C  O 设n(x，y，z)是平面G ADG 的一个法向量， 1 2 x    n  AD0， 25y 0，  由  得 故可取n(4，0，3)．  n  AG 1 0. 6x8z 0 过点G 作G O⊥平面ABCD于点O，因为G C G D，所以OC OD，于是点O在y 2 2 2 2 轴上． 因为GG ∥AD，所以GG ∥EF ，G OGE 8． 1 2 1 2 2 1 设G (0，m，8)（0m25），由172 82 (25m)2，解得m10， 2  所以BG (0，10，8)(6，0，0)(6，10，8)． 2 设BG 和平面G ADG 所成的角是，则 2 1 2   BG n 2 |2424| 12 2 sin   ．   BG n 62 102 82 42 32 25 2   12 2 故直线BG 与平面G ADG 所成的角是arcsin ． 2 1 2 25 19．解：（I）如图，PH⊥，HB，PB⊥AB， 由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，所以PBH 是 山坡与所成二面角的平面角，则PBH ， PH A  PB 1． O sin P 设BD x(km)，0 x1.5．则 ED H PD x2 PB2  x2 1[1，2]． B 记总造价为 f (x)万元， 1 1 1 11 据题设有 f (x)(PD2 1 AD AO)a (x2  x  3)a 1 2 2 4 第6页 | 共10页2  1 43   x a  3 a      4 16  1 1 当x ，即BD (km)时，总造价 f (x)最小． 4 4 1 5 （II）设AE  y(km)，0 y ，总造价为 f (y)万元，根据题设有 4 2  13 1   y 43 f (y)  PD2 1 y2 3    y  a   y2 3  a a． 2  22 4   2 16   y 1 则 f y  a，由 f (y)0，得y 1． 2  y2 3 2 2   当y(0，1)时， f (y)0， f (y)在(0，1)内是减函数； 2 2  5  5 当y  1， 时， f (y)0， f (y)在 1， 内是增函数．  4 2 2  4 67 故当y 1，即AE 1（km）时总造价 f (y)最小，且最小总造价为 a万元． 2 16 （III）解法一：不存在这样的点D，E． 事实上，在AB上任取不同的两点D，E．为使总造价最小，E显然不能位于D 与B之 3 间．故可设E位于D与A之间，且BD=x (km)，AE y (km)，0 x  y  ，总 1 1 1 2 2  x y 11 造价为 S 万元，则 S   x2  1  y2 3 1   a．类似于（I）、（II）讨论知，  1 2 1 2 4  x 1 y 3 1 x2  1  ， y2 3 1  ，当且仅当x  ，y 1同时成立时，上述两个不等 1 2 16 1 2 2 1 4 1 1 67 式等号同时成立，此时BD (km)，AE 1(km)，S 取得最小值 a，点D，E分 4 16 别与点D，E重合，所以不存在这样的点 D，E，使沿折线PDEO修建公路的总造价小 于（II）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得  x y 11 S  x2  1  y2 3 1  a    1 2 1 2 4  2   x  1 a 1  3  y2 3 y    y2 3 y  a 43 a    1 4 4  1 1 1 1  16 1 43  2 3( y2 3 y )( y2 3 y )a a 4 1 1 1 1 16 67  a． 16 1 1 当且仅当x  且3( y2 3 y )( y2 3 y )，即x  ，y 1同时成立时，S 取得 1 4 1 1 1 1 1 4 1 67 最小值 a，以上同解法一． 16 20．解：由条件知F(2，0)，F (2，0)，设A(x，y )，B(x，y )． 1 2 1 1 2 2   解法一：（I）设M(x，y)，则 则FM (x2，y)，FA(x 2，y )， 1 1 1 1 第7页 | 共10页      FB(x 2，y )，FO(2，0)，由FM  FAFBFO得 1 2 2 1 1 1 1 1 x2 x x 6， x x  x4，  1 2 即 1 2 y  y  y y  y  y   1 2 1 2  x4 y 于是AB的中点坐标为 ， ．  2 2 y y  y y y 2 当AB不与x轴垂直时， 1 2   ，即y  y  (x x )． x x x4 x8 1 2 x8 1 2 1 2 2 2 又因为A，B两点在双曲线上，所以x2  y2 2，x2  y2 2，两式相减得 1 1 2 2 (x x )(x x )(y  y )(y  y )，即(x x )(x4)(y  y )y． 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y 将y  y  (x x )代入上式，化简得(x6)2  y2 4． 1 2 x8 1 2 当AB与x轴垂直时，x  x 2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 1 2 所以点M 的轨迹方程是(x6)2  y2 4．   （II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA CB为常数．  当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y k(x2)(k 1)． 代入x2  y2 2有(1k2)x2 4k2x(4k2 2)0． 4k2 4k2 2 则x，x 是上述方程的两个实根，所以x x  ，x x  ， 1 2 1 2 k2 1 1 2 k2 1   于是CACB(x m)(x m)k2(x 2)(x 2) 1 2 1 2 (k2 1)x x (2k2 m)(x x )4k2 m2 1 2 1 2 (k2 1)(4k2 2) 4k2(2k2 m)   4k2 m2 k2 1 k2 1 2(12m)k2 2 44m  m2 2(12m) m2． k2 1 k2 1     因为CACB是与k无关的常数，所以44m0，即m1，此时CACB=1． 当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2， 2)，   此时CA CB(1，2)(1， 2)1．    故在x轴上存在定点C(1，0)，使CACB为常数． x x  x4， 解法二：（I）同解法一的（I）有 1 2 y  y  y  1 2 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y k(x2)(k 1)． 代入x2  y2 2有(1k2)x2 4k2x(4k2 2)0． 4k2 则x，x 是上述方程的两个实根，所以x x  ． 1 2 1 2 k2 1  4k2  4k y  y k(x x 4)k 4 ． 1 2 1 2 k1  k2 1 4k2 由①②③得x4 ．…………………………………………………④ k2 1 第8页 | 共10页4k y  ．……………………………………………………………………⑤ k2 1 x4 当k 0时，y 0，由④⑤得， k ，将其代入⑤有 y x4 4 y 4y(x4) y   ．整理得(x6)2  y2 4． (x4)2 (x4)2  y2 1 y2 当k 0时，点M 的坐标为(4，0)，满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x  x 2，求得M(8，0)，也满足上述方程． 1 2 故点M 的轨迹方程是(x6)2  y2 4．   （II）假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CA CB为常数，  4k2 4k2 2 当AB不与x轴垂直时，由（I）有x x  1，x x  ． 1 2 k2 1 2 k2 1 以上同解法一的（II）． 21．解：（I）当n≥2时，由已知得S2 S2 3n2a ． n n1 n 因为a S S 0，所以S S 3n2． ………………… ① n n n1 n n1 于是S S 3(n1)2． ……………………② n1 n 由②－①得a a 6n3． ……………………③ n1 n 于是a a 6n9． ……………………④ n2 n1 由④－③得a a 6， ……………………⑤ n2 n b ea n2 b  所以 n2  ea n2 a n e6，即数列 n2(n≥2)是常数数列． b ea n  b  n n （II）由①有S S 12，所以a 122a．由③有a a 15，a a 21，所以 2 1 2 3 2 4 3 a 32a，a 182a． 3 4 而 ⑤表明：数列{a }和{a }分别是以a ，a 为首项，6为公差的等差数列， 2k 2k1 2 3 所以a a 6(k1)，a a 6(k1)，a a 6(k1)(kN*)， 2k 2 2k1 3 2k2 4 数列{a }是单调递增数列 a a 且a a a 对任意的kN*成立． n 1 2 2k 2k1 2k2  a a 且a 6(k1)a 6(k1)a 6(k1) 1 2 2 3 4 9 15  a a a a  a122a32a182a  a ． 1 2 3 4 4 4  9 15 即所求a的取值集合是M a a ．  4 4  b b ea n1 ea n （III）解法一：弦A A 的斜率为k  n1 n  n n1 n a a a a n1 n n1 n ex ex 0 ex(xx )(ex ex 0) 任取x ，设函数 f(x) ，则 f(x) 0 0 xx (xx )2 0 0 记g(x)ex(xx )(ex ex 0)，则g(x)ex(xx )ex ex ex(xx )， 0 0 0 当x x 时，g(x)0，g(x)在(x，)上为增函数， 0 0 第9页 | 共10页当x x 时，g(x)0，g(x)在(，x )上为减函数， 0 0 所以x x 时，g(x) g(x )0，从而 f`(x)0，所以 f(x)在(，x )和(x，)上 0 0 0 0 都是增函数． 由（II）知，aM 时，数列{a }单调递增， n ea n1 ea n ea n2 ea n 取x a ，因为a a a ，所以k   ． 0 n n n1 n2 n a a a a n1 n n2 n ea n1 ea n2 ea n ea n2 取x a ，因为a a a ，所以k   ． 0 n2 n n1 n2 n1 a a a a n1 n2 n n2 所以k k ，即弦A A (nN*)的斜率随n单调递增． n n1 n n1 ex ea n1 解法二：设函数 f(x) ，同解法一得， f(x)在(，a )和(a ，)上都是 xa n1 n1 n1 增函数， ea n ea n1 ex ea n1 ea n2 ea n1 ex ea n1 所以k   lim ea n1，k   lim ea n1． n a a n→a xa n1 a a n→a xa n n1 n1 n1 n2 n1 n1 n1 故k k ，即弦A A (nN*)的斜率随n单调递增． n n1 n n1 第10页 | 共10页