2007年陕西高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_陕西

2007 年陕西高考文科数学真题及答案
注意事项：
1.本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的
试卷类型信息点。
3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12
小题，每小题5分，共60分）。
1.已知全集U 1,2,3,4,5,6,集合A2，3，6，则集合CA等于
u
（A）{1，4} （B）{4，5} （C）{1，4，5} （D）{2，3，6}
2.函数 f(x)lg 1x2 的定义域为
（A）［0，1］ （B）（-1，1）
（C）［-1，1］ （D）（-∞，-1）∪（1，+∞）
3.抛物线x2  y的准线方程是
（A）4x10 （B）4y10
（C）2x10 （D）2y10
5
4.已知sin ,则sin4 cos4 的值为
5
3 1 1 3
（A） （B） （C） （D）
5 5 5 5
5.等差数列{a}的前n项和为S，若S 2,S 10,则S 等于
n n 2 4 4
（A）12 （B）18 （C）24 （D）42
6.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10
种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的
方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
7.Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面
ABC的距离是
（A）5 （B）6 （C）10 （D）12
8.设函数f(x)=2+1(x∈R)的反函数为f -1(x),则函数y= f -1(x)的图象是
第1页 | 共8页x2 y2
9.已知双曲线C∶  1(a＞0,b＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的
a2 b2
圆的半径是
（A）a (B)b (C) ab (D)
a2 b2
10.已知P为平面a外一点，直线la,点Q∈l,记点P到平面a的距离为a,点P到直线l
的距离为b，点P、Q之间的距离为c，则
（A）a bc （B）c a b
(C)a c b (D)bc  a
11.给出如下三个命题：
b a
①设a,bR,且ab  0,若 >1,则 ＜1;
a b
②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;
③若f(x)=logx,则f（|x|）是偶函数.
i
其中正确命题的序号是
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①②③
12.某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别
为v，v,v,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为
1 2 3
1 1 1
 
v v v v v v
（A） 1 2 3 （B） 1 2 3
3 3
3
（C）3 v v v （D）
1 2 3 1 1 1
 
v v v
1 2 3
第2页 | 共8页第二部分（共90分）
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16
分）.
13.(12x)5的展开式中x2项的系数是 .（用数字作答）
x2y40,

14.已知实数x、y满足条件3x y30, 则z  x2y的最大值为 .

x 0,y 0,

15.安排 3 名支教教师去 4 所学校任教，每校至多 2 人，则不同的分配方案共有
种.（用数字作答）
16.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角
为 120°，OA与OC的夹角为 30 °，且 OA＝ OB ＝1 ，
OC ＝2 2. 若OC＝OAOB(,R),则的值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）.
17.（本小题满分12分）
π
设函数 f(x)  a、b.其中向量a (m,cosx),b (1sinx,1),xR,且f( )  2.
2
（Ⅰ）求实数m的值;
（Ⅱ）求函数 f(x)的最小值.
18.（本小题满分12分）
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则
4 3
即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 、 、
5 5
2 1
、 ，且各轮问题能否正确回答互不影响.
5 5
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.
（注：本小题结果可用分数表示）
19.(本小题满分12分)
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中,AD//BC, ABC 90, PA平面v
PA3,AD  2,AB  2 3,BC=6.
(Ⅰ)求证:BDBD 平面PAC;
(Ⅱ)求二面角PBD A的大小.
20. (本小题满分12分)
已知实数列{a }是等比数列,其中a 1,且a ,4 1,a 成等差数列.
n 7 4 5 5
第3页 | 共8页(Ⅰ)求数列{a }的通项公式;
n
(Ⅱ)数列{a }的前n项和记为S ,证明: S ,＜128(n 1,2,3,…).
n n n
21. (本小题满分12分)
已知 f(x)  ax3 bx2 cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数,又
1 3
f ( )  .
2 2
(Ⅰ)求 f(x)的解析式;
(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有 f(x)≤x成立,求m的取值范围.
22. (本小题满分14分)
x2 y2 6
已知椭圆C:  =1(a＞b＞0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3.
a2 b2 3
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
3
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积
2
的最大值.
参考答案
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，
每小题5分，共60分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｂ
10．Ａ 11．Ｃ 12．Ｄ
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16
分）．
13．40 14．8 15．60 16．6
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）
17．（本小题满分12分）
π  π π
解：（Ⅰ） f(x)a  bm(1sinx)cosx， f   m  1sin  cos 2，得m1．
2  2 2
 π  π
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f(x)sinxcosx1 2sin  x  1，当sin  x  1时，
 4  4
f(x)的最小值为1 2．
18．（本小题满分12分）
4
解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A(i 1，2，3，4)，则P(A) ，
i 1 5
第4页 | 共8页3 2 1
P(A ) ， P(A ) ， P(A ) ， 该 选 手 进 入 第 四 轮 才 被 淘 汰 的 概 率
2 5 3 5 4 5
4 3 2 4 96
P  P(AA A A ) P(A)P(A )P(A )P(P)     ．
4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 5 5 5 625
（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
P  P(A  A A  AA A )  P(A)P(A)P(A )P(A)P(A )P(A )
3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3
1 4 2 4 3 3 101
       ．
5 5 5 5 5 5 125
19．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ） PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD．BD⊥PA．

AD 3 BC
又tanABD  ，tanBAC   3． P
AB 3 AB
∠ABD30，∠BAC 60，
A D
E
∠AEB90，即BD⊥AC．
B C
又PA AC  A．BD⊥平面PAC ．

（Ⅱ）连接PE．
BD⊥平面PAC ．BD⊥PE，BD⊥AE．

∠AEP为二面角PBDA的平面角．
在Rt△AEB中，AE  AB sinABD 3，

AP
tan AEP  3，∠AEP60，
AE
二面角PBDA的大小为60．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则A(0，0，0)，B(2 3，0，0)，C(2 3，6，0)，D(0，2，0)，P(0，0，3)，
  
AP(0，0，3)，AC (2 3，6，0)，BD(2 3，2，0)，
   
BD AP0，BD AC 0．BD⊥AP，BD⊥AC，
 
又PA AC  A，BD⊥面PAC ． z

P
（Ⅱ）设平面ABD的法向量为m (0，0，1)，
设平面PBD的法向量为n(x，y，1)，
A D y
  E
则n BP0，n BD0，
  B
C
x
第5页 | 共8页 3
 2 3x30，   x 2 ，  3 3 
 解得 n ，，1．
 
2 3x2y 0， 
y 
3
，
 2 2 
 2
m n 1

cosm，n  ．二面角PBDA的大小为60．
m n 2

20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设等比数列a 的公比为q(qR)，
n
由a aq6 1，得a q6，从而a aq3 q3，a aq4 q2，a aq5 q1．
7 1 1 4 1 5 1 6 1
因为a，a 1，a 成等差数列，所以a a 2(a 1)，
4 5 6 4 6 5
即q3q1 2(q2 1)，q1(q2 1)2(q2 1)．
n1
1 1
所以q 2 ．故a n a 1 qn1 q6  qn1 64  2   ．
 1 n
641   
a (1qn)  2   1 n
（Ⅱ）S  1  1281
 
128．
n 1q 1 1  2 
2
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ） f(x)3ax2 2bxc，由已知 f(0) f(1)0，
c0，
c0， 
即 解得 3
3a2bc0，

b a．
 2
1 3a 3a 3
 f(x)3ax2 3ax， f
 
   ，a2， f(x)2x33x2．
2 4 2 2
（Ⅱ）令 f(x)≤x，即2x3 3x2 x≤0，
1
x(2x1)(x1)≥0，0≤x≤ 或x≥1．
2
1
又 f(x)≤x在区间0，m上恒成立，0m≤ ．
2
22．（本小题满分14分）
第6页 | 共8页c 6
  ，
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意a 3

a  3，
x2
b1，所求椭圆方程为  y2 1．
3
（Ⅱ）设A(x，y )，B(x，y )．
1 1 2 2
（1）当AB⊥x轴时， AB  3．
（2）当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y kxm．
m 3 3
由已知  ，得m2  (k2 1)．
1k2 2 4
把y kxm代入椭圆方程，整理得(3k2 1)x2 6kmx3m2 30，
6km 3(m2 1)
x x  ，x x  ．
1 2 3k2 1 1 2 3k2 1
 36k2m2 12(m2 1)
 AB 2 (1k2)(x x )2 (1k2) 
 
2 1 (3k2 1)2 3k2 1 
12(k2 1)(3k2 1m2) 3(k2 1)(9k2 1)
 
(3k2 1)2 (3k2 1)2
12k2 12 12
3 3 (k 0)≤3 4．
9k4 6k2 1 1 236
9k2  6
k2
1 3
当且仅当9k2  ，即k  时等号成立．当k 0时， AB  3，
k2 3
综上所述 AB 2．
max
1 3 3
当 AB 最大时，△AOB面积取最大值S   AB   ．
2 max 2 2
Ｂ卷选择题答案：
1．Ｂ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ｂ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｄ
10．Ｃ
11．Ｄ 12．Ｂ
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