2007年福建高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_福建

2007 年福建高考文科数学真题及答案
第I卷 （选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则A（CB）等于
U
A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5}
解析：（CB）={3，4，5}，A（CB）={3，4}，选C
U U
(2)等比数列{a}中，a=4,则a·a 等于
n 4 2 6
A.4 B.8 C.16 D.32
解析：a·a a2=16，选C
2 6= 4
(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于
1 3
A.0 B. C. D.1
2 2
解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1，选D
（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由|x|<2得-2<x<2,由 x2-x-6<0得-2<x<3，选A

（5）函数y=sin(2x+ )的图象
3
 
A.关于点（ ，0）对称 B.关于直线x= 对称
3 4
 
C.关于点（ ，0）对称 D.关于直线x= 对称
4 3
 1  1 
解析：由 2x+ =kπ得 x= k ，对称点为（ k ，0）（kz），当 k=1 时为
3 2 6 2 6

（ ，0），选A
3
（6）如图，在正方体ABCD-ABCD 中，E、F、G、H分别为AA、AB、BB、BC 的中点，则异
1 1 1 1 1 1 1
面直线EF与GH所成的角等于
A.45° B.60° C.90° D.120°
解析：连AB、BC、AC，则AB=BC=AC，且EF∥AB、GH∥BC，所以异面直线EF与GH所
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
成的角等于.60°，选B
第1页 | 共9页1
（7）已知f(x)为R上的减函数，则满足 f( )  f(1)的实数x的取值范围是
x
A.（-，1） B.（1，+）
C.（-，0）（0，1） D.（-，0）（1，+ ）
1
解析：由已知得 1解得x 0或x>1，选D
x
（8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是
A.若a·b＝0，则a=0或b=0 B.若a=0,则＝0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a-b=a·c，则b=c
解析： a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a
为零向量或a与b、c垂直时，选B
(9)已知m,n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.m ,n  ,m∥，n∥  ∥
B.∥，m ,n ，m∥n
C.m⊥，m⊥nn∥
D.n∥m,n⊥ m⊥
解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不
正确；C中n可以在内，不正确，选D
(10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是
A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0
C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0
解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆
方程为(x2)2  y2 1，即x2+y2-4x+3=0，选B
(11)已知对任意实数 x,有 f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且 x>0 时 f’’(x)>0,g’ (x)
>0,则x<0时
A.f’(x)>0,g’(x)>0 B.f ’(x)>0,g’(x)<0
C.f ’(x)<0,g’(x)<0 D.f ’ (x)<0,g’(x)<0
解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,
在对称区间的单调性相反, x>0 时 f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当 x<0 时, f(x) 递增,
f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选B
(12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”
到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或
“7”
的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A.2000 B.4096 C.5904 D.8320
解析：10000 个号码中不含 4、7 的有 84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为
10000-4096=5904，选C
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
第2页 | 共9页1
（13）（x2+ ）6的展开式中常数项是 .（用数字作答）
x
1
解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个 ，故常数项为C2 15
x 6
法二：展开后可得常数项为15
x y  2,

（14）已知实数x、y满足x y  2,则z=2x-y的取值范围是 .
0 y 3,

解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是
[-5，7]
（15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心
率为 。
b2 c 2 1
解析：由已知C=2， 3b2 3a a2 43a a  4,e   
a a 4 2
（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素
之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a∈A,都有a-a;
(2)对称性：对于a,b∈A，若a-b,则有b-a;
(3)传递性：对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c.
则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不
是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： .
解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要
条件”等等.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
1 3
在△ABC中，tanA= ,tanB= .
4 5
(I)求角C的大小;
(II)若AB边的长为 17 ，求BC边的长
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理
知运算能力.满分12分.
解：（I）∵C＝-(A+B),
1 3

4 5
∴tanC=-tan(A+B)= ＝1，
1 3
1 ·
4 5
又∵0<C<,
3
∴C= 
4
第3页 | 共9页 sin A 1
tanA  ,

 cosA 4 
(II)由 且A∈（0， ），
sin2cos2 A1, 2


17
得sinA= .
17
AB BC
∵  ,
sinC sin A
sin A
∴BC＝AB·  2 .
sinC
（18）（本小题满分12分）
甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成
功与否相互之间没有影响，求：
（I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率;
(II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;
(III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.
本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.
解：记“甲第i次试跳成功”为事件A，“乙第i次试跳成功”为事件B.
1 1
依题意得P（A）＝0.7，P（B）＝0.6，且AB（i=1,2,3）相互独立.
1 1 1 1
(I)“甲第三次试跳才成功”为事件A A A，且三次试跳相互独立，
1 2 3
∴P（A A A）＝P（A ）P(A )P(A )=0.3×0.3×0.7=0.063.
1 2 3 1 2 3
答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，
解法一：C＝A B  A B  A B，且A B、A B、A B 彼此互斥，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴P（C）＝P（A ·B）P（A ·B）P（A ·B）
1 1 1 1 1 1
＝P（A）P（B）P（A）P（B）P（A）P（B）
1 1 1 1 1 1
＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6
= 0.88.
解法二：P（C）＝1-P（A）·P（B）＝1-0.3×0.4=0.88.
1 1
答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件M（i=0,1,2）,
i
“乙在两次试跳中成功i次”为事件N(i=0,1,2),
i
∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为MN+MN,且MN、MN
1 0 2 1 1 0 2 1
为互斥事件.
∴所求的概率为
第4页 | 共9页P（M N M N）＝P（M N）P（M N）
1 0 2 1 1 0 2 1
＝P（M）P（N）P(M )P(N )
1 0 2 1
＝C1 ×0.7×0.3×0.42+0.72×C1
×0.6×0.4
2 2
=0.0672+0.2352
=0.3024.
答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.
（19）（本小题满分12分）
如图，正三棱柱ABC-ABC 的所有棱长都为2，D为CC 中点.
1 1 1 1
(I)求证：AB⊥平面ABD;
1 1
(II)求二面角A-AD-B的大小.
1
本小题主要考查直线与平面的位置关系，三面角的大小
等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力
解法一：（I）取BC中点O，连结AO.
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.
∵正三棱柱 ABC-ABC 中，平面 ABC⊥平面
1 1 1
BCCB
1 1,
∴AO⊥平面BCCB,
1 1
连结BO，在正方形BBCC中,O、D分别为BC、
1 1 1
CC 的中点，
1
∴BO⊥BD,
1
∴AB⊥BD.
1
在正方形ABBA 中，AB⊥AB，
1 1 1 1
∴AB⊥平面ABD.
1 1
(II)设AB 与AB交于点C，在平面ABD中，作GF⊥AD于F，连结AF，由（I）得AB⊥平
1 1 1 1 1
面ABD，
1
∴∠AFG为二面A-AB-B的平面角.
1
4 5
在△AAD中，由等面积法可求得AF＝ ，
1
5
1
又∵AG＝ AB = 2 ,
2 1
AG 2 10
∴sin∠AFG=   ,
AF 4 5 4
5
10
所以二面角A-AD-B的大小为arcsin .
1
4
解法二：（I）取BC中点O，连结AO.
第5页 | 共9页∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-ABC 中，平面ABC⊥平面BCCB，
1 1 1 1 1
∴AO⊥平面BCCB.
1 1
取BC 中点O，以a为原点，OB，OO，OA的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标
1 1 1 1
系，则B（1,0,0）,D (-1,1,0),A(0,2, 3),A(0,0, 3),B(1,2,0),
1 1
∴AB＝(1,2, 3),BD (2,1,0),BA (1,2, 3)
1 1
∵AB ·BD＝2200,AB ·BA＝143＝0，
1 1 1
∴AB ⊥BD，AB ⊥BA ,
1 1 1
∴AB⊥平面ABD.
1 1
(II)设平面AAD的法向量为n=(x,y,z).
1
AD＝(1,1, 3),AA (0,2,0).
1
∵n⊥AD,n⊥AA ,
1
n·AD＝0， x y 3 0, y 0,
∴ ∵ ∴

n·AA＝0，

2y 0, x   3z
1
令z=1得a=(- 3,0,1)为平面AAD的一个法向量.
1
由（I）知AB⊥ABD.
1 1
∴AB 为平面ABD的法向量.
1 1
n·AB  3 3 6
cos<n AB >= 1 = =- .
1 1 |n|AB | 2·2 2 4
1
6
∴二面角A-AD-B的大小为arccos .
1
4
(20)（本小题满分12分）
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(I)求f (x)的最小值h(t);
(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解
决问题的能力.
解：（I）∵ f(x) t(xt)2 t3 t 1 （xR,t 0），
∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,
第6页 | 共9页即h(t)=-t3+t-1.
(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.
当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表：
T (0,1) 1 (1,2)
g’(t) + 0 -
g(t) 递增 极大值1-m 递减
∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m
h(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m<0
所以m的取值范围为m>1
（21）（本小题满分12分）
数列{a}的前N项和为S,a=1,a =2S (n∈N*).
n n 1 n+1 n
(I)求数列{a}的通项a;
n n
(II)求数列｛na｝的前n项和T.
n
本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类
讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.
解：（I）∵a =2S,,
n+1 n
∴S -S=2S,
n+1 n n
S
∴ n1 =3.
S
n
又∵S＝a=1,
1 1
∴数列｛S｝是首项为1、公比为3的等比数列，S=3n-1(n∈N*).
n n
∴当n2时，a-2S =2·3n-2(n2),
n n-1
1，n 1

∴a= ,n 2.
n
 2·3n2
(II)T=a+2a+3a+…+na.
n 1 2 3 n
当n=1时，T1=1;
当n2时，Tn=1+4·30+6·31+2n·3 n-2,…………①
3T=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………②
n
①-②得：-2T=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3 n-1
n
3（13n2）
=2+2· 2n·3n1
13
=-1+(1-2n)·3n-1
1 1
∴T= +(n- )3n-1 (n2).
n
2 2
又∵T=a1=1也满足上式，
n
第7页 | 共9页1 1
∴T= +(n- )3n-1(n∈N*)
n
2 2
(22)（本小题满分14分）
如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，
且
OP·OF＝FP·FQ
（I）求动点P的轨迹C的方程;
（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.
（1）已知MA＝ AF，MB＝ BF，求  的值;
1 2 1 2
(2)求|MA|·|MB|的最小值.
)本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征
的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由OP·QF＝FP·FQ得：
(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y2=4x.
(II)（1）设直线AB的方程为：
x=my+1(m≠0).
2
设A（x,y）,B(x,y),又M（-1,- ）.
1 1 2 2
m
y2  4x,
联立方程组 ,消去x得：
x  my1

y-4my-4=0,
2
△ =(-4m)2+12>0,
y  y  4m,
 1 2
y y  4.

1 2
由MA,AF,MB  BF 得：
2
2 2
y   y ,y    y ，整理得：
1 m 1 1 2 m 2 2
2 2
  1 ,  1 ,
1 my 2 my
1 2
2 1 1
∴  ＝2 (  )
1 2 m y y
1 2
2 y  y
=2 · 1 2
m y y
1 2
第8页 | 共9页2 4m
=-2- ·
m 4
=0.
解法二：（I）由QP·QF＝FP·FQ得：FQ·(PQPF)＝0，
∴(PQPF)·(PQPF)0，
∴PQ2 PF2 =0,
∴|PQ||PF|.
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.
(II)(1)由已知MA＝ AF，MB＝ BF，得 · 0,
1 2 1 2
|MA|  | AF |
则：   1 …………①
|MB|  BF
2
过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A、B,
1 1
MA | AA | |AF|
则有： ＝ 1 ＝ …………②
MB | BB | | BF |
1
 |AF| |AF|
由①②得： 1 ＝ ，即  ＝0.
 |BF| |BF| 1 2
2
（II）（2）解：由解法一：
|MA|·|MB|＝（ 1m2 ）2|y-y||y-y|
1 M 2 M
=(1+m2)|yy-y(y+y)|+y2|
1 2 M 1 2 M
2 4
=(1+m2)|-4+ ×4m+ |
m m2
4
=(1m2)(4 )
m2
1 1
=4(2+m2+ ) 4(2+2 m2· )=16.
m2 m2
1
当且仅当m2  ，即m=1时等号成立，所以|MA|·|MB| 最小值为16.
m2
第9页 | 共9页