文档内容
2025 学年第一学期温州新力量联盟期中联考
高二年级数学试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求.）
1. 点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是（ ）
A. (1,2,3) B. (－1,－2,3)
C. (－1,2,－3) D. (1,－2,－3)
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，根据空间直角坐标系的性质，可得答案.
【详解】点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是(－1，－2,3)，
故选：B．
2. 若直线 的倾斜角为 ，则 （ ）
A. 0 B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线得出斜率进而得出倾斜角.
【详解】直线 的斜率为0，
倾斜角为 .
故选：A.3. 已知两条直线 和 ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. 或1 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用直线垂直的系数关系列式计算求解.
【详解】两条直线 和 ，
因 为，所以 ，则实数 .
故选：D.
4. 平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ， ，则下列
式子中与 相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算性质以及图示即可表示 .【详解】∵平行六面体 中， 为 与 的交点， ， ， ，
1 1 1 1
ABCD-A B C D M AC BD
∴
故选 ．
【点睛A】主要考查了空间向量的线性运算及其几何意义，属于基础题.
5. 在棱长为 的正四面体（四个面都是正三角形） 中，点 为 的中点，则直线 与直线
所成角的余弦值为（ ）
A. 0 B. C. D. 与 的值有关
【答案】B
【解析】
【分析】取 中点 ，连接 ， ， ， ,所以求解直线 与直线 所成角的余弦
值转化为直线 与直线 所成角的余弦值，再通过余弦定理求解即可.
【详解】因为点 为 的中点，取 中点 ，连接 ， ， ，
则 ，如图，
所以直线 与直线 所成角的余弦值转化为直线 与直线 所成角的余弦值，
因为该四面体为正四面体， ， 为等边三角形，
所以 ， ，
所以在 中，由余弦定理， ，
即 ，
解得 .故选：B.
6. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将题目所给方程转化为椭圆的标准方程的形式，结合题设条件，列出方程组，即可求解.
【详解】椭圆方程 ，
上式表示焦点在y轴上的椭圆，
则 ，解得 ，
故选：D.
7. 已知直线 与圆 交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出直线恒过的定点 ，圆心 和半径，通过分析可知直线 与直线
垂直时， 最小，
利用勾股定理求解即可.
【详解】 ， ， ， ，
直线恒过点 ， 在圆 的内部，
，圆心 ，半径 ，要使 最小，则圆心到直线 的距离最大，
当直线 与直线 垂直时，
圆心到直线 的距离最大，
， ， ，
则 的最小值为 .
故选：A.
8. 已知直线 过点 ，直线 与直线 的交点 在第一象限，点 为坐标原点.若三角形
为钝角三角形时，则直线 的斜率的范围是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】易知直线 斜率存在，设直线方程，联立两直线可得点 ，分情况讨论当 为钝角时，则
，当 为钝角时，则 ，分别解不等式即可.
【详解】由已知直线 过点 ，直线 与直线 的交点 在第一象限，
则直线 斜率存在，设 ，联立直线方程 ，解得 ，即 ，
由点 在第一象限，所以 ，解得 ，
当 为钝角时，由 ， ，
则 ，解得 ；
当 为钝角时，由 ， ，
则 ，解得 ，
综上所述， ，
故选：C.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 一条光线从点 射出，射向点 ，经x轴反射后过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线AB的斜率是 B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A应用斜率公式计算即可；选项B，先求得点 关于 轴的对称点，进而求得反射光线所在
直线的斜率，应用两条直线垂直的斜率公式判断即可；选项 C，求得反射光线所在直线的方程，进而求得
点 的坐标；选项D应用两点间距离公式求解即可.【详解】对于A，由于 、 ，由斜率公式得： ，选项A正确；
对于B，点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，经x轴反射后直线 的斜率为：
，且 ，所以 ，选项B正确；
对于C，直线 即直线 的方程为： ，即 ，
将 代入得： ，所以点 ， ，选项C不正确；
对于D，由两点间距离公式得： ，选项
D正确；
故选：ABD.
10. 已知以 、 为左右焦点的椭圆 的短轴长为 ，点 是椭圆 上的一
个动点，且点 到 的最大距离是点 到 的最小距离的3倍，连接 ，并延长 与椭圆 相交于
点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的方程为 B. 三角形 的面积的最大值为
C. 三角形 的周长为 D.
【答案】ACD
【解析】【分析】对于选项A，根据条件求出，可确定椭圆方程；对于选项 B，椭圆焦点三角形面积最大值是短轴
顶点与两焦点所成的三角形的面积；对于选项C，利用椭圆的定义求解即可；对于选项D，设 ，
，通过椭圆定义即可求得 ， ，通过余弦定理可求得 ， 之间的关系，即可求解.
【详解】如图，
对于选项A，因为短轴长为 ，所以 ，又因为点 到 的最大距离是点 到 的最小距离的3
倍，所以 ，解得 ，代入 ，解得 ， ，故椭圆方程为
，故A正确；
对于选项B，椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积，所以
，故B错误；
对于选项C，通过椭圆定义可知，三角形 的周长为 ，故C正确；
对于D选项，设 ， ，所以 ， ， ，
所以在 中， ，
即 ，解得 ，
同理在 中， ， ，即，
将 代入，可得
，所以 ，故D正确.
故选：ACD
11. 在直三棱柱 中， ， ， ， 为 的中点，点 ，
分别在棱 ， 上，且 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在 ，使得 平面
B. 直三棱柱 外接球的表面积为
C. 对于任意的 ，四棱锥 的体积为定值
D. 当 时，平面 与平面 夹角 的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用空间向量判断线面关系即可；对于B，先确定 外接圆的圆心，从而确定直三
棱柱 外接球的球心，然后利用球的表面积公式求解即可；对于C，判断四棱锥
的高和底面积是否为定值即可；对于D，利用空间向量求平面和平面所成角即可.
【详解】在直三棱柱 中， 平面 ，
且 ，故 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，由 ， ， ， ，
得 ，
设平面PQR的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，
对于A， ，
故 ，且 平面 ，
故 平面 ，故A正确；
对于B， ，故 外接圆的圆心为 的中点 ，
因为 外接圆是平面 与三棱柱 外接球的截面圆，
故直三棱柱 外接球的球心在过点 且与平面 垂直的直线上，
又因为直三棱柱 上下底面平行且全等，
故直三棱柱 外接球的球心到上下底面的距离相等，
且侧棱 ，侧棱垂直底面，所以直三棱柱 外接球的球心为 ，
故直三棱柱 外接球的半径
的
故外接球 表面积： ，故B错误；
对于C，直三棱柱 知，侧面 为矩形，
，
因为 ，故当 时，四边形 为直角梯形，
且梯形 的面积： ，
当 时，四边形 为矩形，
且矩形 的面积： ，
故四边形 的面积为定值，且点 为 的中点是一个定点，
平面 是一个固定平面，
故点 到平面 的距离为定值，
因为 ， 分别在棱 ， 上，
所以平面 和平面 是同一平面，
故 到平面 的距离为定值，故四棱锥 的高和底面积均为定值，
所以四棱锥 的体积为定值，故C正确；
对于D，平面 的法向量 ，当 时， ，
显然平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
于是 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ，故D错误；
故选：AC
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在平面直角坐标系中直线l的一个方向向量为 ，则直线l的斜率为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】由方向向量和斜率的关系直接计算即可得出结果.
【详解】因为直线 的一个方向向量为 ，
所以直线 的斜率 .
故答案 为： .
13. 已知圆 的面积被直线 平分，圆
，则圆 与圆 的位置关系是_____.
【答案】外切
【解析】【分析】根据圆的方程可得圆心和半径；由直线平分圆 面积可知直线过圆心 ，由此可求得 的值；
根据圆心距和两圆半径之间关系可确定两圆位置关系.
【详解】由圆 方程知：圆心 ，半径 ，
由圆 方程知：圆心 ，半径 ；
圆 的面积被直线 平分， 直线 过圆心 ，
，解得： ， ；
圆心距 ，
圆 与圆 的位置关系是外切.
故答案为：外切.
14. 直线 过点 且与椭圆 相交于 、 两点，若线段 的中点为 则直线 的斜率
为_____.
【答案】
【解析】
【分析】设 点坐标，代入椭圆中，作差化简可得答案.
【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，因此：
，
点 和 满足椭圆方程：
，将方程 (1) 减去 (2)： ，
因式分解： ，
代入中点坐标： ，
得： ，
整理得： ，
因此，斜率 .
故答案为： ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知三角形顶点 ， ， ．
（1）求边 的直线方程；
（2）求 边上的中线方程；
（3）求三角形 的面积．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3）11
【解析】
【分析】（1）由点斜式即可求；
（2）先求 中点，再由点斜式即可求；
（3）由点线距离公式求得点C到直线AB的距离，由两点距离公式求得 ，即可由三角形面积公式求
值.
【小问1详解】由两点式得边 的直线方程为 ；
【小问2详解】
中点为 ，故 边上的中线方程为 ；
【小问3详解】
点C到直线AB的距离 ， ，
故三角形 的面积为 .
16. 在如图所示试验装置中，由矩形 和 构成，且 ， ， ，
， 分别在对角线 ， 上移动，且 与 长度保持相等，记 ， ， ，
且 ， .
（1）当 时，用向量 表示 ， ；
（2）是否存在 ， 使得 平面 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ，
（2）存在，
【解析】【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解；
（2）设存在 使得 平面 ，由题意得 ，因为 ，得到
，
得到 ，结合 和 ，求得 的值，即可得到答案.
【小问1详解】
解：由空间向量的运算法则，可得： ，
，
则 .
【小问2详解】
解：假设存在 使得 平面 ，又由 平面 ，
可得 ， ，
因为 ，则 ，其中 ，
可得
，
又因为 ，且 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
所以， ，
可得 .且 ，
化简得 ，解得 ，故存在 ，使得 平面 .
17. 已知定点 、 和动点 .
（1）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得动点 的轨迹为椭圆并求动点 的轨
迹方程.条件①： ；条件②： .
（2）若直线 与动点 的轨迹相交于 、 两点，且 ，求 （ 为坐标
原点）的面积.
【答案】（1）答案见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）题中条件满足椭圆的定义，利用椭圆定义求解；
（2）直线和椭圆联立方程组，消去 ，得到关于 的一元二次方程，利用韦达定理写出两根之和和两根之
积，利用弦长公式求出 ，利用点到直线的距离公式求出点 到直线 的距离，利用三角形面积公式
求出 的面积.
【小问1详解】
选择条件①： ，
则 ， ， ，
所以椭圆方程为 ；
【小问2详解】由题意知： ，设 ， ，
联立 得 ，
，即 ，
， ，
所以 ，
， ，满足 ，
，
又点 到直线 的距离 ，
，
把 代入上式得：
的面积为 .18. 如图，在正方体 中， 为 的中点， 与平面 交于点 .
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 为棱 上一点.
（i）若 为棱 的中点，正方体棱长为2，求平面 截正方体所得的截面面积；
（ii）若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据线线平行可得 平面 ，即可根据线面平行的性质求解，
（2）由线线平行可得截面为等腰梯形 ，即可求解长度得解（i），建立空间直角坐标系，求解平
面法向量，即可根据向量的夹角求解.
【小问1详解】
在正方体 中，
，且 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，，
，
为 的中点，
为 的中点.
【小问2详解】
（i）当 为棱 的中点时，则有 ，
截面为等腰梯形 ，
， ， ，
高为 ，
；
（ii）设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
， .
设平面 的法向量为 ，即
令 ，则 ， , ，
设 ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
即 ，
令 ，则 ， ，
，
又 ，所以解得 ，即 .
19. 如图，已知圆 ， 为直线 上一动点， 为坐标原点，过点
作圆 的两条切线，切点分别为 ， .
（1）求四边形 面积的最小值；
（2）求证：直线 过定点；
（3）若两条切线 ， 与 轴分别交于点 ， ，求 的最小值.
【答案】（1）（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将四边形 的面积表示为 ，根据 的最小值可求结果；
（2）根据四点共圆求解出过 四点的圆 ，然后由公共弦所在直线的方程的求法可求直线
的方程，据此可证明过定点；
（3）设出切线方程，根据相切关系可得 的韦达定理形式，表示出 并根据 的韦达定理形式
化简，由此可求 .
【小问1详解】
连接 ， ，圆 的标准方程为 ，故半径为 ，圆心 ，
所以 ，
若要使得四边形 的面积最小，则只需 最小，
当 在 轴上时，显然 ，
.
【小问2详解】
因为 ，所以 四点共圆，
且圆心为 即 ，半径为 ，所以过 四点的圆的方程为 ，即 ，
因为直线 为圆 与圆 的公共弦所在的直线，
所以两圆方程相减可得直线 的方程为 ，显然当 时 ，
所以直线 过定点 .
【小问3详解】
设过点 的切线为 ，即 ，
所以圆心 到切线距离 ，即 ，
设 ， 的斜率为 ， ，所以 ， ，
在 中令 ，则有 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
