2007年福建高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_福建

2007 年福建高考理科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1 1．复数 等于（ ） (1i)2 1 1 1 1 A． B． C． i D． i 2 2 2 2 1 2．数列{a }的前n项和为S ，若a  ，则S 等于（ ） n n n n(n1) 5 5 1 1 A．1 B． C． D． 6 6 30 3．已知集合A{x xa}，B{x1 x2}，且A (ð B)R，则实数a的取值范围是  R （ ） A．a≤1 B．a1 C．a≥2 D．a 2 4．对于向量a，b，c和实数，下列命题中真命题是（ ） A．若a b0，则a =0或b=0 B．若a=0，则0或a 0  C．若a2 b2，则a b或a= b D．若a b=a c，则b=c     5．已知函数 f(x)sin  x  (0)的最小正周期为，则该函数的图象（ ）      A．关于点 ，0 对称 B．关于直线x 对称        C．关于点 ，0 对称 D．关于直线x 对称    x2 y2 6．以双曲线  1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） 9 16 A．x2  y2 10x90 B．x2  y2 10x160 C．x2  y2 10x160 D．x2  y2 10x90  1  7．已知 f(x)为R上的减函数，则满足 f  f(1)的实数x的取值范围是（ ）    x  A．(1，1) B．(0，1) C．(1，0) (0，1) D．(，1) (1，)   第1页 | 共11页8．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．m，n，m∥，n∥∥ B．∥，m，nm∥n C．m⊥，m⊥nn∥ D．n∥m，n⊥m⊥ 9．把1(1x)(1x)2  (1x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为a ，则  n 2a 1 lim n 等于（ ） n→ a 1 n 1 1 A． B． C．1 D．2 4 2 10．顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCDABCD中， AB1，AA 2，则 A，C 两点间的球面距离为（ ）   2 2 A． B． C．  D．    4 2 11 ． 已 知 对 任 意 实 数 x， 有 f(x)f(x)，g(x) g(x)， 且 x0时 ， f(x)0，g(x)0，则x0时（ ） A． f(x)0，g(x)0 B． f(x)0，g(x)0 C． f(x)0，g(x)0 D． f(x)0，g(x)0 12．如图，三行三列的方阵中有9个数a (i 1，2，3；j 1，2，3)，从中任取三个数，则至少 ij 有两个数位于同行或同列的概率是（ ） 3 4 a a a  A． B． 11 12 13   7 7 a a a  21 22 23 1 13   a a a C． D．   31 32 33 14 14 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置． x y≥2，  13．已知实数x，y满足x y≤2，则z 2x y的取值范围是________．  0≤y≤3，  14．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为______． 15．两封信随机投入 A，B，C三个空邮箱，则 A邮箱的信件数的数学期望 第2页 | 共11页E ． 16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A中元素 之间的一个关系“”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意aA，都有aa； （2）对称性：对于a，bA，若ab，则有ba； （3）传递性：对于a，b，cA，若ab，bc，则有ac． 则称“”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行” 不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 1 3 在△ABC中，tanA ，tanB ． 4 5 （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若△ABC最大边的边长为 17 ，求最小边的边长． 18．（本小题满分12分） 如图，正三棱柱ABCABC 的所有棱长都为 1 1 1 A A 1 2，D为CC 中点． 1 （Ⅰ）求证：AB ⊥平面ABD； 1 1 C C （Ⅱ）求二面角AADB的大小； D 1 1 （Ⅲ）求点C到平面ABD的距离． B 1 B 1 19．（本小题满分12分） 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交a元 （3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售 量为(12x)2万件． （Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值 Q(a)． y 20．（本小题满分12分）如图，已知点F(1，0)， l 直线l:x1，P为平面上的动点，过P作直线 F     l的垂线，垂足为点Q，且QP QF  FP FQ．   1 O 1 x （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； 第3页 | 共11页  （Ⅱ）过点 F 的直线交轨迹C于 A，B两点，交直线l于点 M ，已知 MAAF ， 1   MBBF ，求的值； 2 1 2 21．（本小题满分12分） 等差数列{a }的前n项和为S ，a 1 2，S 93 2 ． n n 1 3 （Ⅰ）求数列{a }的通项a 与前n项和S ； n n n S （Ⅱ）设b  n (nN)，求证：数列{b }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． n n n 22．（本小题满分14分） 已知函数 f(x)ex kx，xR （Ⅰ）若k e，试确定函数 f(x)的单调区间； （Ⅱ）若k 0，且对于任意xR， f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围； n （Ⅲ）设函数F(x) f(x) f(x)，求证：F(1)F(2) F(n)(en12)2(nN)．  参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分． 第4页 | 共11页2 13．[5，7] 14． 21 15． 3 16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件” 等等． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理 和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ） C π(AB)，  1 3  4 5 tanC tan(AB) 1． 1 3 1  4 5 3 又 0C π，C  π．  4 3 （Ⅱ） C  ，  4 AB边最大，即AB 17 ．   又  tan AtanB，A，B  0， ，   角A最小，BC边为最小边．  sin A 1 tan A  ，  π 由 cosA 4 且A  0， ，  sin2 Acos2 A1，  2 17 AB BC sinA 得sinA ．由  得：BC  AB  2．  17 sinC sinA sinC 所以，最小边BC  2． 18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查 空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． A A 解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO． 1 △ABC为正三角形，AO⊥BC ．  正三棱柱ABCABC 中，平面ABC⊥平面BCC B ， F  1 1 1 1 1 C C AO⊥平面BCC B ． D 1 1 1 O 连结BO，在正方形BBCC中，O，D分别为 B 1 1 1 B 1 BC，CC 的中点， 1 第5页 | 共11页BO⊥BD， 1 AB ⊥BD． 1 在正方形ABB A 中，AB ⊥AB， 1 1 1 1 AB ⊥平面ABD． 1 1 （Ⅱ）设 AB 与 AB交于点G，在平面 ABD中，作GF⊥AD于 F ，连结 AF ，由 1 1 1 1 （Ⅰ）得AB ⊥平面ABD． 1 1 AF⊥AD， 1 ∠AFG为二面角AADB的平面角． 1 4 5 在△AAD中，由等面积法可求得AF  ， 1 5 1 又 AG  AB  2，  2 1 AG 2 10 sin∠AFG    ． AF 4 5 4 5 10 所以二面角AADB的大小为arcsin ． 1 4 （Ⅲ）△ABD中，BD AD 5，AB2 2，S  6，S 1． 1 1 1 △ABD △BCD 1 在正三棱柱中，A到平面BCC B 的距离为 3． 1 1 1 设点C到平面ABD的距离为d ． 1 1 1 由V V 得 S 3  S d ， A 1 BCD CA 1 BD 3 △BCD 3 △A 1 BD 3S 2 d  △BCD  ． S 2 △ABD 1 2 点C到平面ABD的距离为 ． 1 2 解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO． △ABC为正三角形，AO⊥BC ．  第6页 | 共11页在正三棱柱ABCABC 中，平面ABC⊥平面BCC B ，  1 1 1 1 1 AD⊥平面BCC B ． 1 1    取BC 中点O ，以O为原点，OB，OO ，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直 1 1 1 1 角坐标系，则B(1，0，0)，D(1，1，0)，A(0，2，3)，A(0，0，3)，B (1，2，0)， 1 1    AB (1，2， 3)，BD(2，1，0)，BA (1，2，3)． 1 1     AB BD2200，AB BA 1430，  1 1 1   A  B  ⊥  B  D  ，  A  B  ⊥  B  A  ． z 1 1 1 A A 1 AB ⊥平面ABD． 1 1 （Ⅱ）设平面AAD的法向量为n(x，y，z)． F 1 C   C AD(1，1， 3)，AA (0，2，0)． D 1 1 O y   n⊥AD，n⊥AA ， B  1 B 1   n  AD0， x y 3z 0，  y 0， x      n  AA 1 0， 2y 0， x 3z． 令z 1得n( 3，0，1)为平面AAD的一个法向量． 1 由（Ⅰ）知AB ⊥平面ABD， 1 1  AB 为平面ABD的法向量． 1 1   n AB  3 3 6 cosn，AB   1   ． 1 n  A  B  2 2 2 4  1  6 二面角AADB的大小为arccos ． 1 4  （Ⅲ）由（Ⅱ），AB 为平面ABD法向量， 1 1   BC (2，0，0)，AB (1，2， 3)．  1   BC  AB 1 2 2 点C到平面ABD的距离d    ． 1  A  B  2 2 2 1 第7页 | 共11页19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力， 满分12分． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为： L(x3a)(12x)2，x[9，11]． （Ⅱ）L(x)(12x)2 2(x3a)(12x) (12x)(182a3x)． 2 令L0得x6 a或x12（不合题意，舍去）． 3 2 28 3≤a≤5，8≤6 a≤ ．  3 3 2 在x6 a两侧L的值由正变负． 3 2 9 所以（1）当8≤6 a9即3≤a 时， 3 2 L  L(9)(93a)(129)2 9(6a)． max 2 28 9 （2）当9≤6 a≤ 即 ≤a≤5时， 3 3 2 2 3 2  2   2   1  L  L(6 a)  6 a3a  12  6 a  4  3 a  ， max 3  3   3   3   9 9(6a)， 3≤a ，   2 所以Q(a) 3  4  3 1 a  ， 9 ≤a≤5      3  2 9 答：若3≤a ，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 L最大，最大值 2 9  2  Q(a)9(6a)（万元）；若 ≤a≤5，则当每件售价为 6 a 元时，分公司一年的 2  3  3  1  利润L最大，最大值Q(a)4  3 a  （万元）．  3  20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几 何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．     解法一：（Ⅰ）设点P(x，y)，则Q(1，y)，由QP QF  FP FQ得：   y (x1，0) (2， y)(x1，y) (2，y)，化简得C: y2 4x．   P Q B （Ⅱ）设直线AB的方程为： O F x 第8页 | 共11页 A Mxmy1(m0)．  2  设A(x，y )，B(x，y )，又M  1， ， 1 1 2 2  m y2 4x， 联立方程组 ，消去x得： xmy1， y2 4my40，(4m)2 120，故 y  y 4m， 1 2  y y 4．  1 2     由MAAF ，MBBF 得： 1 2 2 2 y  y ，y  y ，整理得： 1 m 1 1 2 m 2 2 2 2 1 ， 1 ， 1 my 2 my 1 2 2  1 1   2    1 2 m y y   1 2 2 y  y 2 1 2  m y y 1 2 2 4m 2  m 4 0．        解法二：（Ⅰ）由QP QF  FP FQ得：FQ (PQPF)0，        (PQPF) (PQPF)0，  2 2 PQ PF 0，    PQ  PF ． 所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2 4x．     （Ⅱ）由已知MAAF ，MBBF ，得 0． 1 2 1 2   MA  AF 1 则：  ．…………①   MB  BF 2 第9页 | 共11页过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B ， 1 1    MA AA AF 1 则有：   ．…………②    MB BB BF 1    AF AF 1 由①②得：  ，即 0．   1 2  BF BF 2 21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等 比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分  a  21， 解：（Ⅰ）由已知得 1 ，d 2，  3a 3d 93 2 1 故a 2n1 2，S n(n 2)． n n S （Ⅱ）由（Ⅰ）得b  n n 2． n n 假设数列{b }中存在三项 b ，b，b （ p，q，r互不相等）成等比数列，则 n p q r b2 b b ． q p r 即(q 2)2 (p 2)(r 2)． (q2  pr)(2q pr) 2 0 p，q，rN，  q2  pr 0，  pr 2      pr，(pr)2 0，p r． 2q pr 0，  2  与 pr矛盾． 所以数列{b }中任意不同的三项都不可能成等比数列． n 22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函 数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问 题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）由k e得 f(x)ex ex，所以 f(x)ex e． 由 f(x)0得x1，故 f(x)的单调递增区间是(1，)， 由 f(x)0得x1，故 f(x)的单调递减区间是(，1)． （Ⅱ）由 f(x) f(x)可知 f(x)是偶函数． 第10页 | 共11页于是 f(x)0对任意xR成立等价于 f(x)0对任意x≥0成立． 由 f(x)ex k 0得xlnk． ①当k(0，1]时， f(x)ex k 1k≥0(x0)． 此时 f(x)在[0，)上单调递增． 故 f(x)≥ f(0)10，符合题意． ②当k(1，)时，lnk 0． 当x变化时 f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，lnk) lnk (lnk，) f(x)  0  f(x) 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在[0，)上， f(x)≥ f(lnk)kklnk． 依题意，kklnk 0，又k 1，1k e． 综合①，②得，实数k的取值范围是0k e． （Ⅲ） F(x) f(x) f(x)ex ex，  F(x )F(x ) ex 1 x 2 e(x 1 x 2 ) ex 1 x 2 ex 1 x 2 ex 1 x 2 e(x 1 x 2 ) 2ex 1 x 2 2， 1 2 F(1)F(n)en12， F(2)F(n1)en12  F(n)F(1)en12. 由 此 得 ， [F(1)F(2) F(n)]2 [F(1)F(n)][F(2)F(n1)] [F(n)F(1)](en12)n   n 故F(1)F(2) F(n)(en12)2，nN．  第11页 | 共11页