数学答案·2025年高二10月联考_2025年10月高二试卷_251026安徽省皖江名校联盟2025-2026学年高二上学期10月阶段考（全）

高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C B B C A
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
3 5π
1. 【解析】斜率为tan=- ,α= 故选D.
3 6
2. 【解析】略
-3 2 x
3. 【解析】由已知得 = = ,所以x=-1,y=-4,故x-y=3,选A.
6 y 2
4. 【解析】选C.定义域都为-1,1  ,且ln1+x  +ln1-x  =ln1-x2  .
5. 【解析】略
6. 【解析】因为fx  为奇函数,且f1  >0,故选B.
           
7. 【解析】因为 PA - 4DA = 2PB - 3CA, 所以 PA - 2PB = 4DA - 3CA，即 BA - PB = 4DB+BA  -
 
3CB+BA 
  
,故BP=-4BD+3BC,所以P,B,C,D四点共面,选C.
8. 【解析】圆C:x2+y2-8y=0的圆心坐标为C0,4  ,半径为4,l:y=kx+2过定点N0,2  ,设AB的中点为Q,
CQ⊥NQ,则Q点的轨迹为以CN为直径的圆,其圆心为T0,3 
 
,半径为1.PA+PB 

=2PQ 

,又PQ  ≤

PT 
 
+1=6,所以PA+PB  ≤12,故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 AD BC ABD
9. 【解析】当l与MN平行时,方程为4x+y-6=0;当l过MN的中点(3,-1)时,方程为3x+2y-7=0.故选
AD.
10. 【解析】可求MN的中垂线方程为x+y=2,设圆心为Ea,b  ,则半径为a  ,故a+b=2,所以ME  =a  ,
即a-1  2+2-a  2=a2,解得a=1或a=5,所以方程为x2+y2-10x+6y+9=0或x2+y2-2x-2y+1=0.故选
BC.
11. 【解析】如图,建立空间直角坐标系,由已知AP=BQ,设Px,0,1-x  0<x<1  ,则Q0,1-x,1-x 

,PQ=
-x,1-x,0 

,又平面ABC的法向量为BB 1 = 0,0,1 
 
,所以PQ⋅BB =0,故PQ⎳平面 1

ABC,A正确;PQ 
1
= 2x2-2x+1= 2x-
2

2 1 2 1
+ ≥ ,当且仅当x= 时成立,故B
2 2 2
1
正确;球O的半径为 AC
2 1

3 1 1 1
= ,故表面积为3π,C错误；由已知O , ,
2 2 2 2
 ,又
x 1-x
PQ的中点坐标为M , ,1-x
2 2


x-1 x 1
,OM= ,- , -x
2 2 2

  
,因为OM⋅PQ=0,故OM
 
⊥PQ.OM 
3 3 1 3 1
= x2- x+ = x-
2 2 2 2 2

2 1 2 1
+ ≥ ,当且仅当x= 时成立.,故
8 4 2
3 1 10
直线PQ被球O截得的弦长的最大值为2 - = ,所以D正确.故选ABD.
4 8 2
三、填空题： 本题共3小题，每题5分，共15分。
11 2
12. 【答案】 【解析】能完成实验的概率为：1-1-
12 3

3
×1-
4

11
= .
12
高二数学答案 第1页（共4页）24 7 24
13. 【答案】 【解析】cosα-sinα= ,平方得sin2α=- ,可得cos2α
7 5 25

7
= ,故tan2α
25

24
= .
7
14. 【答案】x=4或4x-3y+2=0【解析】可求得P2,4  关于l:x+y=8的对称点为Q4,6  ,设反射光线的
方程为y-6=kx-4 
6-2k
,则
 4
=2,解得k= ,方程为4x-3y+2=0.当斜率不存在时,反射光线的方程
1+k2 3
为x=4.故反射光线的方程为x=4或4x-3y+2=0.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 【解析】(1)由已知直线AB的方程为：y-3=2x-2  2分
即2x-y-1=0.故直线AB的方程为2x-y-1=0. 3分
x+7y+7=0 x=0
(2)①解方程组

,解得

，故B0,-1
2x-y-1=0 y=-1

.6分
又AC=BC,由中点坐标公式得D1,1

1
,高线CD的斜率为- ,8分
2
1
故CD所在直线的方程为y-1=- x-1
2
 ,即x+2y-3=0,
所以CD所在直线的方程为x+2y-3=0.10分
x+7y+7=0 x=7
②由

,解得

x+2y-3=0 y=-2
故顶点C的坐标为 7，-2  .13分
16. 【解析】(1)因为M,N,E,F分别是棱AB,AD,BC,CD 的中点,
1 1 1 1 1 1 1 1
所以MN⎳EF,又EF⊂平面DBEF,MN⊄平面DBEF,
所以MN⎳平面DBEF⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
连接AC,AC,交MN,EF,BD于G,H,O,
1 1
连接AG,OH如图.
可知ACCA 为矩形,所以GH⎳OA,
1 1
1 1
由已知GH= AC = AC=AO,
2 1 1 2
所以AOGH是平行四边形,故AG⎳OH4分
又OH⊂平面DBEF,AM⊄平面DBEF,
所以AG⎳平面DBEF.
又AG∩MN=G,AG,MN⊂平面AMN,
所以平面AMN⎳平面DBEF.7分
(2)设正方体的棱长为a,则体积为a3.
1 1 1 a3
三棱锥A-AMN的体积为V= S AA = × a2×a= 10分
1 1 3 ΔA1MN 1 3 8 24
三棱台EFC -BDC的体积为
1
1
V= S + S S +S
3 3 ΔEFC1 ΔEFC1 ΔBDC ΔBDC
 CC
1
1 a2 a2 a2 a2
=  + × +
3 8 8 2 2

7a3
×a= 13分
24
2a3
加在平面AMN与平面DBEF之间的体积为V=a3-V-V= .
2 1 2 3
三部分的体积之比为V:V:V=1:16:715分
1 2 3
17. 【解析】(1)由已知四边形BBCC为平行四边形.
1 1
  
又BC=c-b,BB =AA =a,2分
1 1
 
所以BB 1 ⋅BC=a⋅c-b  =a⋅c-a⋅b=0,4分
高二数学答案 第2页（共4页） 
故BC⊥BB,即BB ⊥BC.所以：四边形BBCC为矩形.6分
1 1 1 1
    
(2)①由已知BC =BB +BC=AA +BC
1 1 1 1
   
又BC=AC-AB=c-b,故BC =a+c-b.8分
1

BC 1  = a+c-b  2= a2+c2+b2+2a⋅c-2a⋅b-2b⋅c= 13 10分
 
②同理AC=c-a,AC 1 1  = c-a  2= a2+c2-2a⋅c= 7
 
BC 1 ⋅A 1 C=a+c-b  ⋅c-a  =c2-a2-b⋅c+a⋅b=-4 13分
 
cosBC,AC
1 1

 
BC ⋅AC
= 1 1
BC
1


⋅AC
1

-4 4 91
= =- ,14分
13× 7 91
4 91
所以异面直线BC 与AC所成角的余弦值为 15分
1 1 91
18. 【解析】(1)设点P的坐标为x,y  ,
则PA  = x+2  2+y+1  2,PB  = x-4  2+y-2  2 2分
由已知得PA  =2PB  ,所以 x+2  2+y+1  2=2 x-4  2+y-2  2,4分
化简整理得x2+y2-12x-6y+25=0
所以轨迹C的方程为x2+y2-12x-6y+25=0.6分
配方得：x-6  2+y-3  2=20,
故轨迹C是以E6,3  为圆心,2 5为半径的圆.8分
(2)由已知得PA  +PB  =3PA  ,9分
由A-2,-1  ,且-2-6  2+-1-3  2>20,所以A在圆E的外部. 10分
1
可求直线AE的方程为y= x.11分
2
1
由y= x与x-6
2
 2+y-3  2=20联立
整理得x2-12x+20=0,解得x =2,x =10
1 2
所以直线AE与圆有两个交点为M2,1  ,N10,5  .14分
可求得AM  =2 5,AN  =6 5，由已知得AM  ≤PA  ≤AN  ,即2 5≤PA  ≤6 5,16分
故PA  +PB 
3
= PA
2
 的取值范围是3 5，9 5  .17分
19. 【解析】(1)连接AC与BD交于点E,连接ME.
1
因为AB⎳CD,CD=2AB,所以AE= AC.
3
 
1 1
又PM= PC,故PM= PC,所以PA⎳ME. 3分
3 3
又PA⊄平面MBD,ME⊂平面MBD,所以PA⎳平面MBD.5分
(2)由已知PD,AD,BD两两垂直,以DA,DB,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则A1,0,0  ,P0,0,2  ,又AD=1,AB=2,
所以DB= 3,故B0, 3,0 

.DB=0, 3,0  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
 
由已知得DC=2AB=-2,2 3,0  ,
故C-2,2 3,0 

,PC=-2,2 3,-2  .
    
1 2 2 3 4
由 已 知 得 DM = DM + PM = DM + PC = - , ,
3 3 3 3
 .
高二数学答案 第3页（共4页）9分
设平面BDM的发现两位m=x 1 ,y 1 ,z 1 
 
,则m⋅DB=0,m⋅DM=0,
3y =0
 1
即 -2 x +2 3 y +4z =0 ，取x 1 =2,则y 1 =0,z 1 =1,故m=2,0,1
3 1 3 1 3 1
 .11分

DC⋅m
设点C到平面MBD的距离为h,则h=

m 
4 5
= . 12分
5

(3)由(2)得PC=-2,2 3,-2 

,PC=0, 3,-2  .
设平面PBC的法向量为n=x 2 ,y 2 ,z 2 
 
,则n⋅PC=0,n⋅PB=0,
3y -2z =0
故   -2x + 2 2 2 3y -2z =0 ,取z 2 = 3,则y 2 =2,x 2 = 3,
2 2 2
可得n= 3,2, 3  15分
故cosm,n 
m⋅n
=
m  n 
3 3 3 6
= = ,
5⋅ 10 10
3 6
所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为 .17分
10
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