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2007 年福建高考文科数学真题及答案
第I卷 （选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},则A（CB）等于
U
A.{2} B.{5} C.{3,4} D.{2,3,4,5}
解析：（CB）={3，4，5}，A（CB）={3，4}，选C
U U
(2)等比数列{a}中，a=4,则a·a 等于
n 4 2 6
A.4 B.8 C.16 D.32
解析：a·a a2=16，选C
2 6= 4
(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于
1 3
A.0 B. C. D.1
2 2
解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°= sin215°+cos215°=1，选D
（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由|x|<2得-21，选D
x
（8）对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是
A.若a·b＝0，则a=0或b=0 B.若a=0,则＝0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a-b=a·c，则b=c
解析： a⊥b时也有a·b＝0，故A不正确；同理C不正确；由a·b=a·c得不到b=c，如a
为零向量或a与b、c垂直时，选B
(9)已知m,n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A.m ,n ,m∥，n∥ ∥
B.∥，m ,n ，m∥n
C.m⊥，m⊥nn∥
D.n∥m,n⊥ m⊥
解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不
正确；C中n可以在内，不正确，选D
(10)以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是
A.x2+y2-4x-3=0 B.x2+y2-4x+3=0
C.x2+y2+4x-5=0 D.x2+y2+4x+5=0
解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆
方程为(x2)2 y2 1，即x2+y2-4x+3=0，选B
(11)已知对任意实数 x,有 f（-x）=-f (x)，g(-x)=g(x),且 x>0 时 f’’(x)>0,g’ (x)
>0,则x<0时
A.f’(x)>0,g’(x)>0 B.f ’(x)>0,g’(x)<0
C.f ’(x)<0,g’(x)<0 D.f ’ (x)<0,g’(x)<0
解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,
在对称区间的单调性相反, x>0 时 f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当 x<0 时, f(x) 递增,
f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选B
(12)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”
到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或
“7”
的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为
A.2000 B.4096 C.5904 D.8320
解析：10000 个号码中不含 4、7 的有 84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为
10000-4096=5904，选C
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
第2页 | 共9页1
（13）（x2+ ）6的展开式中常数项是 .（用数字作答）
x
1
解析：法一：由组合数性质，要使出现常数项必须取2个x2，4个 ，故常数项为C2 15
x 6
法二：展开后可得常数项为15
x y 2,
（14）已知实数x、y满足x y 2,则z=2x-y的取值范围是 .
0 y 3,
解析：画出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是
[-5，7]
（15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心
率为 。
b2 c 2 1
解析：由已知C=2， 3b2 3a a2 43a a 4,e
a a 4 2
（16）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等.如果集合A中元素
之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a∈A,都有a-a;
(2)对称性：对于a,b∈A，若a-b,则有b-a;
(3)传递性：对于a,b,c∈A,若a-b,b-c,则有a-c.
则称“-”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不
是等价关系（自反性不成立）.请你再列出两个等价关系： .
解析：答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要
条件”等等.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
1 3
在△ABC中，tanA= ,tanB= .
4 5
(I)求角C的大小;
(II)若AB边的长为 17 ，求BC边的长
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理
知运算能力.满分12分.
解：（I）∵C＝-(A+B),
1 3
4 5
∴tanC=-tan(A+B)= ＝1，
1 3
1 ·
4 5
又∵0= 1 = =- .
1 1 |n|AB | 2·2 2 4
1
6
∴二面角A-AD-B的大小为arccos .
1
4
(20)（本小题满分12分）
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(I)求f (x)的最小值h(t);
(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解
决问题的能力.
解：（I）∵ f(x) t(xt)2 t3 t 1 （xR,t 0），
∴当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,
第6页 | 共9页即h(t)=-t3+t-1.
(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,
由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.
当t变化时g’(t)、g(t)的变化情况如下表：
T (0,1) 1 (1,2)
g’(t) + 0 -
g(t) 递增 极大值1-m 递减
∴g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-m
h(t)<-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)<0在（0，2）内恒成立，
即等价于1-m<0
所以m的取值范围为m>1
（21）（本小题满分12分）
数列{a}的前N项和为S,a=1,a =2S (n∈N*).
n n 1 n+1 n
(I)求数列{a}的通项a;
n n
(II)求数列｛na｝的前n项和T.
n
本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类
讨论及归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.
解：（I）∵a =2S,,
n+1 n
∴S -S=2S,
n+1 n n
S
∴ n1 =3.
S
n
又∵S＝a=1,
1 1
∴数列｛S｝是首项为1、公比为3的等比数列，S=3n-1(n∈N*).
n n
∴当n2时，a-2S =2·3n-2(n2),
n n-1
1，n 1
∴a= ,n 2.
n
2·3n2
(II)T=a+2a+3a+…+na.
n 1 2 3 n
当n=1时，T1=1;
当n2时，Tn=1+4·30+6·31+2n·3 n-2,…………①
3T=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………②
n
①-②得：-2T=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3 n-1
n
3（13n2）
=2+2· 2n·3n1
13
=-1+(1-2n)·3n-1
1 1
∴T= +(n- )3n-1 (n2).
n
2 2
又∵T=a1=1也满足上式，
n
第7页 | 共9页1 1
∴T= +(n- )3n-1(n∈N*)
n
2 2
(22)（本小题满分14分）
如图，已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，
且
OP·OF＝FP·FQ
（I）求动点P的轨迹C的方程;
（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.
（1）已知MA＝ AF，MB＝ BF，求 的值;
1 2 1 2
(2)求|MA|·|MB|的最小值.
)本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征
的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分14分.
解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由OP·QF＝FP·FQ得：
(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：y2=4x.
(II)（1）设直线AB的方程为：
x=my+1(m≠0).
2
设A（x,y）,B(x,y),又M（-1,- ）.
1 1 2 2
m
y2 4x,
联立方程组 ,消去x得：
x my1
y-4my-4=0,
2
△ =(-4m)2+12>0,
y y 4m,
1 2
y y 4.
1 2
由MA,AF,MB BF 得：
2
2 2
y y ,y y ，整理得：
1 m 1 1 2 m 2 2
2 2
1 , 1 ,
1 my 2 my
1 2
2 1 1
∴ ＝2 ( )
1 2 m y y
1 2
2 y y
=2 · 1 2
m y y
1 2
第8页 | 共9页2 4m
=-2- ·
m 4
=0.
解法二：（I）由QP·QF＝FP·FQ得：FQ·(PQPF)＝0，
∴(PQPF)·(PQPF)0，
∴PQ2 PF2 =0,
∴|PQ||PF|.
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x.
(II)(1)由已知MA＝ AF，MB＝ BF，得 · 0,
1 2 1 2
|MA| | AF |
则： 1 …………①
|MB| BF
2
过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A、B,
1 1
MA | AA | |AF|
则有： ＝ 1 ＝ …………②
MB | BB | | BF |
1
|AF| |AF|
由①②得： 1 ＝ ，即 ＝0.
|BF| |BF| 1 2
2
（II）（2）解：由解法一：
|MA|·|MB|＝（ 1m2 ）2|y-y||y-y|
1 M 2 M
=(1+m2)|yy-y(y+y)|+y2|
1 2 M 1 2 M
2 4
=(1+m2)|-4+ ×4m+ |
m m2
4
=(1m2)(4 )
m2
1 1
=4(2+m2+ ) 4(2+2 m2· )=16.
m2 m2
1
当且仅当m2 ，即m=1时等号成立，所以|MA|·|MB| 最小值为16.
m2
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